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1、1,curvilinear integral,第二节 对坐标的曲线积分,问题的提出,coordinates,对坐标的曲线积分的概念,对坐标的曲线积分的计算,第十章 曲线积分与曲面积分,两类曲线积分之间的关系,小结 思考题 作业,2,变力沿曲线所作的功,常力沿直线所作的功,分割,实例,？,一、问题的提出,3,求和,取极限,取近似,取,即,4,二、对坐标的曲线积分的概念,设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑,用L上的点:,把L分成n个有向小弧段,曲线弧,在L上有界.,上任意取定的点.,5,如果当各小段长度的最大值,的极限总存在,记作,则称此极限为函数,在有向曲线弧 L上,或称,第二类曲线积分
2、.,对坐标x的曲线积分,即,类似地定义,称,在有向曲线弧 L上,对坐标y的曲线积分.,6,在光滑曲线弧L上,“点积”形式,第二类曲线积分存在.,连续,其中,7,8,空间有向曲线弧,9,L1,L2,对坐标的曲线积分与,(1),则,(2),有向曲线弧,则,曲线的方向有关.,10,对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,三、对坐标的曲线积分的计算,思想是,因此下限应是起点的坐标,化为定积分计算.,上限是终点的,坐标.,11,定理,连续,且,12,特殊情形,(1),(2),则,则,13,(3),推广,14,例,解,(1),15,(2),16,其中是由点A(1,1,1)到点B(2,3,4)的直线段.,直线A
3、B的方程为,解,化成参数式方程为,于是,例,A点对应,B点对应,17,例,(1) L是上半圆周 反时针方向;,解,A点对应,(2) L是x轴上由点 到点 的线段.,(1)中L的参数方程为,B点对应,其中,原式=,18,(2) L的方程为,原式=,(2) L是x轴上由点 到点 的线段.,其中,19,设A对应,例,设点 M(x,y,z) 的向径,一单位正电荷沿光滑曲线:,解,即,根据库伦定律,位于原点(0,0,0)处的电荷q产生的静电场中,求电场所作的功W.,从点A移到点B,B对应,的电场力,位于点M处的单位正电荷受到,20,因此所求的功为,其中,分别是点A和B到原点的距离.,21,补充,在分析问
4、题和算题时常用的,L在上半平面部分与,P(x, y)为,P(x, y)为,其中L1是曲线L的上半平面的部分.,类似地,对称性质,对坐标的曲线积分,当平面曲线L是分段,光滑的,关于,下半平面部分的走向相反时,x 轴对称,则,y的偶函数,y的奇函数,的讨论也有相应的结论.,对,22,例,直接化为定积分计算,取逆时针方向.,解,法一,由曲线积分的性质.,则,其中ABCDA为,23,将原式分成两部分,即,曲线关于,的走向与L在下半部分的走向相反,法二,被积函数为,利用对称性质,L在上半部分,x轴对称,y的偶函数.,原式,24,曲线关于,L在右半部分的走向与L在左半部分的走向相反,被积函数为,所以,y轴
5、对称,x的偶函数.,25,?,四、两类曲线积分之间的关系,设有向平面曲线弧为,则,正负号的选取要使切向量与曲线方向对应！,26,可用向量表示,有向曲线元,则,推广,空间曲线,正负号的选取要使切向量与曲线方向对应！,27,例,解,所以,把对坐标的曲线积分,化为对弧长的曲线积分.,其中L为沿抛物线,从点(0,0)到(1,1).,28,对坐标曲线积分的概念,对坐标曲线积分的计算,两类曲线积分之间的联系,五、小结,四步:分割、取近似、求和、取极限,思想:化为定积分计算,对坐标曲线积分的物理意义,变力沿曲线所作的功,关于曲线方向的性质,注意:,对坐标的曲面积分的性质,29,思考题,1988年研究生考题,计算(9分),答案,30,作 业,习题10-2 (141页),2. 3. (2) (3) (5) (7) 4. 5. 7.(2) (3) 8.,