2022年山东各市中考数学试题分类解析汇编专题10四边形 .pdf

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1、山东各市 2012 年中考数学试题分类解析汇编专题 10：四边形一、选择题1. （2012 山东滨州3 分） 菱形的周长为8cm，高为 1cm，则该菱形两邻角度数比为【】A3： 1B4：1C5：1D6：1 【答案】C。【考点】 菱形的性质；含30 度角的直角三角形的性质。【分析】 如图所示，根据已知可得到菱形的边长为2cm，从而可得到高所对的角为 30 ，相邻的角为150 ，则该菱形两邻角度数比为5：1。故选 C。2. （2012 山东济南3 分） 下列命题是真命题的是【】A对角线相等的四边形是矩形B一组邻边相等的四边形是菱形C四个角是直角的四边形是正方形D对角线相等的梯形是等腰梯形【答案】

2、D。【考点】 命题与定理，矩形、菱形、正方形和等腰梯形的判定。【分析】 根据矩形、菱形、正方形和等腰梯形的判定方法以及定义即可作出判断：A、对角线相等的平形四边形才是矩形，故选项错误；B、一组邻边相等的平形四边形才是菱形，故选项错误；C、四个角是直角的四边形是矩形，故选项错误；D、正确。故选D。3. （2012 山东莱芜3 分） 如图，在梯形ABCD 中，AD BC， BCD90o，BC2AD ，F、E 分别是 BA、BC 的中点，则下列结论不正确的是【】A ABC 是等腰三角形B四边形 EFAM 是菱形CSBEF12SACDDDE 平分 CDF 【答案】 D。【考点】 梯形的性质，平行四边形

3、的判定和性质，等腰三角形的判定，菱形的判定，三角形中位线定理。【分析】如图，连接 AE， 由 AD BC， BCD90o ， BC2AD ， 可得四边形AECD 是矩形， AC=DE 。F、E分别是 BA 、BC 的中点， ADBE。四边形ABED 是平行四边形。AB=DE 。AB= AC ，即 ABC 是等腰三角形。故结论A 正确。F、 E 分别是 BA、 BC 的中点，EFAC ， EF=12AC=12AB=AF 。四边形 ABED 是平行四边形，AFME。四边形 EFAM 是菱形。故结论B 正确。 BEF 和 ACD 的底 BE=AD ，BEF 的 BE 边上高 =ACD 的 AD 边上

4、高的一半，SBEF12SACD。故结论 C 正确。以例说明 DE 平分 CDF 不正确。如图，若B=450，则易得 ADE= CDE=450。而 FDEADE= CDE 。DE 平分 CDF 不正确（只有在B=600时才成立）。故结论D 不正确。故选D。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 4. （2012 山东聊城3 分） 如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边 BC 上，如果点F 是边AD 上的点，那么CDF 与 ABE

5、不一定全等的条件是【】ADF=BEBAF=CECCF=AEDCFAE 【答案】 C。【考点】 平行四边形的性质，全等三角形的判定。【分析】 根据平行四边形的性质和全等三角形的判定方法逐项分析即可：A、当 DF=BE 时，由平行四边形的性质可得：AB=CD ，B=D，利用 SAS 可判定 CDF ABE ；B、当 AF=CE 时，由平行四边形的性质可得：BE=DF ，AB=CD ，B=D，利用 SAS 可判定 CDF ABE ；C、当 CF=AE 时，由平行四边形的性质可得：AB=CD ， B=D，利用 SSA 不能可判定CDF ABE ；D、当 CFAE 时，由平行四边形的性质可得：AB=CD

6、 ，B=D，AEB= CFD，利用AAS 可判定 CDFABE 。故选 C。5. （2012 山东临沂3 分） 如图，在等腰梯形ABCD 中， AD BC，对角线 AC BD 相交于点 O，下列结论不一定正确的是【】AAC=BDBOB=OCC BCD= BDCDABD= ACD 【答案】 C。【考点】 等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形边角关系，三角形内角和定理。【分析】 A四边形ABCD 是等腰梯形，AC=BD ，故本选项正确。B四边形ABCD 是等腰梯形，AB=DC ， ABC= DCB，在 ABC 和 DCB 中， AB=DC ， ABC= DCB，BC=C

7、B ， ABC DCB （SAS） 。 ACB= DBC。 OB=OC 。故本选项正确。C BC 和 BD 不一定相等，BCD 与 BDC 不一定相等，故本选项错误。D ABC= DCB， ACB= DBC， ABD= ACD 。故本选项正确。故选 C。6. （2012山东日照 3分） 在菱形 ABCD 中，E是BC边上的点，连接AE交BD 于点 F， 若EC=2BE ，则BFFD的值是【】(A) 21(B) 31(C) 41(D) 51【答案】 B。【考点】 菱形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】 如图，在菱形ABCD 中， AD BC，且 AD=BC ， BEFDAF ，BFBEFD

8、AD。又 EC=2BE ， BC=3BE ，即 AD=3BE 。BFBE1FDAD3。故选 B。7. （2012 山东泰安3 分） 如图，在平行四边形ABCD 中，过点 C 的直线 CEAB，垂足为 E，若EAD=53 ，则 BCE 的度数为【】A53B37C47D123【答案】 B。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 【考点】 平行四边形的性质，对项角的性质，平行的性质。【分析】 设 CE 与 AD 相交于点 F。在平行四边形AB

9、CD 中，过点 C 的直线 CEAB ， E=90 ， EAD=53 ， EFA=90 53 =37 。 DFC=37 四边形ABCD 是平行四边形，AD BC。 BCE=DFC=37 。故选 B。8. （2012 山东泰安3 分） 如图，在矩形ABCD 中， AB=2 ，BC=4 ，对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD 、AC 于点 E、O，连接 CE，则 CE 的长为【】A3B3.5C2.5D2.8 【答案】 C。【考点】 线段垂直平分线的性质，矩形的性质，勾股定理。【分析】 EO 是 AC 的垂直平分线，AE=CE 。设 CE=x，则 ED=AD AE=4 x。 ，在 RtCDE 中，

10、 CE2=CD2+ED2，即 x 2=22+（4x）2，解得 x=2.5，即 CE 的长为 2.5。故选 C。9. （ 2012 山东威海3 分） 如图，在YABCD 中，AE，CF 分别是 BAD 和BCD 的平分线。添加一个条件，仍无法判断四边形AECF 为菱形的是【】A.AE=AF B.EFAC C.B=600 D.AC 是 EAF 的平分线10. （2012 山东烟台 3 分） 如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD 的下底在 x 轴上，且 B 点坐标为（4，0） ，D 点坐标为（ 0，3） ，则 AC 长为【】A4B5C6D不能确定【答案】 B。【考点】 等腰梯形的性质，坐标与图形

11、性质，勾股定理。【分析】 如图，连接BD，由题意得， OB=4 ，OD=3 ，根据勾股定理，得BD=5 。又 ABCD 是等腰梯形，AC=BD=5 。故选 B。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 二、填空题1. （2012 山东德州4 分） 在四边形 ABCD 中，AB=CD ，要使四边形ABCD 是中心对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是 （只要填写一种情况）【答案】 AD=BC （答案不唯一） 。【考点】 中心对称图形，平

12、行四边形的判定。【分析】 根据平行四边形是中心对称图形，可以针对平行四边形的各种判定方法，给出相应的条件，得出此四边形是中心对称图形：AB=CD ，当 AD=BC 时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形。当 ABCD 时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。当 B+C=180 或A+D=180 时，四边形ABCD 是平行四边形。故此时是中心对称图形。故答案为： AD=BC 或 AB CD 或 B+C=180 或 A+D=180 等（答案不唯一） 。2. （2012 山东临沂3 分） 如图， CD 与 BE 互相垂直平分，AD DB ，BDE=70，则 CAD= 【答案】 70。【

13、考点】 菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，轴对称的性质。【分析】 CD 与 BE 互相垂直平分，四边形BDEC 是菱形。 DB=DE 。 BDE=70 ， ABD=00180702=55 。AD DB ， BAD=90 55 =35 。根据轴对称性，四边形ACBD 关于直线 AB 成轴对称， BAC= BAD=35 。 CAD= BAC+ BAD=35 +35 =70 。三解答题1. （2012 山东滨州 9 分）我们知道 “ 连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线” ，“ 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半” 类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做

14、梯形的中位线如图，在梯形ABCD 中，AD BC，点 E，F 分别是 AB ，CD 的中点，那么EF就是梯形 ABCD 的中位线 通过观察、 测量，猜想 EF 和 AD 、BC 有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论【答案】 解：结论为： EFAD BC，EF=12（AD+BC ） 。理由如下：连接 AF 并延长交BC 的延长线于点G。AD BC， ADF= GCF。在ADF 和GCF 中，ADF= GCF，DF=CF ， DFA= CFG，ADF GCF（ASA） 。 AF=FG ，AD=CG 。又AE=EB ， EFBG，EF=12BG。EFAD BC，EF=12（AD+BC ） 【考点】

15、 全等三角形的判定和性质；三角形中位线定理。【分析】 连接 AF 并延长交BC 于点 G，则 ADF GCF，可以证得EF 是ABG 的中位线，利用三角形的中位线定理即可证得。2. （2012 山东东营10 分）（1）如图 1，在正方形ABCD 中， E 是 AB 上一点， F 是 AD 延长线上一点，且DFBE求证：CECF；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - - （2）如图 2，在正方形ABCD 中， E 是 AB 上一点， G 是

16、 AD 上一点，如果GCE45 ，请你利用（ 1）的结论证明：GEBEGD（3）运用（ 1） （2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 3，在直角梯形ABCD 中，AD BC（BCAD ） ，B90 ，AB BC，E 是 AB 上一点，且 DCE45 ，BE4，DE=10, 求直角梯形ABCD 的面积【答案】 解： （1）证明：在正方形ABCD 中， BCCD， B CDF，BEDF， CBE CDF（SAS） 。 CECF。（2）证明：如图，延长AD 至 F，使DF=BE 连接CF。由（1）知 CBE CDF，BCE DCF。BCE ECDDCF ECD，即ECF BCD90 。又GC

17、E45 ， GCF GCE45 。CECF， GCE GCF，GCGC，ECG FCG（SAS） 。 GEGF，GEDFGDBEGD。（3）如图，过C 作 CGAD ，交 AD 延长线于 G在直角梯形ABCD中， AD BC ， AB90 。又CGA 90 ，AB BC，四边形ABCD 为正方形。AG BC。已知 DCE 45 ，根据（ 1） （ 2）可知， EDBEDG。10=4+DG ，即 DG=6 。设 ABx，则 AEx4，AD x6，在 RtAED 中， DE2=AD2AE2，即 102=（x6）2（ x4）2。解这个方程，得：x=12 或 x=2（舍去）。AB=12 。ABCD11

18、SADBCAB6121210822梯形（）（）。梯形 ABCD 的面积为 108。【考点】 正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形。【分析】（1）由四边形是ABCD 正方形，易证得CBE CDF（SAS） ，即可得 CE=CF。（2）延长 AD 至 F，使 DF=BE ，连接 CF，由（ 1）知 CBE CDF，易证得ECF=BCD=90 ，又由 GCE=45 ，可得 GCF=GCE=45 ，即可证得 ECG FCG，从而可得 GE=BE+GD 。（3）过 C 作 CGAD ，交 AD 延长线于 G，易证得四边形ABCG 为正方形，由（ 1） （2）可知， ED=BE+DG

19、，即可求得DG 的长，设 AB=x ，在 RtAED 中，由勾股定理DE2=AD2+AE2 ，可得方程，解方程即可求得AB 的长，从而求得直角梯形ABCD 的面积。3. （2012 山东济南 7 分） （1）如图 1，在YABCD 中，点 E，F 分别在 AB ，CD 上，AE=CF 求证： DE=BF （2）如图 2，在 ABC 中， AB=AC ，A=40 ，BD 是 ABC 的平分线，求BDC 的度数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 14 页 - - - - - - - -

20、 - - 【答案】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，AD=BC ， A= C，在 ADE 和 CBF 中， AD=CB ， A= C ，AE=CF ， ADE CBF（SAS） 。 DE=BF ；（2）解： AB=AC ，A=40 ， ABC= C=12（180 40 ）=70 ，又BD 是 ABC 的平分线，DBC=12ABC=35 。BDC=180 DBC C=75 。【考点】 平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质，角平分线的定义，角形的内角和定理。【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得到一对边和一对角的对应相等，在加上已知的一对

21、边的相等，由“SAS ” ，证得 ADE CBF，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证。（2）根据 AB=AC ，利用等角对等边和已知的A 的度数求出 ABC 和 C 的度数，再根据已知的 BD 是 ABC 的平分线，利用角平分线的定义求出DBC 的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求出BDC 的度数。4. （2012 山东莱芜10 分）)如图，在菱形ABCD 中， AB2 3，A60o ，以点 D 为圆心的 D与边 AB 相切于点E(1)求证： D 与边 BC 也相切；(2)设 D 与 BD 相交于点 H，与边 CD 相交于点F，连接 HF，求图中阴影部分的面积(结果保留)；(3)D 上

22、一动点M 从点 F 出发，按逆时针方向运动半周，当SHDF3SMDF时，求动点M经过的弧长 (结果保留)【答案】 解： （1）证明：连接DE，过点 D 作 DNBC，垂足为点N。四边形ABCD 是菱形， BD 平分 ABC 。 D 与边 AB 相切于点 E，DEAB。 DN=DE 。 D 与边 BC 也相切。（2）四边形ABCD 是菱形， AB 23，AD AB 23。又 A60o ， DEADsin6003，即 D 的半径是 3。又 HDF12HADC 60o ，DH DF， HDF 是等边三角形。过点 H 作 HGDF，垂足为点G，则 HG3sin600332。2HDFHDF1396033

23、S333S2243602扇形，。HDFHDF3969 3SSS3244扇形影阴。（3）假设点 M 运动到点 M1时，满足SHDF3SMDF，过点 M1作 M1PDF，垂足为点 P，则191333 M P42，解得3M P=2。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 111M P=DM2。 M1DF30o 。此时动点M 经过的弧长为：3031802。过点 M1作 M1M2DF 交 D 于点 M2，则满足HDFM1DFM2DFS=3S3S，

24、此时 M2DF150o，动点 M 经过的弧长为：150351802。综上所述，当SHDF3SMDF时，动点M 经过的弧长为2或52。【考点】 菱形的性质，角平分线的性质，切线的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性质，扇形的面积和弧长公式。【分析】（1）连接 DE，过点 D 作 DNBC，垂足为点 N，则根据菱形的性质可得BD 平分 ABC ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质可得DN=DE ， 即 BC 垂直于过 D 上点 N 的半径，从而得到 D 与边 BC 也相切的结论。（2）求出 HDF 和扇形 HDF 即可求得阴影部分的面积。（3）根据 SHD

25、F3SMDF求出圆心角即可求动点M 经过的弧长。注意有两点。5. （2012 山东莱芜10 分）)如图，在菱形ABCD 中， AB2 3，A60o ，以点 D 为圆心的 D与边 AB 相切于点E(1)求证： D 与边 BC 也相切；(2)设 D 与 BD 相交于点 H，与边 CD 相交于点F，连接 HF，求图中阴影部分的面积(结果保留)；(3)D 上一动点M 从点 F 出发，按逆时针方向运动半周，当SHDF3SMDF时，求动点M经过的弧长 (结果保留)【答案】 解： （1）证明：连接DE，过点 D 作 DNBC，垂足为点N。四边形ABCD 是菱形， BD 平分 ABC 。 D 与边 AB 相切

26、于点 E，DEAB。 DN=DE 。 D 与边 BC 也相切。（2）四边形ABCD 是菱形， AB 2 3，AD AB 2 3。又 A60o ， DEADsin6003，即 D 的半径是 3。又 HDF12HADC 60o ，DH DF， HDF 是等边三角形。过点 H 作 HGDF，垂足为点G，则 HG3sin600332。2HDFHDF1396033S333S2243602扇形，。HDFHDF3969 3SSS3244扇形影阴。（3）假设点 M 运动到点 M1时，满足SHDF3SMDF，过点 M1作 M1PDF，垂足为点 P，则191333 M P42，解得3M P=2。111M P=DM

27、2。 M1DF30o。此时动点 M 经过的弧长为：3031802。过点 M1作 M1M2DF 交 D 于点 M2，则满足HDFM1DFM2DFS= 3S3S，此时 M2DF150o ，动点 M 经过的弧长为：150351802。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 综上所述，当SHDF3SMDF时，动点M 经过的弧长为2或52。【考点】 菱形的性质，角平分线的性质，切线的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的判

28、定和性质，扇形的面积和弧长公式。【分析】（1）连接 DE，过点 D 作 DNBC，垂足为点 N，则根据菱形的性质可得BD 平分 ABC ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质可得DN=DE ， 即 BC 垂直于过 D 上点 N 的半径，从而得到 D 与边 BC 也相切的结论。（2）求出 HDF 和扇形 HDF 即可求得阴影部分的面积。（3）根据 SHDF3SMDF求出圆心角即可求动点M 经过的弧长。注意有两点。6. （2012 山东聊城7 分） 如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O，DEAC ，CEBD求证：四边形OCED 是菱形【答案】 证明： DEAC，CEBD，四边形OCED 是

29、平行四边形。四边形 ABCD 是矩形， OC=OD 。四边形 OCED 是菱形。【考点】 矩形的性质，菱形的判定。【分析】 首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED 是平行四边形， 再根据矩形的性质可得OC=OD ，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论。7. （2012 山东临沂7 分） 如图，点 AF、CD 在同一直线上，点B 和点 E 分别在直线AD 的两侧，且 AB=DE ， A= D，AF=DC （1）求证：四边形BCEF 是平行四边形，（2）若 ABC=90 ，AB=4 ，BC=3，当 AF 为何值时，四边形BCEF 是菱形【答案】（1）证明： AF=

30、DC ，AF+FC=DC+FC ，即 AC=DF 。在 ABC 和 DEF 中， AC=DF ， A= D，AB=DE ， ABC DEF（SAS） 。 BC=EF ，ACB= DFE， BCEF。四边形BCEF 是平行四边形（2）解：连接BE，交 CF 与点 G，四边形 BCEF 是平行四边形，当 BECF 时，四边形BCEF 是菱形。 ABC=90 ，AB=4 ，BC=3 ，AC=2222AB +BC4 +35。BGC= ABC=90 ，ACB= BCG ， ABC BGC。BCCGACBC，即3CG53。9CG5。FG=CG， FC=2CG=185，AF=AC FC=518755。当 A

31、F=75时，四边形BCEF 是菱形【考点】 平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，平行的判定，菱形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】 （1） 由 AB=DE ， A= D， AF=DC ， 根据 SAS 得 ABC DEF， 即可得 BC=EF ， 且 BCEF，即可判定四边形BCEF 是平行四边形。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - - （2）由四边形BCEF 是平行四边形，可得当BECF 时，四边形BCEF 是菱

32、形，所以连接BE，交 CF 与点 G，证得 ABC BGC，由相似三角形的对应边成比例，即可求得AF 的值。8. （2012 山东青岛8 分）如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 交于点 O， BEAC 于 E， DFAC于F，点 O 既是 AC 的中点，又是EF 的中点(1)求证： BOEDOF ；(2)若 OA12BD，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？请说明理由【答案】 解： （1）证明： BEAC DFAC ， BEO= DFO=90 。点 O 是 EF 的中点， OE=OF。又 DOF=BOE， BOEDOF（ASA ） 。（2）四边形 ABCD 是矩形。理由如下： B

33、OEDOF， OB=OD 。又 OA=OC ，四边形ABCD 是平行四边形。OA=12BD ，OA=12AC ， BD=AC 。平行四边形ABCD 是矩形。【考点】 全等三角形的判定和性质，矩形的判定。【分析】（1）根据垂直可得BEO=DFO=90 ，再由点 O 是 EF 的中点可得OE=OF，再加上对顶角DOF= BOE，可利用ASA 证明 BOE DOF。（2）根据 BOE DOF 可得 DO=BO ，再加上条件AO=CO 可得四边形ABCD 是平行四边形，再证明DB=AC ，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证出结论。9. （2012 山东日照9分） 如图，在正方形ABCD 中，E 是

34、BC 上的一点 ,连结 AE，作 BFAE，垂足为 H,交 CD 于 F,作 CGAE,交 BF 于 G. 求证：（1） CG=BH ； （2）FC2=BF GF； （3）22=FCGFGBAB. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 10. （2012 山东泰安10 分）如图， E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点， EFAE，EF 分别交 AC ，CD于点 M，F，BGAC ，垂足为 C，BG 交 AE 于点 H（1）求证：

35、ABE ECF；（2）找出与 ABH 相似的三角形，并证明；（3）若 E 是 BC 中点， BC=2AB ，AB=2 ，求 EM 的长【答案】 解： （1）证明：四边形ABCD 是矩形， ABE= ECF=90 AEEF， AEB+ FEC=90 ， AEB+ BEA=90 。BAE= CEF。 ABE ECF。（2）ABH ECM。证明如下：BGAC ， ABG+ BAG=90 。 ABH= ECM。由（ 1）知， BAH= CEM， ABH ECM 。（3）作 MRBC，垂足为 R，AB=BE=EC=2 ，AB：BC=MR ：RC=2， AEB=45 。 MER=45 ，CR=2MR 。M

36、R=ER=12RC=23。EM=MR2 2sin 453。【考点】 矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。【分析】（1）由四边形ABCD 是矩形，可得ABE= ECF=90 ，又由 EFAE，利用同角的余角相等，可得 BAE= CEF，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似，即可证得：ABE ECF。（2）由 BGAC ，易证得 ABH= ECM，又由（ 1）中 BAH= CEM，即可证得ABH ECM。（3）首先作 MRBC，垂足为 R，由 AB ： BC=MR ：RC=2， AEB=45 ，即可求得MR的长，又由EM=MRsin45即可求得答

37、案。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 11. （2012 山东威海10 分）（1）如图，ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O。直线 EF 过点 O，分别交 AD 、BC 于点 E、F 求证： AE=CF 。（2）如图，将ABCD （纸片）沿过对角线交点O 的直线 EF 折叠，点 A 落在点 A1处，点 B 落在点 B1处。设 FB1交 CD 于点 G，A1B1分别交 CD、DE 于点 H、I。求证： EI=FG 。【答案】

38、证明： （ 1） 四边形ABCD 是平行四边形， AD BC。EAO= FCO， AEO= CFO。又四边形ABCD 是平行四边形，OA=OC 。 AOE COF（AAS ） 。 AE=CF 。（2）由（ 1）得， AE=CF 。由折叠性质，得AE=A1E， A1E=CF。 A1=A= C，B1=B=D， EIA1=DIH=1800DDHI=1800B1B1HG=B1GH=FGC。在 EIA1和 FGC 中， A1=C，EIA1 =FGC，A1E=CF， EIA1 FGC（AAS ） 。 EI=FG 。【考点】 平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，三角形内角和定理

39、，对顶角的性质。【分析】（1）要证 AE=CF ，只要 AOE 和 COF 全等即可。一方面由平行四边形对边平行的性质和平行线内错角相等的性质，可得 EAO= FCO，AEO= CFO；另一方面由平行四边形对角线互相平分的性质，可得OA=OC 。从而根据AAS 可证。（2）要证 EI=FG ，只要 EIA1和 FGC 全等即可。一方面由（1）可得 AE=CF ；另一方面由折叠的性质、三角形内角和定理和对顶角相等的性质，可得A1=C，EIA1 =FGC。从而根据 AAS 可证。12. （2012 山东潍坊 10 分） 如图，已知平行四边形ABCD ，过 A 作 AM BC 于 M，交 BD 于

40、E，过 C 作 CNAD 于 N，交 BD 于 F，连结 AF、CE(1)求证：四边形AECF 为平行四边形；(2)当 AECF 为菱形， M 点为 BC 的中点时，求AB：AE 的值【答案】（1）证明四边形ABCD 是平行四边形（已知） ，BCAD （平行四边形的对边相互平行）。又 AM 丄 BC（已知）， AM AD。CN 丄 AD（已知）， AM CN。AE CF。又由平行得 ADE= CBD ，又 AD=BC （平行四边形的对边相等）。在 ADE 和 CBF 中，DAE= BCF=90，AD=CB ， ADE= FBC， ADE CBF（ASA ） ， AE=CF （全等三角形的对应边

41、相等）。四边形 AECF 为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）。（2）如图，连接AC 交 BF 于点 0，当 AECF 为菱形时，则 AC 与 EF 互相垂直平分。BO=OD （平行四边形的对角线相互平分），精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - - AC 与 BD 互相垂直平分。ABCD 是菱形（对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形）。AB=BC （菱形的邻边相等） 。M 是 BC 的中点， AM 丄 BC（已知）， AB

42、M CAM 。AB=AC （全等三角形的对应边相等）。 ABC 为等边三角形。 ABC=60 ， CBD=30 。在 RtBCF 中， CF：BC=tanCBF=33。又 AE=CF ，AB=BC ，AB ：AE=3。【考点】 平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形【分析】（1）根据平行四边形的性质、垂直的定义、平行线的判定定理可以推知AECF；然后由ASA 推知 ADE CBF；最后根据全等三角形的对应边相等知AE=CF ，根据对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定得出结论。（2）如图，连接AC 交 BF 于点 0由菱形的判定定理推知平行四边形

43、ABCD 是菱形，根据菱形的邻边相等知AB=BC ； 然后结合已知条件“M 是 BC 的中点，AM 丄 BC ”证得 ADE CBF（ASA ） ，所以 AE=CF（全等三角形的对应边相等），从而证得 ABC 是正三角形； 最后在 RtBCF中，利用锐角三角函数的定义求得CF：BC=tanCBF= 33，利用等量代换知（AE=CF ，AB=BC ）AB ：AE=3。13. （2012 山东枣庄8分） 已知：如图，在四边形ABCD 中， ABC 90 ，CDAD ，AD2CD22AB2（1）求证： ABBC；（2）当 BEAD 于 E 时，试证明： BEAECD【答案】 解： （1）证明：连接A

44、C 。 ABC 90 ， AB2BC2AC2。CDAD ，AD2CD2AC2。AD2CD22AB2， AB2BC22AB2。ABBC。（2）证明：过C 作 CFBE 于 F。BEAD ，四边形CDEF 是矩形。 CDEF。 ABE BAE 90 ， ABE CBF90 ， BAE CBF。又 ABBC，BEA CFB， BAE CBF（AAS ） 。 AEBF。BEBFEF AECD。【考点】 勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）题目中存在直角，垂直，含线段平方的等式，因此考虑连接AC ，构造直角三角形，利用勾股定理证明。（2）可采用 “ 截长” 法证明，过点C 作 C

45、FBE 于 F，易证 CD=EF，只需再证明AE=BF 即精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 可，这一点又可通过全等三角形获证. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - - -