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1、第 2 节函数的基本性质知识点考向：函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的热点，题型既有选择、填空，又有解答题，预计 2017 年函数的性质会与向量、不等式、三角函数、导数等知识结合，进行综合考察，在备考中应加强这方面的练习。基础知识梳理一、函数的单调性与最值1函数的单调性注： （1）函数单调性的实质是函数值的变化与自变量的变化是否一致。一致则为增函数，不一致则为减函数。（2）单调性的等价形式：)(xf在区间D上是增函数Dxx21,当21xx时，有0)()(21xfxf0)()()(2121xfxfxx0)()(2121xxxfxf；)(xf在区间D上是减函数Dxx21,，当21xx时，有0)(
2、)(21xfxf0)()()(2121xfxfxx0)()(2121xxxfxf；2函数的单调区间如果函数)(xfy在区间 D 上是增函数或减函数， 那么就说函数)(xfy在这一区间具有单调性，区间D 叫作)(xfy的单调区间。增函数减函数定义一般地， 设函数 f(x)的定义域为I.如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 x1， x2，当 x1x2时，都有)()(21xfxf，那么就说函数f(x)在区间D 上是增函数)()(21xfxf， 那么就说函数f (x )在区间 D 上是减函数图象描述自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -
3、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 注： （1）函数的单调区间不一定是整个定义域，可能是定义域的子集，但一定是连续的。（2）函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的，函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数xy1在0 ,和,0上都是减函数， 但在整个定义域上不具有单调性。（3）“函数的单调区间是M” 与 “函数在区间N 上单调”是两个不同的概念，显然MN（4）一个函数在不同的区间可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接
4、，不能用“”连接。（5）判断一个函数在区间D 上是增函数，需要说明对于任意的Dxx21,，21xx时，都有)()(21xfxf成立。 而要判断一个函数在区间D 上不是增函数， 只需说明存在两个自变量Dxx21,，21xx时，)()(21xfxf成立即可。判断一个函数在区间D 上是否减函数的方法亦然。3.函数单调性的运算性质（1）)(xf与cxf)(（c为常数）具有相同的单调性（2）0a时，)(xf与)(xfa具有相同的单调性；0a时，)(xf与)(xfa具有相反的单调性（3）)(xf，)(xg在同一区间上都是增函数时，)()(xgxf为增函数；都是减函数时，)()(xgxf为减函数（4）)(x
5、f恒不为 0 时，)(xf与)(1xf单调性相反（5）)(xf非负时，)(xf与)(xf单调性相同（6）)(xf，)(xg在同一区间上都是恒正的增（减）函数时，)()(xgxf是增（减） 函数；都是恒负的增（减）函数时，)()(xgxf是减（增）函数（7）)(xgf的单调性遵循“同增异减”的原则4. 函数单调性的证明方法（定义法） 1任取1x，Dx2且21xx； 2作差)()(21xfxf； 3变形（通常是因式分解和配方）； 4定号（即判断差)()(21xfxf的正负）； 5下结论（即指出函数)(xf在给定的区间D 上的单调性）5. 函数单调性的判断方法（1）定义法名师资料总结 - - -精品
6、资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - （2）图像法（3）性质法（参见3.函数单调性的运算性质）（4）导数法6 函数的最值注： (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得(2)开区间上的单调函数不存在最大、最小值，开区间上的“ 单峰 ” 函数一定存在最大、最小值。函数的奇偶性与周期性基础梳理1奇、偶函数的概念一般地， 如果对于函数)(xf的定义域内任意一个x， 都有)()(xfxf，那么函数)(xf就叫
7、做偶函数一般地， 如果对于函数)(xf的定义域内任意一个x，都有)()(xfxf，那么函数)(xf就叫做奇函数奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称注： (1) 奇、偶函数的定义域关于原点对称(2) 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件2奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(2)若奇函数f(x)在 x0 处有定义，则f(0) 0. (3)在公共定义域内两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积都是偶函数；前提设函数 yf(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足条件对于任意
8、xI，都有f(x)M；存在 x0I，使得 f(x0) M对于任意xI，都有 f(x)M；存在 x0I，使得 f(x0)M结论M 为最大值M 为最小值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数3周期性(1)周期函数： 对于函数 yf(x)， 如果存在一个非零常数T， 使得当 x 取定义域内的任何值时，都有)()(xfTxf，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期(2)最小正
9、周期： 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期补充知识函数的图象（1）作图利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换0,0,|( )()hhhhyf xyf xh左移 个单位右移 |个单位0,0,|( )( )kkkkyf xyf xk上移 个单位下移 |个单位伸缩变换01,1,( )()yf xyfx伸缩01,1,( )( )AAyf xyA
10、f x缩伸对称变换( )( )xyf xyf x轴( )()yyf xyfx轴( )()yf xyfx原点1( )( )y xyf xyfx直线( )(|)yyyyf xyfx去掉 轴左边图象保留 轴右边图象，并作其关于轴对称图象( )|( ) |xxyf xyfx保留 轴上方图象将 轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -