《2022年人教版高中数学必修单调性与最大值第课时教案 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年人教版高中数学必修单调性与最大值第课时教案 .pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 2 课时函数的最值导入新课思路 1.某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10 000 m2的矩形新厂址,新厂址的长为 x m，则宽为x10000m，所建围墙ym，假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y 最短?学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y=2(x+x10000),x0 的最小值.引出本节课题：在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的.那么什么是函数的最值呢?这就是我们今天学习的课题.用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数
2、解决问题.思路2.画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？f(x)=-x+3；f(x)=-x+3,x -1,2；f(x)=x2+2x+1;f(x)=x2+2x+1,x -2,2.学生回答后，教师引出课题：函数的最值.推进新课新知探究提出问题如图 1-3-1-11 所示，是函数y=-x2-2x、y=-2x+1,x -1,+)、y=f(x)的图象.观察这三个图象的共同特征.图 1-3-1-11 函数图象上任意点P(x,y)的坐标与函数有什么关系？你是怎样理解函数图象最高点的?问题 1 中，在函数 y=f(x)的图象上任取一点A(x,y)，如图 1-3-1-12
3、所示，设点C 的坐标为(x0,y0)，谁能用数学符号解释：函数y=f(x)的图象有最高点C？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 13 页 -图 1-3-1-12 在数学中，形如问题 1 中函数 y=f(x)的图象上最高点C 的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义？函数最大值的定义中f(x)M 即 f(x)f(x0)，这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？函数最大值的几何意义是什么？函数 y=-2x+1,x(-1,+)有最大值吗？为什么？点(-1,3)是不是函数y=-2x+1,x(-1,+)的最高点？由这个
4、问题你发现了什么值得注意的地方？讨论结果:函数y=-x2-2x 图象有最高点A，函数 y=-2x+1,x -1,+)图象有最高点B，函数y=f(x)图象有最高点C.也就是说,这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.函数图象上任意点P 的坐标(x,y)的意义:横坐标 x 是自变量的取值,纵坐标 y 是自变量为x时对应的函数值的大小.图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.由于点C 是函数 y=f(x)图象的最高点，则点A 在点 C 的下方，即对定义域内任意x，都有 yy0，即 f(x)f(x0)，也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x，均有 f(x)f(x0)成立.一般地，设
5、函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的xI，都有 f(x)M；（2）存在 x0I，使得 f(x0)=M.那么，称M 是函数 y=f(x)的最大值.f(x)M 反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实数M；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M.函数图象上最高点的纵坐标.函数 y=-2x+1,x(-1,+)没有最大值，因为函数y=-2x+1,x(-1,+)的图象没有最高点.不是，因为该函数的定义域中没有1.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 13 页 -讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象有最高点时，这个函数才
6、存在最大值，最高点必须是函数图象上的点.提出问题类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.类比问题9，你认为讨论函数最小值应注意什么？活动：让学生思考函数最大值的定义，利用定义来类比定义.最高点类比最低点，符号不等号“”类比不等号“”.函数的最大值和最小值统称为函数的最值.讨论结果：函数最小值的定义是:一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的xI，都有 f(x)M；（2）存在 x0I，使得 f(x0)=M.那么，称M 是函数 y=f(x)的最小值.函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标.讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函
7、数图象有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点.应用示例思路 1 例 1 求函数 y=12x在区间 2，6上的最大值和最小值.活动：先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，才提示：图象最高点的纵坐标就是函数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值.根据函数的图象观察其单调性，再利用函数单调性的定义证明，最后利用函数的单调性求得最大值和最小值.利用变换法画出函数y=12x的图象，只取在区间2，6上的部分.观察可得函数的图象是上升的.解：设 2x1x26,则有f(x1)-f(x2)=121221xx=)1)(1()1()1(22112xxxx=)1)(1()(2
8、2112xxxx2x10,(x1-1)(x2-1)0.f(x1)f(x2),即函数 y=12x在区间 2，6上是减函数.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 13 页 -所以，当x=2 时，函数 y=12x在区间 2，6上取得最大值f(2)=2；当 x=6 时，函数y=12x在区间 2，6上取得最小值f(6)=52.变式训练1.求函数 y=x2-2x(x -3,2)的最大值和最小值_.答案：最大值是f(-3)=15，最小值是f(1)=-1.2.函数 f(x)=x4+2x2-1 的最小值是.分析：（换元法）转化为求二次函数的最小值.设 x2=t，y=t2+2t-1(t 0
9、)，又当 t 0 时，函数 y=t2+2t-1 是增函数，则当 t=0 时，函数 y=t2+2t-1(t 0)取最小值 1.所以函数f(x)=x4+2x2-1 的最小值是 1.答案：-1 3.画出函数y=x22|x|3 的图象，指出函数的单调区间和最大值.分析：函数的图象关于y 轴对称，先画出 y 轴右侧的图象，再对称到 y 轴左侧合起来得函数的图象；借助图象，根据单调性的几何意义写出单调区间.解：函数图象如图1-3-1-13 所示.图 1-3-1-13 由图象得，函数的图象在区间（，1）和 0，1上是上升的，在1，0和（1，）上是下降的，最高点是(1,4)，故函数在（，1），0，1上是增函数
10、；函数在1，0，（1，）上是减函数，最大值是4.点评：本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法.求函数的最值时，先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种方法适用于做解答题.单调法求函数最值：先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 13 页 -如果函数y=f(x)在区间(a,b上单调递增，在区间b,c)上单调递减，则函数y=f(x)在 x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间(a,b上单调递减，在区间b,c)上单调递增，则函数 y=f(x)在 x=b 处有
11、最小值f(b).例 2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m 与时间 t s 之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？活动：可以指定一位学生到黑板上书写，教师在下面巡视，并及时帮助做错的学生改错.并对学生的板书及时评价.将实际问题最终转化为求函数的最值，画出函数的图象，利用函数的图象求出最大值.“烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当t 取什么值时函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18取得最大值；“这时距地面的高度是多少（精确到1
12、 m）”就是函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18 的最大值；转化为求函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18 的最大值及此时自变量t的值.解：画出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18 的图象，如图1-3-1-14 所示，显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆炸的最佳时刻，纵坐标就是这时距离地面的高度.图 1-3-1-14 由二次函数的知识，对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18，我们有：当 t=)9.4(27.14=1.5 时，函数有最大值,即烟花冲出去后1.5s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29m.点评：本题主要考查二次函数
13、的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是审清题意读懂题；将实际问题转化为数学问题来解决；归纳结论.注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.变式训练1.2006 山东菏泽二模，文 10 把长为 12 厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 13 页 -么这两个正三角形面积之和的最小值是()A.233cm2B.4cm2C.32cm2D.23cm2解析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4-x)cm，两个三角形的面积和为 S，则 S=43x2+43(4-x)2=
14、23(x-2)2+2323.当 x=2 时，S 取最小值 23m2.故选 D.答案：D 2.某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8 元的商品按10 元一件的价格出售时，每天可销售60 件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1 元，其销售量就要减少10 件，问该商品售价定为多少时才能赚取利润最大，并求出最大利润.分析：设未知数，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答.利润（售价进价）销售量.解：设商品售价定为x 元时，利润为y 元，则y=(x-8)60-(x-10)10=-10(x-12)2-16=-10(x
15、-12)2+160(10 x16).当且仅当x=12 时，y 有最大值 160 元，即售价定为12 元时可获最大利润160 元.思路 2 例 1 已知函数 f(x)=x+x1,x0，（1）证明当0 x0 的最小值.活动：学生思考判断函数单调性的方法，以及函数最小值的含义.（1）利用定义法证明函数的单调性；（2）应用函数的单调性得函数的最小值.（1）解：任取 x1、x2（0，+）且 x1x2，则f（x1）f（x2）=（x111x）（x2+21x）=（x1x2）+2112xxxx=212121)1)(xxxxxx，x1x2，x1x20.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共
16、13 页 -当 0 x1 x21 时，x1x2-10，f（x1）f（x2）0.f（x1）f（x2），即当 0 x0，f（x1）f（x2）0.f（x1）f（x2）,即当 x1时，函数 f(x)是增函数.（2）解法一：由（1）得当 x=1 时，函数 f(x)=x+x1,x0 取最小值.又 f(1)=2，则函数 f(x)=x+x1,x0 取最小值是2.解法二：借助于计算机软件画出函数f(x)=x+x1,x0 的图象，如图1-3-1-15 所示，图 1-3-1-15 由图象知，当x=1 时，函数 f(x)=x+x1,x0 取最小值f(1)=2.点评：本题主要考查函数的单调性和最值.定义法证明函数的单调
17、性的步骤是“去比赛”；三个步骤缺一不可.利用函数的单调性求函数的最值的步骤：先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：如果函数y=f(x)在区间(a,b上单调递增，在区间b,c)上单调递减，则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间(a,b 上单调递减，在区间b,c)上单调递增，则函数y=f(x)在 x=b 处有最小值f(b).这种求函数最值的方法称为单调法.图象法求函数的最值的步骤：画出函数的图象，依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值.变式训练1.求函数 y=xx213（x0）的最大值.解析:可证明函数y=xx213（x0）是减函数，
18、名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 13 页 -函数 y=xx213（x0）的最大值是f(0)=3.2.求函数 y=|x+1|+|x-1|的最大值和最小值.解法一：（图象法）y|x+1|+|x-1|=,1,2,11,2,1,2xxxxx其图象如图1-3-1-16 所示.图 1-3-1-16 由图象得，函数的最小值是2，无最大值.解法二：（数形结合）函数的解析式y=|x+1|+|x-1|的几何意义是：y 是数轴上任意一点P 到 1的对应点 A、B 的距离的和，即y=|PA|+|PB|,如图 1-3-1-17 所示，图 1-3-1-17 观察数轴,可得|PA|+|PB|A
19、B|=2，即函数有最小值2，无最大值.3.2007 天利高考第一次全国大联考（江苏卷），11 设 0 x1,则函数 y=x1+x11的最小值是.分析：y=)1(1xx,当 0 x400 时，f(x)=60000-100 x 是减函数;又 f(x)60000-100 4003 时，函数 y=28116m-m是减函数，所以当m=3 时，函数 y=28116m-m 取最大值21（万元）.拓展提升问题：求函数y=112xx的最大值.探究：(方法一)利用计算机软件画出函数的图象，如图1-3-1-18 所示，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 13 页 -图 1-3-1-18
20、故图象最高点是(21,34).则函数 y=112xx的最大值是34.(方法二)函数的定义域是R，可以证明当x21时，函数 y=112xx是增函数；当 x21时，函数 y=112xx是减函数.则当 x=21时，函数 y=112xx取最大值34,即函数 y=112xx的最大值是34.(方法三)函数的定义域是R，由 y=112xx,得 yx2+yx+y-1=0.xR，关于 x 的方程 yx2+yx+y-1=0 必有实数根，当 y=0 时，关于x 的方程 yx2+yx+y-1=0 无实数根，即y=0 不属于函数的值域.当 y0 时，则关于x 的方程 yx2+yx+y-1=0 是一元二次方程，则有=(-
21、y)2-4 y(y-1)0.0y34.函数 y=432xx的最大值是34.点评：方法三称为判别式法，形如函数y=fexdxcbxax22(d 0)，当函数的定义域是R（此时e2-4df0 时，函数 y=kx 的最大值为f(b)kb，最小值为f(a)ka；当 k0）上存在最值，当k0 时，函数 y=xk的最大值为f(a)ak，最小值为f(b)bk；当 k0时，函数y=kx+b 的最大值为f(n)=kn+b，最小值为f(m)km+b；当 k0 时，函数 y=ax2+bx+c 在定义域 R 上有最小值f(ab2)=aacb442，无最大值；当 a0 时，函数y=ax2+bx+c 在定义域 R 上有最
22、大值f(ab2)=aacb442，无最小值.二 次 函 数 在 闭 区 间 上 的 最 值 问 题 是 高 考 考 查 的 重 点 和 热 点 内 容 之 一.二 次 函 数f(x)=ax2+bx+c(a0)在闭区间 p，q上的最值可能出现以下三种情况：(1)若ab2p，则 f(x)在区间 p，q上是增函数，则f(x)min=f(p)，f(x)max=f(q).(2)若 pab2q，则 f(x)min=f(ab2),此时 f(x)的最大值视对称轴与区间端点的远近而定：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 13 页 -当 pab22qp时，则 f(x)max=f(q);
23、当2qpab2时，则 f(x)max=f(p)f(q);当2qpab2q 时，则 f(x)max=f(p).(3)若ab2q，则 f(x)在区间 p，q上是减函数，则f(x)min=f(q)，f(x)max=f(p).由此可见,当ab2 p,q时,二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在闭区间 p，q上的最大值是 f(p)和 f(q)中的最大值,最小值是 f(ab2)；当ab2p,q时,二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在闭区间 p，q上的最大值是f(p)和 f(q)中的最大值,最小值是f(p)和 f(q)中的最小值.(设计者：方诚心)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 13 页 -