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1、A P C D B P C G F B Q A D E 初二数学经典题型1已知：如图， P是正方形ABCD内点， PAD PDA 150求证： PBC是正三角形证明如下。首先， PA=PD ，PAD= PDA= （180 - 150）2=15， PAB=90 - 15=75。在正方形ABCD 之外以 AD为底边作正三角形ADQ ，连接 PQ ， 则PDQ=60 +15=75， 同样PAQ=75 ， 又 AQ=DQ, ，PA=PD ，所以 PAQ PDQ ，那么 PQA= PQD=60 2=30，在PQA中，APQ=180 - 30-75 =75= PAQ= PAB ，于是 PQ=AQ=AB，显
2、然 PAQ PAB ，得 PBA= PQA=30 ，PB=PQ=AB=BC，PBC=90 - 30=60，所以ABC是正三角形。2. 已知：如图，在四边形ABCD 中， AD BC ，M 、N分别是 AB 、CD的中点， AD 、BC的延长线交MN于 E、F求证： DEN F证明 : 连接 AC,并取 AC的中点 G,连接 GF,GM. 又点 N为 CD的中点 , 则 GN=AD/2;GN AD,GNM= DEM;(1) 同理 :GM=BC/2;GM BC,GMN= CFN;(2) 又 AD=BC, 则:GN=GM, GNM= GMN. 故: DEM= CFN. 3、如图，分别以ABC的 AC
3、和 BC为一边，在ABC的外侧作正方形ACDE 和正方形 CBFG ，点 P是 EF的中点求证：点P到边 AB的距离等于AB的一半证明：分别过E、C、F作直线 AB的垂线，垂足分别为M 、O 、 N ，在梯形 MEFN 中， WE 平行 NF 因为 P为 EF中点， PQ平行于两底所以 PQ为梯形 MEFN 中位线，所以 PQ （ ME NF）/2 又因为，角0CB 角 OBC 90角NBF 角 CBO 所以角 OCB= 角 NBF 而角 C0B 角 Rt角 BNF CB=BF 所以 OCB全等于 NBF MEA 全等于 OAC （同理）所以 EM AO ，0BNF 所以 PQ=AB/2. 4
4、、设 P是平行四边形ABCD 内部的一点，且PBA PDA 求证： PAB PCB 过点 P作 DA的平行线，过点A作 DP的平行线，两者相交于点E；连接 BE A N F E C D M B 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 因为 DP/AE，AD/PE 所以，四边形AEPD为平行四边形所以， PDA= AEP 已知， PDA= PBA 所以， PBA= AEP 所以， A、E、B 、P四点共圆所以， PAB= PEB 因为四边形
5、AEPD为平行四边形，所以：PE/AD，且 PE=AD 而，四边形ABCD 为平行四边形，所以：AD/BC，且 AD=BC 所以， PE/BC，且 PE=BC 即，四边形EBCP也是平行四边形所以， PEB= PCB 所以， PAB= PCB 5.P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA a，PB 2a，PC=3a正方形的边长解：将 BAP绕 B点旋转 90使 BA与 BC重合， P点旋转后到Q点，连接 PQ 因为 BAP BCQ 所以 AP CQ ，BP BQ ，ABP CBQ ，BPA BQC 因为四边形DCBA 是正方形所以 CBA 90，所以 ABP CBP 90，所以 CBQ CBP
6、 90即 PBQ 90，所以BPQ是等腰直角三角形所以 PQ 2*BP， BQP 45 因为 PA=a ，PB=2a ，PC=3a 所以 PQ 22a， CQ a，所以 CP29a2，PQ2CQ2 8a2 a29a2 所以 CP2 PQ2 CQ2 ，所以 CPQ是直角三角形且CQA 90所以 BQC 9045135，所以BPA BQC 135作 BM PQ 则 BPM 是等腰直角三角形所以 PM BM PB/22a/ 22a所以根据勾股定理得：AB2AM2BM2 ( 2a a)2 ( 2a)25 22a2所以 AB (522)a6. 一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水
7、，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t 分。求两根水管各自注水的速度。解：设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x。由题意得：txvxv82ACBPDP A D C B 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 解之得：tvx85经检验得：tvx85是原方程解。小口径水管速度为tv85，大口径水管速度为tv25。7如图 11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（ 2，1
8、） ，且P（1， 2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得OBQ与OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图 12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值解： （1）设正比例函数解析式为ykx，将点M（2，1）坐标代入得12k，所以正比例函数解析式为12yx同样可得，反比例函数解析式为2yx（2）当点Q在直线DO上运动时，设点Q的
9、坐标为1()2Q mm，于是211112224OBQSOBBQmmm，而1(1)(2)12OAPS，所以有，2114m，解得2m所以点Q的坐标为1(2 1)Q，和2(21)Q，（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OPCQ，OQPC，图xyBAOMQP图xyBCAOMPQ精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 而点P（1，2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值因为点Q在第一象限中双
10、曲线上，所以可设点Q的坐标为2()Q nn，由勾股定理可得222242()4OQnnnn，所以当22()0nn即20nn时，2OQ有最小值4，又因为OQ为正值，所以OQ与2OQ同时取得最小值，所以OQ有最小值2由勾股定理得OP5，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是8. 如图，P是边长为1 的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB. （1）求证：PE=PD； PEPD；（2）设AP=x, PBE的面积为y. 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值. 解： （1）证法一：四边形ABCD是正方形，A
11、C为对角线，BC=DC, BCP=DCP=45. PC=PC，PBCPDC（SAS ）. PB= PD， PBC=PDC. 又PB= PE ，PE=PD. （i ）当点E在线段BC上(E与B、C不重合 ) 时， PB=PE，PBE=PEB，PEB=PDC，PEB+PEC=PDC+PEC=180，DPE=360-( BCD+PDC+PEC)=90，PEPD. ）（ii ）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PEPD. （iii）当点E在BC的延长线上时，如图. PEC=PDC， 1=2，DPE=DCE=90，PEPD. 综合（ i ） （ ii ） （iii）, PEPD. （2）
12、过点P作PFBC，垂足为F，则BF=FE. A P D A B C D P E 1 2 H 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - AP=x，AC=2 ，PC=2 - x，PF=FC=xx221)2(22. BF=FE=1-FC=1-(x221)=x22. SPBE=BFPF=x22(x221)xx22212. 即xxy22212 (0 x2 ). 41)22(21222122xxxy. 21a0， 当22x时，y最大值41. （1）证法
13、二：过点P作GFAB，分别交AD、BC于G、F. 如图所示 . 四边形ABCD是正方形， 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，AGP和PFC都是等腰直角三角形. GD=FC=FP，GP=AG=BF，PGD=PFE=90. 又PB=PE，BF=FE，GP=FE，EFPPGD（SAS ）. PE=PD. 1=2. 1+3=2+3=90. DPE=90. PEPD. （2）AP=x，BF=PG=x22，PF=1-x22. SPBE=BFPF=x22(x221)xx22212. 即xxy22212 (0 x2 ). 41)22(21222122xxxy. 21a0， 当22x时，y最大值41. A
14、 B C P D E F G 1 2 3 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 9、如图，直线y=k1x+b 与反比例函数 y=k2x 的图象交于A（1，6） ，B（a，3）两点（1）求 k1、k2的值 （2）直接写出 k1x+b-k2x0 时 x 的取值范围； （3）如图，等腰梯形OBCD 中， BC OD ，OB=CD ，OD边在 x 轴上，过点C作 CE OD于点 E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形 OBCD 的面积为 12时，请判断PC和 PE的大小关系，并说明理由10、如图 12，已知直线12yx与双曲线(0)kykx交于AB，两点，且点A的横坐标为4（1）求k的值；（2）若双曲线(0)kykx上一点C的纵坐标为8，求AOC的面积；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线(0)kykx于PQ，两点（P点在第一象限） ，若由点ABPQ， ， ，为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标图 12 OxAyB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -