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1、高等数学对坐标曲线积分第1页，此课件共27页哦一、一、对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例引例:设一质点受如下变力作用在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”恒力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.变力沿曲线所作的功.第2页，此课件共27页哦1)把L分成 n 个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F 沿则用有向线段 上任取一点在“大化小大化小”.2)“常代变常代变”第3页，此课件共27页哦3)“近似和近似和”4)“取极限取极限”(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)第4页，此课件共27
2、页哦2.定义定义 设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条弧弧,和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,则称此极限为向量函数或第二类曲线或第二类曲线其中,L 称为称为极限记作有向光滑有向光滑函数 在 L 上有界.若对 L 的任意分割积分积分.被积函数被积函数,积分弧段积分弧段 或或 积分曲线积分曲线.第5页，此课件共27页哦若 为空间曲线弧,记若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,称为函数 在曲线L上对坐标 x 的曲线积分;称为函数 在曲线L上对坐标 y 的曲线积分.第6页，此课件共27页哦3.性质性质(1)若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧(
3、2)用L 表示 L 的反向弧,则则 定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!第7页，此课件共27页哦二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理定理 在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分连续,证明证明存在,且有下面先证第8页，此课件共27页哦对应参数设分点根据定义由于对应参数因为L 为光滑弧,同理可证第9页，此课件共27页哦特别是,如果 L 的方程为则对空间光滑曲线弧 :类似有定理 第10页，此课件共27页哦例例1其中L 为沿抛物线解法解法1解法解法2从点的一段.计算取 x 为参数,则取 y 为参数,则第11页，此课件共
4、27页哦例例2其中 L 为(1)半径为 a 圆心在原点的 上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).解解(2)取 L 的方程为则则计算(1)取L的参数方程为第12页，此课件共27页哦例例3其中L为(1)抛物线 (2)抛物线 (3)有向折线 解解(2)原式(3)原式 计算(1)原式第13页，此课件共27页哦例例4作用下,质点由沿 移动到解解(2)的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中 为 设在力场(1)第14页，此课件共27页哦例例5其中从 z 轴正向看为顺时针方向.解解求取 的参数方程第15页，此课件共27页哦三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分
5、之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系第16页，此课件共27页哦类似地,在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是令记 A 在 t 上的投影为第17页，此课件共27页哦二者夹角为 例例6曲线段 L 的长度为s,证明续,证证 设说明说明:在L上连 设上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.第18页，此课件共27页哦例例7 将积分化为对弧长的积分,解解其中L 沿上半圆周第19页，此课件共27页哦1.定义2.性质(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)L 表示 L 的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向对坐标的曲线积分必须注意积分弧段
6、的方向!内容小结内容小结第20页，此课件共27页哦3.计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧第21页，此课件共27页哦4.两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧:第22页，此课件共27页哦原点 O 的距离成正比,思考与练习思考与练习1.处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示提示:(解见 P196 例5)F 的大小与M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功.思考思考:若题中F 的方向 改为与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则 设一个质点在第23页，此课件共27页哦2.已知为折线 ABCOA(如图),计算提示提示:第24页，此课件共27页哦补充题补充题 1.解解线移动到向坐标原点,其大小与作用点到 xOy 面的距离成反比.沿直求 F 所作的功 W.已知 F 的方向指一质点在力场F 作用下由点第25页，此课件共27页哦2.设曲线C为曲面与曲面从 O x 轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线 C 的参数方程;(2)计算曲线积分解解(1)第26页，此课件共27页哦(2)原式=令利用“偶倍奇零”第27页，此课件共27页哦