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1、学习好资料欢迎下载山东省各市 2013 年中考数学试题分类汇编（解析版）二次函数一、填空、选择题1、（2013 滨州市）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a 0）的图象与x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C点，且对称轴为x=1，点 B 坐标为（1，0）则下面的四个结论：2a+b=0；4a2b+c0；ac0；当 y0 时，x 1 或 x2其中正确的个数是（）A1B2C3D4考点：二次函数图象与系数的关系分析：根据对称轴为x=1 可判断出 2a+b=0 正确，当 x=2 时，4a2b+c0，根据开口方向，以及与 y 轴交点可得ac0，再求出 A 点坐标，可得当y0 时，x 1 或 x3解
2、答：解：对称轴为x=1，x=1，b=2a，2a+b=0，故此选项正确；点 B 坐标为（1，0），当 x=2 时，4a2b+c0，故此选项正确；图象开口向下，a0，图象与y 轴交于正半轴上，c0，ac0，故 ac0 错误；对称轴为x=1，点 B 坐标为（1，0），A 点坐标为：（3，0），当 y0 时，x1 或 x3，故错误；故选：B点评：此题主要考查了二次函数与图象的关系，关键掌握二次函数y=ax2+bx+c（a 0）二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小当 a0 时，抛物线向上开口；当a0 时，抛物线向下开口；IaI 还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小一次项系数b 和二次项系数a 共
3、同决定对称轴的位置名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 30 页 -学习好资料欢迎下载当 a 与 b 同号时（即ab0），对称轴在y 轴左；当 a 与 b 异号时（即ab0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）常数项c 决定抛物线与y 轴交点抛物线与y 轴交于（0，c）抛物线与x 轴交点个数=b2 4ac0 时，抛物线与x 轴有 2 个交点；=b24ac=0 时，抛物线与x 轴有 1 个交点；=b2 4ac0 时，抛物线与x 轴没有交点2、（2013 德州市）下列函数中，当x0 时，y 随 x 的增大而增大的是（）Ay=x+1 By=x21 C1yxDy=x2+1 考点：
4、二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质分析：根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断解答：解：A、y=x+1，一次函数，k0，故 y 随着 x 增大而减小，错误；B、y=x21（x0），故当图象在对称轴右侧，y 随着 x 的增大而增大；而在对称轴左侧（x0），y 随着 x 的增大而减小，正确C、y=，k=10，在每个象限里，y 随 x 的增大而减小，错误；D、y=x2+1（x0），故当图象在对称轴右侧，y 随着 x 的增大而减小；而在对称轴左侧（x0），y 随着 x 的增大而增大，错误；故选 B点评：本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性
5、（单调性），是一道难度中等的题目3、（2013 德州市）函数y=x2+bx+c 与 y=x 的图象如图所示，有以下结论：b24c0；b+c+1=0；3b+c+6=0；当 1x3 时，x2+（b1）x+c0其中正确的个数为（）A1B2C3D4考点：二次函数图象与系数的关系分析：由函数 y=x2+bx+c 与 x 轴无交点，可得b24c0；当 x=1 时，y=1+b+c=1；当 x=3 时，y=9+3b+c=3；当 1x3 时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c x，继而可求得答案解答：解：函数y=x2+bx+c 与 x 轴无交点，b24c0；故错误；当 x=1 时，y=1+b+c=1，
6、故错误；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 30 页 -学习好资料欢迎下载当 x=3 时，y=9+3b+c=3，3b+c+6=0；正确；当 1x3 时，二次函数值小于一次函数值，x2+bx+c x，x2+（b1）x+c0故正确故选 B点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用4、（2013 菏泽市）已知b0 时，二次函数y=ax2+bx+a21 的图象如下列四个图之一所示根据图象分析，a 的值等于（）A 2 B 1 C1 D2 考点：二次函数图象与系数的关系专题：数形结合分析：根据抛物线开口向上a0，抛物线开口向下a0，然后利用
7、抛物线的对称轴或与y 轴的交点进行判断，从而得解解答：解：由图可知，第1、2 两个图形的对称轴为y 轴，所以x=0，解得 b=0，与 b0 相矛盾；第 3 个图，抛物线开口向上，a0，经过坐标原点，a21=0，解得 a1=1，a2=1（舍去），对称轴 x=0，所以 b 0，符合题意，故 a=1，第 4 个图，抛物线开口向下，a0，经过坐标原点，a21=0，解得 a1=1（舍去），a2=1，对称轴 x=0，所以 b 0，不符合题意，综上所述，a 的值等于 1故选 C点评：本题考查了二次函数y=ax2+bx+c 图象与系数的关系，a的符号由抛物线开口方向确定，难点在于利用图象的对称轴、与y 轴的交
8、点坐标判断出b 的正负情况，然后与题目已知条件b0 比较名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 30 页 -学习好资料欢迎下载5、（2013 济宁市）二次函数y=ax2+bx+c（a 0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A a0 B 当 1x3 时，y0 Cc0 D当 x 1 时，y 随 x 的增大而增大考点：二次函数图象与系数的关系分析：由抛物线的开口方向判断a与 0 的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与 0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答：解：A抛物线的开口方向向下，则a0故本选项错误；B根据图示知，抛物线
9、的对称轴为x=1，抛物线与x 轴的一交点的横坐标是1，则抛物线与x 轴的另一交点的横坐标是3，所以当 1x3 时，y0故本选项正确；C根据图示知，该抛物线与y 轴交与正半轴，则c0故本选项错误；D根据图示知，当x 1 时，y 随 x 的增大而减小，故本选项错误故选 B点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系二次函数y=ax2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定6、（2013 聊城市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=经过平移得到抛物线y=，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（）A 2 B4 C8 D16 考点：二次函数图象与
10、几何变换名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 30 页 -学习好资料欢迎下载分析：根据抛物线解析式计算出y=的顶点坐标，过点C 作 CAy 轴于点 A，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形ACBO 的面积，然后求解即可解答：解：过点C 作 CA y，抛物线y=（x24x）=（x24x+4）2=（x2）22，顶点坐标为C（2，2），对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2 2=4，故选：B点评：本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键7、（2013 聊城市）二次函数 y=ax2+b
11、x 的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b 的图象大致是（）ABCD考点：二次函数的图象；一次函数的图象专题：数形结合分析：根据二次函数图象的开口方向向下确定出a0，再根据对称轴确定出b0，然后根据一次函数图象解答即可解答：解：二次函数图象开口方向向下，a0，对称轴为直线x=0，b0，一次函数y=ax+b 的图象经过第二四象限，且与y 轴的正半轴相交，C 选项图象符合故选 C名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 30 页 -学习好资料欢迎下载点评：本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，根据图形确定出a、b 的正负情况是解题的关键8、（2013 临沂市）如图，正方形
12、ABCD 中，AB=8cm,对角线 AC,BD相交于点O,点 E,F 分别从 B,C 两点同时出发，以1cm/s 的速度沿 BC,CD运动，到点C,D 时停止运动，设运动时间为t(s),OEF 的面积为s(2cm)，则 s(2cm)与 t(s)的函数关系可用图像表示为答案：B 解析：经过 t 秒后，BE CFt，CE DF8t，1422BECStt，211(8)422ECFStttt，1(8)41622ODFStt，所以，2211322(4)(162)41622OEFStttttt，是以（4,8）为顶点，开口向上的抛物线，故选B。9、（2013 日照市）如图,已知抛物线xxy421和直线xy2
13、2.我们约定：当 x 任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2，若 y1y2，取 y1、y2中的较小值记为M；若 y1=y2，记 M=y1=y2.下列判断：当 x2 时，M=y2；当 x 0 时，x 值越大，M 值越大；使得 M 大于 4 的 x 值不存在；若 M=2，则 x=1.其中 正确的 有A1 个B2 个C 3 个D4 个名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 30 页 -学习好资料欢迎下载答案：B 解析：当 x2 时，由图象可知y2y1，My1，所以，不正确；当 x0 时，由图象可知y2y1，My1，x 值越大，M 值越大，正确；M 最大值为 4，所以，正确；
14、M2 时，x 的值有两个，不一定是1，所以，不正确，正确的有2 个，选 B。10、（2013 泰安市）对于抛物线y=（x+1）2+3，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线 x=1；顶点坐标为（1，3）；x1 时，y 随 x 的增大而减小，其中正确结论的个数为（）A 1 B2 C3 D4 考点：二次函数的性质分析：根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解解答：解：a=0，抛物线的开口向下，正确；对称轴为直线x=1，故本小题错误；顶点坐标为（1，3），正确；x 1 时，y 随 x 的增大而减小，x1 时，y 随 x 的增大而减小一定正确；综上所述，结论正确的个数是共 3 个故选 C点评：本题
15、考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性11、（2013 烟台市）如图是二次函数y=ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=1，且过点（3，0）下列说法：abc0；2ab=0；4a+2b+c0；若（5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1y2其中说法正确的是（）A B C D 考点：二次函数图象与系数的关系分析：根据图象得出a0，b=2a0，c0，即可判断；把 x=2 代入抛物线的解析式即可判断，求出点（5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x 1 时，y 随 x的增大而增大即可判断 解答：解：二次函数的图象的开口向上
16、，a0，二次函数的图象y 轴的交点在y 轴的负半轴上，c0，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 30 页 -学习好资料欢迎下载二次函数图象的对称轴是直线x=1，=1，b=2a0，abc 0，正确；2ab=2a2a=0，正确；二次函数y=ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=1，且过点（3，0）与 x 轴的另一个交点的坐标是（1，0），把 x=2 代入 y=ax2+bx+c 得：y=4a+2b+c0，错误；二次函数y=ax2+bx+c 图象的对称轴为x=1，点（5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，3，y2
17、y1，正确；故选 C点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力12（2013 泰安）在同一坐标系内，一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax2+8x+b 的图象可能是（）考点：二次函数的图象；一次函数的图象分析：令 x=0，求出两个函数图象在y 轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解解答：解：x=0 时，两个函数的函数值y=b，所以，两个函数图象与y 轴相交于同一点，故B、D 选项错误；由 A、C 选项可知，抛物线开口方向向上，所以，a0，所以，一次函数y=ax+b 经过第一三象
18、限，所以，A 选项错误，C 选项正确故选 C点评：本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等二、解答题1、（2013 滨州市）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形其中，抽屉底面周长为180cm，高为 20cm请通过计算说明，当底面的宽x 为何值时，抽屉的体积y 最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 30 页 -学习好资料欢迎下载考点：二次函数的应用分析：根据题意列出二次函数关系式，然后利用二次函
19、数的性质求最大值解答：解：已知抽屉底面宽为x cm，则底面长为180 2x=（90 x）cm由题意得：y=x（90 x）20=20（x290 x）=20（x45）2+40500 当 x=45 时，y 有最大值，最大值为40500答：当抽屉底面宽为45cm 时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm3点评：本题考查利用二次函数解决实际问题求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=x22x+5，y=3x26x+1 等用配方法求解比较简单2、（2013 德州市）如图，在直角
20、坐标系中有一直角三角形AOB，O 为坐标原点，OA=1，tanBAO=3，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90，得到 DOC，抛物线y=ax2+bx+c 经过点 A、B、C（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t，设抛物线对称轴l 与 x 轴交于一点E，连接 PE，交 CD 于 F，求出当 CEF 与 COD 相似点 P 的坐标；是否存在一点P，使 PCD 得面积最大？若存在，求出PCD 的面积的最大值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）先求出A、B、C 的坐标，再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析式；（2）由（1）的解析式可以求出
21、抛物线的对称轴，分类讨论当CEF=90 时，当 CFE=90时，根据相似三角形的性质就可以求出P 点的坐标；先运用待定系数法求出直线CD 的解析式，设 PM 与 CD 的交点为N，根据 CD 的解析式表示出点 N 的坐标，再根据SPCD=SPCN+SPDN就可以表示出三角形PCD 的面积，运用顶点式就可以求出结论解答：解：（1）在 RtAOB 中，OA=1，tanBAO=3，OB=3OA=3 DOC 是由 AOB 绕点 O 逆时针旋转90 而得到的，DOC AOB，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 30 页 -学习好资料欢迎下载OC=OB=3，OD=OA=1，A、B
22、、C 的坐标分别为（1，0），（0，3）（3，0）代入解析式为，解得：抛物线的解析式为y=x22x+3；（2）抛物线的解析式为y=x22x+3，对称轴l=1，E 点的坐标为（1，0）如图，当 CEF=90 时，CEF COD此时点 P 在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（1，4）；当 CFE=90 时，CFE COD，过点 P 作 PMx 轴于点 M，则 EFC EMP，MP=3EM P 的横坐标为t，P（t，t22t+3）P 在二象限，PM=t22t+3，EM=1t，t22t+3=3（1t），解得：t1=2，t2=3（与 C 重合，舍去），t=2 时，y=（2）22（2）+3=3P（2，3
23、）当 CEF 与 COD 相似时，P 点的坐标为：（1，4）或（2，3）；设直线CD 的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，直线 CD 的解析式为：y=x+1 设 PM 与 CD 的交点为 N，则点 N 的坐标为（t，t+1），NM=t+1 PN=PM NM=t22t+3（t+1）=t2+2SPCD=SPCN+SPDN，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 30 页 -学习好资料欢迎下载SPCD=PM?CM+PN?OM=PN（CM+OM）=PN?OC=3（t2+2）=（t+）2+，当 t=时，SPCD的最大值为点评：本题考查了相似三角形的判定及性质的运用，待定系
24、数法求函数的解析式的运用，三角形的面积公式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答本题时，先求出二次函数的解析式是关键，用函数关系式表示出PCD 的面积由顶点式求最大值是难点3、（2013 东营市）已知抛物线y=ax2+bx+c 的顶点 A（2，0），与 y 轴的交点为B（0，-1）(1)求抛物线的解析式；(2)在对称轴右侧的抛物线上找出一点C，使以 BC 为直径的圆经过抛物线的顶点A并求出点C 的坐标以及此时圆的圆心P 点的坐标(3)在（2）的基础上，设直线x=t（0t10）与抛物线交于点N，当 t 为何值时，BCN 的面积最大，并求出最大值24.(本题满分12 分)分析：（1）已知抛物线的顶点
25、坐标，可直接设抛物线的解析式为顶点式进行求解.A O（第 24 题图）x y B 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 30 页 -学习好资料欢迎下载（2）设 C 点坐标为（x,y）,由题意可知090BAC.过点 C 作CDx轴于点 D,连接 AB,AC.易证AOBCDA,根据对应线段成比例得出,x y的关系式24yx，再根据点C 在抛物线上得2114yxx，联立两个关系式组成方程组，求出,x y的值，再根据点C 所在的象限确定点C的坐标。P 为 BC 的中点，取 OD 中点 H，连 PH，则 PH 为梯形 OBCD 的中位线可得152OHOD,故点 H 的坐标为（5
26、,0）再根据点P 在 BC 上，可求出直线BC 的解析式，求出点P 的坐标。（3）根据BCNBMNCMNSSS,得11052BCNSMNMN，所以求BCNS的最大值就是求MN的最大值，而M,N 两点的横坐标相同，所以MN 就等于点N 的纵坐标减去点M 的纵坐标,从而形成关于 MN 长的二次函数解析式，利用二次函数的最值求解。解：(1)抛物线的顶点是A(2,0)，设抛物线的解析式为2(2)ya x=-.由抛物线过B(0,-1)得41a=-，14a=-2 分抛物线的解析式为21(2)4yx=-.即2114yxx=-+-3 分(2)设 C 的坐标为(x，y).A 在以 BC 为直径的圆上.BAC=9
27、0作 CDx 轴于 D,连接 AB、AC090BAODAC,090DACDCABAODCA AOB CDA4 分OBOAADCD=OBCD=OAAD即 1y=2(x-2).y=2x-4点 C在第四象限.24yx=-+5 分由224,114yxyxx=-+?=-+-?解得1212102,100 xxyy点 C在对称轴右侧的抛物线上.A（第 24(2)答案图）x O y C B P HD 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 30 页 -学习好资料欢迎下载点 C 的坐标为(10,-16)6 分P 为圆心，P 为 BC 中点取 OD 中点 H，连 PH，则 PH 为梯形 O
28、BCD 的中位线PH=21(OB+CD)=2177 分D(10,0)H(5,0)P(5,172-)故点 P 坐标为(5，172-)8 分(3)设点 N的坐标为21,14ttt，直线 x=t（0t10）与直线BC 交于点 M.12BMNSMNtD=?，1(10)2CMNSMNtD=?所以1102BCNBMNCMNSSSMNDDD=+=?9 分设直线 BC 的解析式为ykxb=+，直线 BC 经过 B(0,-1)、C(10,-16)所以1,1016bkb=-?+=-?成立，解得：3,21kb=-?=-?10 分所以直线BC 的解析式为312yx=-，则点 M 的坐标为.3,12ttMN=2114t
29、t312t=21542tt-+11 分2115()10242BCNSttD=-+?=252542tt-+=25125(5)44t-+所以，当t=5 时，BCNSD有最大值，最大值是1254.12 分点拨：（1）已知抛物线的顶点坐标（h,k）一般可设其解析式为2ya xhk.(2)求最值问题一A x O y C B MNx=t（第 24(3)答案图）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 30 页 -学习好资料欢迎下载般考虑根据已知条件构造二次函数求解.4、（2013 菏泽市）如图，三角形 ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形，点 A、C 分别是一次函数y=x+3的图象
30、与y 轴的交点，点B 在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD 能构成平行四边形（1）试求 b，c 的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点 P 从 A 到 D，同时动点 Q 从 C 到 A 都以每秒 1 个单位的速度运动，问：当P运动到何处时，有PQAC？当 P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？考点：二次函数综合题分析：（1）根据一次函数解析式求出点A点 C 坐标，再由ABC 是等腰三角形可求出点B 坐标，根据平行四边形的性性质求出点D 坐标，利用待定系数法可求出b、c 的值，继而得出二次函数表达式（2）设点 P 运动了 t
31、 秒时，PQAC，此时 AP=t，CQ=t，AQ=5t，再由 APQ CAO，利用对应边成比例可求出t 的值，继而确定点P 的位置；只需使 APQ 的面积最大，就能满足四边形PDCQ 的面积最小，设APQ 底边 AP 上的高为h，作 QHAD 于点 H，由 AQH CAO，利用对应边成比例得出h 的表达式，继而表示出APQ 的面积表达式，利用配方法求出最大值，即可得出四边形PDCQ 的最小值，也可确定点P的位置解答：解：（1）由 y=x+3，令 x=0，得 y=3，所以点 A（0，3）；令 y=0，得 x=4，所以点 C（4，0），ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形，B 点坐标为（4，0）
32、，又四边形ABCD 是平行四边形，D 点坐标为（8，3），将点 B（4，0）、点 D（8，3）代入二次函数y=x2+bx+c，可得，解得：，故该二次函数解析式为：y=x2x3（2）设点 P 运动了 t 秒时，PQAC，此时 AP=t，CQ=t，AQ=5 t，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 30 页 -学习好资料欢迎下载PQAC，APQ CAO，=，即=，解得：t=即当点 P 运动到距离A 点个单位长度处，有PQAC S四边形PDCQ+SAPQ=SACD，且 SACD=8 3=12，当 APQ 的面积最大时，四边形PDCQ 的面积最小，当动点 P 运动 t 秒时，
33、AP=t，CQ=t，AQ=5 t，设 APQ 底边 AP 上的高为 h，作 QHAD 于点 H，由 AQH CAO 可得：=，解得：h=（5t），SAPQ=t（5t）=（t2+5t）=（t）2+，当 t=时，SAPQ达到最大值，此时 S四边形PDCQ=12=，故当点 P 运动到距离点A 个单位处时，四边形PDCQ 面积最小，最小值为点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是找到满足题意时的相似三角形，利用对应边成比例的知识得出有关线段的长度或表达式，难度较大5、（2013 莱芜市）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a
34、 0）经过点A（3，0）、B（1，0）、C（2，1），交 y 轴于点 M（1）求抛物线的表达式；（2）D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE 垂直 x 轴于点 E，交线段 AM 于点 F，求线段 DF长度的最大值，并求此时点D 的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作 PN 垂直 x 轴于点 N，使得以点P、A、N 为顶点的三角形与MAO 相似？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 30 页 -学习好资料欢迎下载考点：二次函数综合题分析：（1）把点 A、B、C 的坐标分别代入已知抛物线的解析式列出关于系数的三元一次方程组
35、，通过解该方程组即可求得系数的值；（2）由（1）中的抛物线解析式易求点M 的坐标为（0，1）所以利用待定系数法即可求得直线 AM 的关系式为y=x+1 由题意设点D 的坐标为（），则点 F的坐标为（）易求DF=根据二次函数最值的求法来求线段DF 的最大值；（3）需要对点P的位置进行分类讨论：点P 分别位于第一、二、三、四象限四种情况此题主要利用相似三角形的对应边成比例进行解答解答：由题意可知9300421abcabcabc.解得13231abc.抛物线的表达式为y=212133xx.（2）将 x=0 代入抛物线表达式，得y=1.点 M的坐标为（0,1）.设直线 MA的表达式为y=kx+b，则1
36、31.kb130bkb.解得 k=13，b=1.直线 MA的表达式为y=13x+1.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 30 页 -学习好资料欢迎下载设点 D的坐标为（200012,133xxx），则点F的坐标为（001,13xx）.DF=20001211(1)333xxx=220001133()3324xxx.当032x时，DF的最大值为34.此时2001251334xx，即点 D的坐标为（3 5,2 4）.（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与MAO 相似.在 RtMAO 中，AO=3MO,要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限.设点
37、P在第二象限时，点P不可能在直线MN上，只能PN=3NM,21213(3)33mmm，即211240mm.解得 m=3（舍去）或m=8.又 3M0,故此时满足条件的点不存在.当点 P在第三象限时，点P不可能在直线MN上，只能PN=3NM,21213(3)33mmm，即211240mm.解得 m=3或 m=8.此时点 P的坐标为（8，,15）.当点 P在第四象限时，若 AN=3PN 时,则 3212(1)333mmm，即260mm.解得 m=3（舍去）或m=2.当 m=2时，2001251333xx.此时点 P的坐标为（2，53）.若 PN=3NA,则212(1)3(3)33mmm，即27300
38、mm.解得 m=3（舍去）或m=10，此时点 P的坐标为（10，,39）.综上所述，满足条件的点P的坐标为（8，,15）、（2，53）、（10，,39）.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 30 页 -学习好资料欢迎下载点评：本题考查了二次函数综合题其中涉及到了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质以及二次函数最值的求法需注意分类讨论，全面考虑点P 所在位置的各种情况6、（2013 聊城市）已知ABC 中，边 BC 的长与 BC 边上的高的和为20（1）写出 ABC 的面积 y 与 BC 的长 x 之间的函数关系式，并求出面积为48 时 BC 的长；（2）当
39、BC 多长时，ABC 的面积最大？最大面积是多少？（3）当 ABC 面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明考点：二次函数综合题分析：（1）先表示出BC 边上的高，再根据三角形的面积公式就可以表示出表示y 与 x 之间的函数关系式，当y=48 时代入解析式就可以求出其值；（2）将（1）的解析式转化为顶点式就可以求出最大值（3）由（2）可知 ABC 的面积最大时，BC=10，BC 边上的高也为10 过点 A 作直线 L 平行于 BC，作点 B 关于直线L 的对称点 B，连接 BC 交直线 L 于点 A，再连接AB，AB，根据轴对称的性质
40、及三角形的周长公式就可以求出周长的最小值解答：解：（1）由题意，得y=x2+10 x，当 y=48 时，x2+10 x=48，解得：x1=12，x2=8，面积为48 时 BC 的长为 12 或 8；（2）y=x2+10 x，y=（x10）2+50，当 x=10 时，y最大=50；（3）ABC 面积最大时，ABC 的周长存在最小的情形理由如下：由（2）可知 ABC 的面积最大时，BC=10，BC 边上的高也为10 过点 A 作直线 L 平行于 BC，作点 B 关于直线 L 的对称点 B，连接 BC 交直线 L 于点 A，再连接AB，AB 则由对称性得：AB=A B，AB=AB，AB+A C=A
41、B+AC=BC，当点 A 不在线段BC 上时，则由三角形三边关系可得：ABC 的周长=AB+AC+BC=AB+AC+BCBC+BC，当点 A 在线段 BC 上时，即点A 与 A重合，这时ABC 的周长=AB+AC+BC=AB+A C+BC=B C+BC，因此当点A 与 A重合时，ABC 的周长最小；这时由作法可知：BB=20，BC=10，ABC 的周长=10+10，因此当 ABC 面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为10+10名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 30 页 -学习好资料欢迎下载x y A O C B（第 26 题图）x y A O C B（第
42、26 题图）NP N M H M点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数的解析式的运用，一元二次方程的解法和顶点式的运用，轴对称的性质的运用，在解答第三问时灵活运用轴对称的性质是关键7、（2013 临沂市）如图，抛物线经过5(1,0),(5,0),(0,)2ABC三点.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使 PA+PC 的值最小，求点P的坐标；(3)点 M为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以 A,C,M,N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.解析：解：（1）设抛物线的解析式为2yaxbxc，根据题意，得0,2
43、550,5.2abcabcc，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 30 页 -学习好资料欢迎下载解得1,22,5.2abc抛物线的解析式为：2152.22yxx(3 分)（2）由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接 BC交抛物线的对称轴于点P，则 P点即为所求.设直线 BC的解析式为ykxb，由题意，得50,5.2kbb解得1,25.2kb直线 BC 的解析式为15.22yx(6 分)抛物线215222yxx的对称轴是2x，当2x时，153.222yx点 P的坐标是3(2,)2.(7 分)（3）存在(8 分)(i)当存在的点N 在 x 轴的下方时，如图所
44、示，四边形 ACNM 是平行四边形，CNx 轴，点C与点 N 关于对称轴x=2 对称，C 点的坐标为5(0,)2，点 N 的坐标为5(4,).2(11 分)（II）当存在的点N在 x 轴上方时，如图所示，作N Hx轴于点 H，四边形ACM N是平行四边形，,ACM NN M HCAO,Rt CAO Rt N M H,N HOC.点 C 的坐标为55(0,),22N H,即 N 点的纵坐标为52，21552,222xx即24100 xx解得12214,214.xx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 30 页 -学习好资料欢迎下载点N的坐标为5(214,)2和5(214
45、,)2.综上所述，满足题目条件的点N 共有三个，分别为5(4,).2，5(214,)2，5(214,)2(13 分)8、（2013 日照市）已知，如图(a)，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(x1,0),B(x2,0)，C(0,-2)，其顶点为 D.以 AB 为直径的 M 交 y 轴于点 E、F，过点 E 作 M 的切线交 x 轴于点 N.ONE=30 ，|x1-x2|=8.（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）连结 AD、BD,在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使得 ABP 与 ADB 相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图（b）,点 Q 为上的动点（
46、Q 不与 E、F 重合），连结 AQ 交 y 轴于点 H，问：AHAQ 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.解析：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 21 页，共 30 页 -学习好资料欢迎下载(2）如图，由抛物线的对称性可知：BDAD，DBADAB相似，与使侧图像上存在点若在抛物线对称轴的右ADBABPP,必须有BADBPABAP设 AP 交抛物线的对称轴于D 点，显然)38,2(D，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 22 页，共 30 页 -学习好资料欢迎下载直线OP的解析式为3432xy，由2326134322xxx，得10,221xx（舍
47、去）.)8,10(P.过P作,GxPG轴，垂足为,8,4 PGBGBGPRt中，在8548422PBBPABAP.ABPBPAB与BAD不相似，9分同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点所以在该抛物线上不存在点P，使得与PAB与相似 10 分(3)连结 AF、QF,在AQF和AFH中，由垂径定理易知：弧AE=弧 AF.AFHAQF,又HAFQAF,AQFAFH,AFAHAQAF,2AFAQAH 12 分在 RtAOF 中，AF2AO2OF222(23)216（或利用AF2AO AB2 816）AH AQ 16 即：AH AQ 为定值。14 分名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师
48、精心整理-第 23 页，共 30 页 -学习好资料欢迎下载9、（2013 泰安市）如图，抛物线y=x2+bx+c 与 y 轴交于点 C（0，4），与 x 轴交于点A，B，且 B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式（2）若点 P 是 AB 上的一动点，过点 P 作 PEAC，交 BC 于 E，连接 CP，求PCE 面积的最大值（3）若点 D 为 OA 的中点，点M 是线段 AC 上一点，且 OMD 为等腰三角形，求M 点的坐标考点：二次函数综合题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出 PCE 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）OMD 为等腰三角
49、形，可能有三种情形，需要分类讨论解答：解：（1）把点 C（0，4），B（2，0）分别代入y=x2+bx+c 中，得，解得该抛物线的解析式为y=x2+x4（2）令 y=0，即 x2+x4=0，解得 x1=4，x2=2，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 24 页，共 30 页 -学习好资料欢迎下载A（4，0），SABC=AB?OC=12设 P点坐标为（x，0），则 PB=2xPEAC，BPE=BAC，BEP=BCA，PBE ABC，即，化简得：SPBE=（2x）2SPCE=SPCBSPBE=PB?OCSPBE=（2x）4（2x）2=x2x+=（x+1）2+3 当 x=1 时，SPC
50、E的最大值为3（3）OMD 为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当 DM=DO 时，如答图 所示DO=DM=DA=2，OAC=AMD=45 ，ADM=90 ，M 点的坐标为（2，2）；（II）当 MD=MO 时，如答图 所示过点 M 作 MN OD 于点 N，则点 N 为 OD 的中点，DN=ON=1，AN=AD+DN=3，又AMN 为等腰直角三角形，MN=AN=3，M 点的坐标为（1，3）；（III）当 OD=OM 时，OAC 为等腰直角三角形，点 O 到 AC 的距离为 4=，即 AC 上的点与点O 之间的最小距离为2，OD=OM 的情况不存在综上所述，点M 的坐标为（2，2）或（1，3）