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1、高等数学 2第二节一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念 与性质与性质二、二、 对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系 对坐标的曲线积分 第十一章 3一、一、 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1. 引例引例: 变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, ABLxy求移cosABFW “大化小” “常代变”“近似和” “取极限”常力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.ABF ABF),(, ),(),(yxQyxPyxF41
2、) “大化小大化小”.1kMkMABxy2) “常代变常代变”L把L分成 n 个小弧段,有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替, ),(kk则有kkkkyQxP),(),(kk所做的功为,kWF 沿kkMM1kkkkMMFW1),(k),(kkFnkkWW1则用有向线段 kkMM1kkMM1上任取一点在kykx),(, ),(),(yxQyxPyxF53) “近似和近似和”4) “取极限取极限”nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10limkkkkkky)Q(x)P,(1kMkMABxyL),(kkFkykx(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)62. 2. 定义定义. .设 L
3、 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在,在有向有向曲线弧 L 上对坐标坐标的曲线积分的曲线积分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim则称此极限为函数或第二类曲线积分第二类曲线积分. 其中, ),(yxPL 称为积分弧段积分弧段 或 积分曲线积分曲线 .称为被积函数被积函数 , 在L 上定义了一个向量函数极限),(, ),(),(yxQyxPyxF记作),(yxF),(yxQ7LxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ若
4、 为空间曲线弧 , 记称为对 x 的曲线积分;称为对 y 的曲线积分.若记, 对坐标的曲线积分也可写作)d,(ddyxs LLyyxQxyxPsFd),(d),(d),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxFzzyxRyzyxQxzyxPsFd),(d),(d),(d)d,d,(ddzyxs 类似地, 81).1).存在条件：存在条件：.,),(),(第二类曲线积分存在上连续时在光滑曲线弧当LyxQyxP2).2).组合形式组合形式 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF其中. LdsF93. 3. 性质性质(1
5、) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxyxP1d),(d),(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 则LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(则 定积分是第二类曲线积分的特例定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明: : 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向 !10二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理定理:),(, ),(yxQyxP设在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为)()(tytx,:t则曲线积分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)
6、(ttd)(),(ttQ连续,存在, 且有思想方法： 统一变量化为定积分,积分限由起点到终点。利用变量代入法可得上式 左边右边 dttxdtx dttydty证明证明：11特别是, 如果 L 的方程为,:),(baxxy则xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(对空间光滑曲线弧 :类似有zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),()(t)(t)(t ( ),( ),( )Qttt)(, )(),(tttRtd )(, )(),(tttP,:)()()(ttztytx例例1 1：计算：12LyxydexxdeyI11其中L 为折线 OABO, O(0,
7、0) A(1,0) B(1,2).xAy0B解：解：BOABOAL1000:xydyOA01:22:xxdydxyBO2001:yxdxAB10 xdeIx202ydey0121212xdexexxx102xdexx202ydey10212xdexx7212e例例2. 2. 求13ozyx,d)(d)()(zyxyzxdxyzI其中,2122zyxyx从 z 轴正向看为顺时针方向.解解: 取 的参数方程,sin,costytx2cossin( :)20tztt20Itttcos)sincos22(tttttd )sin)(cossin(cos)sin)(cos2(tt tt d)cos41 (
8、2202例例3.3. 设曲线C为曲面142222azyx与曲面axyx22,)0, 0(的交线az从 ox 轴正向看去为逆时针方向,(1) 写出曲线 C 的参数方程 ;(2) 计算曲线积分.ddd222zxyzxyC解解: (1)22222)()(aayx222yxaztxaacos22tyasin22sintaz 20:taxa 2yxzao15(2)ta38sin3tttadcos)cos1 (228320令tuuuuaacoscossin2223833uuuadsin)cos1 (2283利用“偶倍奇零”0232auuudcos2cos134attacossin2223.ddd222zx
9、yzxyCtyasin22sintaz 20:ttxaacos2216例例5.5. 已知)0 , 0 , 1 (A)0 , 1 , 0(B) 1 , 0 , 0(Coxyz为折线 ABCOA(如图), 计算zyyxIddd解解:I001d)1 (yy10dx2)211 ( 12101d2 xI1 yx1 zyyxABddzyyBCddOAxddxdyxyAB1:dydzyzBC1:17三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为)0()(, )(lssyysxx已知L切向量的方向余弦为sysxddcos,ddcos则两类曲线积分有如下联系Ly
10、yxQxyxPd),(d),(ssysysxQsxsysxPlddd)(),(dd)(),(0ssysxQsysxPldcos)(),(cos)(),(0LsyxQyxPdcos),(cos),(yx0ABMSdydxd18类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是zRyQxPdddsRQPdcoscoscos令tAsAtd, ),(RQPA )d,d,(ddzyxs )cos,cos,(cost sA d sA dstAd记 A 在 t 上的投影为19例例1 1) 1 , 1 ()0 , 0(:,),(),(2BOxyLdyyxQdxyxPL到从点沿其中化为对弧长的曲线积分把:解解)()
11、,(向沿处切向量中任一点OByxL2, 1xT 2xyxx方向余弦,cos2411x .412cos2xxdyyxQdxyxPL),(),(LdsxyxxQyxP241),(2),(例例2.2.20将积分yyxQxyxPLd),(d),(化为对弧长的积分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到从解：解：oyxB,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212sxddcos,22xx syddcosx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx )1(x其中L 沿上半圆周例例3. 3. 设21二者夹角为 ,max22QPM曲线段 L 的长度为s, 证明),(, ),(yxQyxP连续,sMyQxPLdd证证:LyQxPddsQPLdcoscos设sMsQPLdcoscos说明说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上)cos,(cos, ),(tQPAstALdsALdcos作业作业 22P200 3 4, 6, 8; 4 1, 3; 5 ; 72; 8