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1、-函数专题 1、函数的基本性质复习提问：1、如何判断两个函数是否属于同一个函数。2、如何求一个函数的定义域（特别是抽象函数的定义域问题）3、如何求一个函数的解析式。（常见方法有哪些）4、如何求函数的值域。（常见题型对应的常见方法）5、函数单调性的判断，证明和应用（单调性的应用中参数问题）6、函数的对称性（包括奇偶性）、周期性的应用7、利用函数的图像求函数中参数的范围等其他关于图像问题知识分类一、函数的概念：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域 C 和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个
2、函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.1、试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）=2x，g（x）=33x；（2）f（x）=xx|，g（x）=;01,01xx（3）f（x）=1212nnx，g（x）=（12nx）2n1（nN*）；（4）f（x）=x1x，g（x）=xx2；（5）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1.二、函数的定义域（请牢记：凡是说定义域范围是多少，都是指等式中变量x 的范围）1、求下列函数的定义域：(1)221x(2)422xx(3)xxy1(4)241xx(5)3142xx(8)3ax（为常数）2、（1）已知 f(x)的定义域为 1，2
3、 ，求 f(2x-1)的定义域；（2）已知 f(2x-1)的定义域为 1，2，求 f(x)的定义域；3、若函数)(xfy的定义域为 1，1，求函数)41(xfy)41(xf的定义域5、已知函数682kxkxy的定义域为R，求实数k 的取值范围。三、函数的解析式求函数解析式常用的几种方法：待定系数法、换元法（代换法）、解方程法、1、换元（或代换）法：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 12 页 -1、已知,11)1(22xxxxxf求)(xf.2、已知（x）x，求()的解析式3、已知函数2(1)4f xxx，求函数()f x，(21)fx的解析式。2、待定系数法1、已知
4、函数（）是一次函数，且满足关系式3（1）（1），求()的解析式2、已知()f x是二次函数，且2(1)(1)24f xf xxx，求()f x的解析式。3、解方程法(1)、已知函数)(xf满足xxfxf3)1(2)(，求)(xf（2）、已知函数)(xf为偶函数，)(xg为奇函数，且)(xf+)(xg=11x求)(xf、)(xg3、已知函数()f x满足2()()34f xfxx，则()f x=。4、设()f x是 R 上的奇函数，且当0,)x时，3()(1)f xxx，则当(,0)x时()f x=_ _()f x在 R 上的解析式为5、设()f x与()g x的定义域是|,1x xRx且，()
5、f x是偶函数，()g x是奇函数，且1()()1f xg xx，求()f x与()g x的解析式四、函数值域的求法1、配方法：对于求二次函数2(0)yaxbx c a或可转化为形如2()()()(0)f xa g xbg xc a的函数的值域（最值）一类问题，我们常常可以通过配方法来进行求解.例 1：求二次函数242yxx（1,4x）的值域.例 2：求函数342xxey的值域.例 3：求函数421,3,2xxyx的最大值与最小值。2、换元法：通过引入一个或多个新变量或代数式代替原来的变量或代数式或超越式，通过换元，我们常常可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式等，
6、这样我们就能将比较复杂的函数转化成易于求值域的函数进行求解.例 6：（整体换元）已知0,2x，求函数12()43 25xxf x的值域.3、不等式法：例 11：求函数52()1xxf xx（1x）的值域.例 14：求函数1222xxxy的值域.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 12 页 -7、数形结合法：例 29：求函数13yxx的值域.例 30：求函数31yxx的值域。（答案：4,4题型补充：五、函数的单调性1函数单调性的定义：2.证明函数单调性的一般方法:定义法：设2121,xxAxx且；作差)()(21xfxf（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的
7、正或负号能清楚地判断出）；判断正负号。用导数证明：若)(xf在某个区间A 内有导数，则()0fx，)xA（)(xf在 A 内为增函数；)0)(Axxf，（)(xf在 A 内为减函数。3.求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法。4.复合函数)(xgfy在公共定义域上的单调性：若 f 与 g 的单调性相同，则)(xgf为增函数；若 f 与 g 的单调性相反，则)(xgf为减函数。注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。5一些有用的结论：奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；在公共定义域内：增函数)(xf增函数)(xg是增函数；减函数)(xf减函数)(xg是减函数；
8、增函数)(xf减函数)(xg是增函数；减函数)(xf增函数)(xg是减函数。函数)0,0(baxbaxy在,bbaa或上单调递增；在,00bbaa或，上是单调递减。1、函数24)(2axxxf在区间)6,(为减函数，则实数a的取值范围是（）A3a B3a C3a D3a名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 12 页 -2、函数axxxf2)(2与函数1)(xaxf在区间 1，2 上都是减函数，则实数a的取值范围是（）A)1,0()0,1(B 1,0()0,1(C)1,0(D 1,0(3已知函数1.log1.)12()(xxxaxaxfa是R上的减函数，则实数a的取值范围
9、是（）A)21,0(B)1,21(C)21,31 D)1,316、写出函数212log23yxx的单调区间，并指出在相应区间上函数的单调性9、11、已知函数()f xxxa有如下性质：如果常数a 0，那么该函数在(0，a上是减函数，在a，)上是增函数（1）如果函数()fxxxb2（x 0）的值域为6，)，求b的值；（2）求函数()f xxcx(c0)在区间1,2上的最小值；（3）研究函数()fx2x2xc（常数c0）在定义域内的单调性，并说明理由；（4）对函数()f xxxa和()f x2x2xa（常数a0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证
10、明）12、已知cxxf2)(，且)1()(2xfxff。（1）设 g（x）=ff（x），求 g（x）的解析式；（2）设)()()(xfxgx，试问是否存在实数，使)(x在（-，-1）递减，且在（-1，0）上递增？六、对称性和周期性函数的对称性(1).函数)(xf关于直线x=a 成轴对称的充要条件是：)-(2xafxafxafxf或(与函数的周期性区分开).(2).函数)(xf关于点(a,b)对称的充要条件是：bxafxf2)2()(或bxafxaf2)()(3).与函数)(xfy关于直线ax对称的函数解析式为：)2(xafy.(4).与函数)(xfy关于点（a,b）对称的函数解析式为：)2(2
11、xafby.函数周期性1 周 期 函 数 的 定 义:对 于 函 数)(Dxxf,若 存 在 一 个 不 为 零 的 常 数T,使 得Dx的 每 一 个值 都 有)()(xfTxf成立,则称)(xf为周期函数,常数 T叫做)(xf的最小正周期.若所有的周期中存在一个最小的周期,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 12 页 -则这个最小的正数称为这个函数的最小正周期.2根据函数的对称性判断函数的周期1.若)()(babcxfacxf，则函数)(xf是周期函数，b-a 是它的一个周期。2若)()(xfaxf，则函数)(xf是周期函数，2a 是它的一个周期。一、对称性练习1
12、已知是奇函数，当时，,求的解析式.2已知是偶函数，当时，,求的解析式.3已知函数的图象与函数的图象关于原点成中心对称,求的解析式。4设函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1对称，若当 x1 时，y=x21，求当 x1时,f(x)的解析式.5设,求关于直线对称的曲线的解析式.6 已知函数是偶函数，且 x(0,+)时有 f(x)=x1,求当 x(,2)时,求的解析式.7已知函数是偶函数，当时，又的图象关于直线对称，求在的解析式.定义在上的偶函数满足且当时,.（1）求的单调区间;（2）求的值.二、周期性练习1、已知函数xfy对任意实数 x,都有xfaxf,则xfy是以为周期的函数；4、已知函数xf
13、y对任意实数 x,都有bxfxaf，则xfy是以为周期的函数5、已知函数xfy对任意实数 x,都有 f(xm)f(xm),则是xfy的一个周期.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 12 页 -8 设是定义在（-,+）上的函数，对一切R均有，当1 时，求当时，函数的解析式。三、真题模拟1、设()fx是 定 义 在R上 的 偶 函 数，对 任 意xR，都 有(2)(2),fxfx且 当2,0 x时，1()()12xf x 若在区间(2,6内关于x的方程()log(2)0(1)af xxa恰有 3 个不同的实数根，则实数a的取值范围是 A(1,2)B(2,)C3(1,4)D
14、3(4,2)2、设函数)(xf是定义在 R 上周期为3 的奇函数，且2)1(f，则(2011)(2012)ff3、设()f x为定义在R上的奇函数，当0 x时，()22xf xxb（b为常数），则(1)f4、已知 fx 是以 2 为周期的偶函数，当0,1x时，fxx，且在1,3x内，关于 x的方程1fxkxk（kR，1k）有四个根，求k 的取值范围七、函数零点名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 12 页 -下列函数中在，上有零点的是（）A.543)(2xxxfB.55)(3xxxfC.63ln)(xxxfD.63)(xexfx若方程0122xax在(0,1)内恰有一个
15、实根，则a的取值范围是（）A.)1,(B.),1(C.)1,1(D.1,0函数cbxaxxf2)(，若0)2(,0)1(ff，则)(xf在)2,1(上零点的个数为（）A.至多有一个B.有一个或两个C.有且只有一个D.一个也没有4函数3log)(3xxfx零点所在大致区间是（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)5已知函数)(xfy是上的奇函数，其零点1x，2x2007x，则200721xxx。6一次函数mmxxf1)(在，无零点，则m取值范围为7函数mxmxxf5)2()(2有两个零点，且都大于，求m的取值范围。8判断 x33x10 在（0，1）内是否有解。9函数1)(2x
16、axxf仅有一个零点，求实数a的取值范围。10.关于x的二次方程01222mmxx，若方程式有两根，其中一根在区间)0,1(内，另一根在(1,2)内，求名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 12 页 -m的范围。6.解4544520)5(4)2(0)2(2222mmmmmmmfm或八、函数的图像1作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；描点连线，画出函数的图象。2三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；3识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性
17、等等方面4平移变换：（1）水平平移：函数()yf xa的图像可以把函数()yf x的图像沿x轴方向向左(0)a或向右(0)a平移|a个单位即可得到；（2）竖直平移：函数()yf xa的图像可以把函数()yf x的图像沿x轴方向向上(0)a或向下(0)a平移|a个单位即可得到 y=f(x)h左移y=f(x+h);y=f(x)h右移y=f(xh);y=f(x)h上移y=f(x)+h;y=f(x)h下移y=f(x)h.5对称变换：（1）函数()yfx的图像可以将函数()yf x的图像关于y轴对称即可得到；（2）函数()yf x的图像可以将函数()yf x的图像关于x轴对称即可得到；（3）函数()yf
18、x的图像可以将函数()yf x的图像关于原点对称即可得到；（4）函数1()yfx的图像可以将函数()yf x的图像关于直线yx对称得到y=f(x)轴xy=f(x);y=f(x)轴yy=f(x);y=f(x)ax直线y=f(2ax);y=f(x)xy直线y=f1(x);y=f(x)原点y=f(x).6翻折变换：（1）函数|()|yf x的图像可以将函数()yf x的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留()yf x的x轴上方部分即可得到；（2）函数(|)yfx的图像可以将函数()yfx的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留名师资料总结-精品资料欢迎下载
19、-名师精心整理-第 8 页，共 12 页 -()yf x在y轴右边部分即可得到y=f(x)cbaoyxy=|f(x)|cbaoyxy=f(|x|)cbaoyx7伸缩变换：（1）函数()yaf x(0)a的图像可以将函数()yf x的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a或压缩（01a）为原来的a倍得到；（2）函数()yf ax(0)a的图像可以将函数()yf x的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a或压缩（01a）为原来的1a倍得到y=f(x)xy=f(x);y=f(x)yy=f(x).以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点1、说明
20、由函数2xy的图像经过怎样的图像变换得到函数321xy的图像2设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x1)与 y=f(1 x)的图象关于（）对称A.直线 x=0 B.直线 x=1 C.点(0,0)D.点(1,0)3在以下四个按对应图象关系式画出的略图中，不正确的是（）Ay=|log2x|B.y=2|x|C.y=log0.5x2D.y=|x1/3|oyxoyxoyxoyx4已知函数y=f(x)的图象如图，则y=f(1x)的图象是（）11-1oyxA11-1oyxB-21-1oyxC11-1oyxD11-1oyx5画出下列函数的图象：(1)y=lg|x+1|;(2)232xxy名师资料总
21、结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 12 页 -6、.说出作出函数y=log2(1 x)的图象的过程。7方程|x2+2x 3|=a(x 2)有四个实数根，求实数a 的取值范围。8讨论方程|1|x=kx 的实数根的个数。9、分别画出下列函数的图像：（1）2yxx；（2）2yxx；（3）223yxx；（4）lg1yx；（5）231xyx10、若函数2log 3fxxa 的图像关于直线2x对称，求常数a的值11、已知fx是以2 为周期的偶函数，当0,1x时，fxx，且在1,3x内，关于x的方程1fxkxk（kR，1k）有四个根，求k 的取值范围12、fx 是定义在R 上的函数（1）若
22、 fx 是偶函数且周期为2当0,1x时，1fxx，求 fx 在1,2x上的解析式；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 12 页 -（2）若 fx 是奇函数，1fxfx 当10,2x时，fxx，求 fx 在1,2x上的解析式拓展练习：1 设m、Rn，定 义 在 区 间,nm上 的 函 数|)|4(log)(2xxf的 值 域 是2,0，若 关 于t的 方 程0121|mt（Rt）有实数解，则nm的取值范围是_2设函数)(xfy是定义在R上以1为周期的函数，若函数xxfxg2)()(在区间3,2上的值域为6,2，则)(xg在区间12,12上的值域为（）A6,2B28,2
23、4C32,22D34,203、已知函数),()(2Rbabaxxxf的值域为0,(，若关于x的不等式1)(cxf的解集为)1,4(mm，则实数c的值为._4、已知21,1,0),()1,0,1,xxf xxx则下列函数的图像错误的是（）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 12 页 -(A)1(xf的图像 (B)(xf的图像 (C)|)(|xf的图像 (D)|)(|xf的图像5、已知函数()11f xxx。（1）求函数()f x的定义域和值域；（2）设2()()2()2aF xfxf x（a为实数），求()F x在0a时的最大值()g a；（3）对（2）中)(ag，若222()mtmg a对0a所有的实数a及 1,1t恒成立，求实数m的取值范围。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 12 页 -