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1、现在学习的是第1页，共43页2.1 测量误差的基本概念 误差存在于一切测量中，而且贯穿测量过程的始终。因此，只有通过正确的误差分析，知道测量中哪些量对测量结果影响大，那些量对测量结果影响小，从而努力测准那些对结果影响大的关键量，而不必花大功夫在那些不太准而且对结果影响很小的量上。测量误差按其表示方式可分为绝对误差和相对误差。任何测量过程都存在误差，即测量误差。所以在使用仪表测量工艺参数时，不仅需要知道仪表的指示值，还需要了解测量值的误差范围由于所选用的仪表精确度的限制、实验手段的不完善、环境中各种干扰的存在以及检测技术水平有限，在检测过程中仪表测量值与真实值之间总会存在一定的差值,这个差值就是
2、误差现在学习的是第2页，共43页Ax xA绝对误差是指测量值与被测量真值之间的差值，即绝对误差测量值，被测量的真值。1.绝对误差现在学习的是第3页，共43页2）示值相对误差%100AxA%100 xxx2.相对误差实际相对误差、示值相对误差和满度百分误差。1)实际相对误差现在学习的是第4页，共43页%100围下限测量范围上限测量范xx3）引用相对误差在测量实践中，测量结果准确度的评价常常使用相对误差，方便直观。相对误差愈小，准确度愈高。现在学习的是第5页，共43页2.2 测量误差的分类 系统误差是指测量仪表本身或其他原因（如零点没有调整好、测量方法不当等）引起的有规律的误差。这种误差的绝对值和
3、符号保持不变，当测量条件改变时误差服从某种函数关系。系统误差的来源主要有:由仪表引入的系统误差、理论误差和人为误差。2.2.1按误差的性质分类按其性质的不同还可分为系统误差、随机误差和粗大误差1系统误差现在学习的是第6页，共43页随机误差的存在，表现为每次测量值偏大或偏小是不定的，但它服从一定的统计规律。测量结果与真值偏差大的测量值出现的几率较小，偏差小的测量值出现的几率大，正方向误差和负方向误差出现的几率相等。并且绝对值很大的误差出现的几率趋近于零。这就是在实验中采用多次重复测量减小随机误差的依据。随机误差是由一些实验中的偶然因素、人的感官灵敏度和仪表的精密度有限性以及周围环境的干扰等引起的
4、。用实验方法完全消除测量中的偶然误差是不可能的，但是用概率统计方法可以减少偶然误差对最后结果的影响，并且可以估计误差的大小。2随机误差 随机误差是指在测量时，即使消除了系统误差，在相同条件下进行多次重复测量同一待测量时，发现各测量值之间也有差异，由此而产生的误差的绝对值与符号是不确定的，这种误差为随机误差，又叫偶然误差。现在学习的是第7页，共43页3粗大误差 粗大误差（Thick error）是指由于仪表产生故障、操作者疏忽大意或重大外界干扰而引起的显著偏离实际值的误差。这种误差对测量结果影响很大，应该尽量避免出现；多次测量中出现的粗大误差，应作为异常值除掉。现在学习的是第8页，共43页由于仪
5、器本身及其附件的电气、机械等特性不完善造成的误差。如内部噪声引起的误差、刻度不准或调节机构不完善引起的读数误差、元件老化或环境改变引起的稳定性误差等。在测量中仪表误差往往是主要的。2.2.2 按误差的来源分类按照误差产生的原因可将误差分为仪表误差、环境误差、理论误差与方法误差以及人为误差。由于各种环境因素与条件不一致所造成的误差。环境误差一般是由环境的温度、湿度、电磁场、电源电压、振动等因素造成的。在测量时一般要采取相应的抗干扰措施。1.仪表误差2.环境误差现在学习的是第9页，共43页人为误差是由于测量人员受分辨力、视觉、反应速度等生理因素的影响，以及固有习惯和精神上的因素而产生的一时疏忽等心
6、理因素的影响而引起的误差。如操作不当、读数错误等。在测量中，必须对误差的来源认真分析，并采取相应的措施，尽量减少误差对测量结果的影响。理论误差是指由于测量时所依据的理论不严密、使用了不当的简化或用近似公式、近似计算测量结果所引起的误差。方法误差是由于测量方法不合理引起的误差。二者有时合称为理论误差和方法误差3.理论误差与方法误差4.人为误差现在学习的是第10页，共43页实验对比法是通过改变产生系统误差的条件，在不同的条件下测量，从而发现系统误差。如当一台仪表进行多次重复测量某一被测量时，不能有效发现系统误差，可以采用高一级精度的仪表进行同样的测量，通过对比可以发现系统误差是否存在。2.3.1
7、系统误差的判别 为了消除或削弱系统误差，首先要判断系统误差是否存在，然后再设法消除。在测量过程中产生系统误差的原因很复杂，发现和判断系统误差的方法也有很多种，但目前还没有适用于发现各种系统误差的普遍方法。1.实验对比法2.3系统误差现在学习的是第11页，共43页图2.1 残差曲线图 2.残差观察法现在学习的是第12页，共43页2;11nkvvMnkiikii21;11nkvvMnkiikii3.马利科夫判据当M趋近于零时，则测量值中不存在系统误差；当M与vi值相当或更大，则测量值中存在系统误差；当n为偶数时当n为奇数时现在学习的是第13页，共43页21111nvvBniii3.阿卑赫梅特准则则
8、可以判断测量数据中存在周期性系统误差。为标准误差现在学习的是第14页，共43页 从产生系统误差的来源上消除系统误差是最基本的方法。这种方法要求实验人员对整个测量过程有一个全面仔细的分析，弄清楚可能产生系统误差的各种因素，然后在测量过程中予以消除。如选择精度等级高的仪器设备来消除仪器的基本误差；在规定的工作条件下，使用正确调零、预热来消除仪器设备的附加误差；选择合理的测量方法，设计正确的测量步骤来消除方法误差和理论误差；提高测量人员的测量素质，改善测量条件如选择智能化、数字化的仪器仪表来消除人为误差等。2.3.2 系统误差的消除1.从系统误差的来源上消除现在学习的是第15页，共43页。xCxA1
9、2.引入修正值法设系统误差为C，x为测量值，则不含该类系统误差的测量值A1为现在学习的是第16页，共43页图2.2 线性系统误差34251223对称法图2.2为某线性系统误差，若选定某一时刻（如图中t3）为中心，则对应此中点的两对称时刻的系统误差算术平均值都相等，即现在学习的是第17页，共43页 在相同的测量条件下，先将被测量接入测量装置中，调节测量装置使之处于某一状态，然后用与被测量相同的同类标准量代替被测量介入测量装置中，调节标准量，使测量装置的指示值与被测量接入时相同，此时标准器具的读数就等于被测量。4.替代法图2.3 替代测量法现在学习的是第18页，共43页 半周期法主要是用来消除周期
10、性系统误差的。在测量中，每隔半个周期进行一次测量，取两次读数的平均值作为测量值，便可以消除周期性系统误差。这是由于如果误差是周期性变化的，经过半个周期后，误差符号会改变，取两次测量值求平均便可消除周期性误差。5.半周期法现在学习的是第19页，共43页 随机误差是由一些未知的偶尔因素影响造成的，如电磁场的干扰、空气的扰动或湿度的变化、零部件的摩损或老化等，因而单次测量出现的随机误差是不确定或没有规律的，但在相同条件下重复测量某一被测量时，大量的测量数据所得到的随机误差分布是服从大数统计规律的。2.4 随机误差现在学习的是第20页，共43页大量的实际测量统计表明，随机误差具有如下四条特征：(1)对
11、称性 绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。即当重复测量次数n相当大时，绝对值相等符号相反的随机误差出现的机会相同。(2)有界性 绝对值很大的误差几乎不出现。即在一定的检测条件下，随机误差的绝对值不会超过某一界限。(3)单峰性 绝对值小的误差出现的概率大于绝对值大的误差出现的概率。即绝对值小的误差出现的次数多，绝对值大的误差出现的次数少。(4)抵偿性 随着测量次数n的增加，随机误差i的代数和超于零。或者说正、负随机误差相互抵消。2.4.1 随机误差的统计特性现在学习的是第21页，共43页随机误差的概率分布有多种类型，在计量和测量过程中经常遇到的分布是正态分布、均匀分布和、t分布。随机误差是随机
12、变量，由大量的、相互独立的、微弱的因素组成的。在大多数情况下，随机误差的概率都服从或接近正态分布。在根据随机误差的这些特征，早在1809年高斯（C.F.Gauss）就以统计学的理论推导出它的数学表达式。即)2exp(21)(22f2.4.2 随机误差的概率分布1 正态分布为随机误差；为方均根误差，亦称标准误差。现在学习的是第22页，共43页随机误差正态分布曲线，方均根误差越小，正态分布曲线越陡，即误差的概率密度越大；相对于误差而言，小误差出现的概率也越大，测量值越集中，其精密度越高。图2.4随机误差正态分布曲线 现在学习的是第23页，共43页)(0)(21)(aaaaf-a 0 a（）1/2a
13、图2.5 均匀分布的随机误差其概率分布密度曲线 均匀分布是一种常见的误差分布，如仪表盘刻度差所引起的误差，仪器最小分辨率限制引起的误差，数字仪表的量化误差，数字计算中的舍入误差等都属于均匀误差分布的范畴。此外，对于一些只知道误差出现的大致范围，而不知其分布规律的误差，在处理时经常按均匀分布的误差对待。2 均匀分布均匀分布的概率密度函数a为随机误差的极限值现在学习的是第24页，共43页221222)(nktkkkf01)0)(;)/(dtetxnAAttx)(x3 t分布 t分布是英国统计学家W.S.Gosset从实验中发现的，并以笔名“学生”发表，所以又称学生分布。t分布的概率密度函数为现在学
14、习的是第25页，共43页niinxnxE11lim)(0Axii0)()()(0AExEEniinxnAAE1001lim)(niinxnAxE101lim)(2.4.3 随机误差的统计特征参数1数学期望 对一个被测量在等精度情况下进行多次重复独立测量，如果已知消除了系统误差，则所测得的一组测量数据是一个随机变量x,其数学期望为又根据随机误差的抵偿特性，随机误差的数学期望为零，则现在学习的是第26页，共43页在等精度重复测量中，当测量次数为无穷大时，测量数据的数学期望就是被测量的真值。但在实际测量中，测量次数为无穷大这个条件不可能满足，为了评价测量的准确度高低，必须根据有限的测量数据计算数学期
15、望的估计值或近似值。算术平均值是被测量数学期望的最佳估计值。算术平均值的数学表达式为niixnx11niinxnAxE101lim)(现在学习的是第27页，共43页标准差是测量数据离散程度的表征，值愈小，测量数据愈集中，概率密度曲线愈陡峭；反之愈大，测量数据愈分散，概率密度曲线愈分散。也就是说，在一定的置信概率下，所对应的误差极限范围愈小，则测量数据的可靠性就愈大。212121)(1lim)(niiniinnxExnx211lim)(niinnx2 方差和标准差服从正态分布的随机变量，其方差的定义为方差的量纲是测量数据量纲的平方，所以在测量结果的表示中不很方便，因而经常使用标准偏差，简称标准差
16、。即现在学习的是第28页，共43页根据随机变量的概率统计特性，可以证明当测量次数n趋于无穷大时，其算术平均值就等于该随机变量数学期望的真值。但任何测量都只能是有限测量，此时算术平均值仍然接近真值，可以用来代替本次被测量的真值A0；相应地，可以用剩余误差代替测量值与被测量真值之差.2111niivn211lim)(niinnx贝塞尔（Bessel）公式 xxviiAxii现在学习的是第29页，共43页置信度是表征测量数据或测量结果可信赖程度的一个参数，可用置信区间和置信概率来表示。置信区间是一个给定的数据空间，通常用x-k,x+k来表示,k为整数，称之为置信因子。置信概率就是指在置信区间下的概率
17、，即dxxfkxEkxEpkxEkxE)()(,)()()(在同一分布下，置信区间愈大，置信概率就愈大。在不同分布下，当置信区间确定时，标准差愈小，置信因子和相应的置信概率就愈大，测量数据的可信度就愈高。当置信概率给定时，标准差愈小，置信区间愈窄，测量数据的可靠度就愈高。2.4.4 测量结果的置信度现在学习的是第30页，共43页1.正态分布下置信因子与置信概率的关系假设测量数据在从正态分布下，其概率密度函数为)(2)(22)(1)(xxExexxdxexkxEkxEpxxExkxEkxE)(2)()()(22)(1)(,)(，随机误差的绝对值大于3的概率只有0.0027，几乎为零。可以近似认为
18、随机误差的绝对值大于3属于不可能发生的随机事件。通常以3作为正态分布下测量数据的极限误差，并以此来判断随即误差中是否含有粗大误差。,iixx2,2iixx3,3iixx对应区间x-k,x+k的置信概率为68.3%95.55%99.7现在学习的是第31页，共43页2.t分布下置信因子与置信概率的关系在有限次测量中，测量数据服从t分布。t分布下给定区间的概率为)(),(xkxxkx)()(221222)()(),(xKxxKxnttttdxktkkkfxKxxKxPKt:t分布的置信因子。现在学习的是第32页，共43页)(),(xkxxkx3)3)()(2121)()()(),()()()()()
19、()()()()()()()()(KaxaxKxadxadxxxkxExkxEPxkxExkxExkxExkxExkxExkxE 概率为1，即全概率，也就是说均匀分布得测量数据得误差不可能超过a，所以a为极限误差。在实际应用中，通常取 3K3K给定区间在测量数据在均匀分布，3K时(3)均匀分布时置信度的确定现在学习的是第33页，共43页在进行测量数据处理时，若多次测量结果中含有粗大误差，就会严重地影响和歪曲对测量结果的正确评价。因此在对测量结果进行精度分析时，必须剔除粗大误差（亦称坏值），若没有从测量数据中去掉这些坏值，将会使测量结果的精度分析失去可靠性，严重时甚至会得出错误的结论。25 粗差
20、的判别与剔除现在学习的是第34页，共43页设一组等精度独立测量结果中，其一测得值xb所对应的残差vb大于三倍的标准偏差时，该测得值xb可确认含有粗大误差，应予以剔除。判别式 3xxvbb1.拉依达准则拉依达准则是最常用的判别粗大误差的准则，亦称3准则。现在学习的是第35页，共43页 在一组等精等独立测量结果中，若某一测得值xb的残差vb。满足下式 则认为xb为坏值，应该剔除。式中g(n,a)为格罗布斯判别系数，它与测量次数n和置信水平（一般取0.05或0.01）有关2.格罗布斯准则),(angxxvbb现在学习的是第36页，共43页从事研究工作、新产品开发、仪器仪表或电子产品的生产愈检测过程中
21、,常常要利用仪器设备进行直接测量，不仅在某一点获取多个数据，且往往还要在不同的点进行测量，以便求得准确而有代表性的特征函数或特性曲线，进而求得数学模型。测量数据处理分为等精度测量数据处理和非等精度数据处理。这里主要介绍前一种。等精度数据处理内容包括：计算被测量的平均值、剩余误差、方差、标准偏差，消除数据中的系统误差和坏值，求得最后测量结果以及获得经验统计公式，描绘特性曲线等。2.6 测量数据处理下面通过一个实例来说明直接测量实验数据处理与测量误差计算分析的理论公式与具体步骤。2.6.1 测量数据处理举例现在学习的是第37页，共43页2iviv2ivnxivi110.40-0.010.0001-
22、0.0170.000289210.4100-0.0070.000049310.43+0.020.0004+0.0130.000169410.31-0.100.0100/510.39-0.020.0004-0.0270.000729610.42+0.010.0001+0.0030.000009710.44+0.030.0009+0.0230.000529810.40-0.010.0001-0.0170.000289910.40-0.010.0001-0.0170.0002891010.43+0.020.0004+0.0130.0001691110.440.030.0009+0.0230.0005
23、291210.4100-0.0070.0000491310.39-0.020.0004-0.0270.0007291410.42+0.010.0001+0.0030.0000091510.43+0.020.0004+0.0130.000169现在学习的是第38页，共43页5）x4剔除后剩下的14个数据需要重新判断是否还存在有粗大误差，方法同上。解：1）求算术平均值2）每次测量值xi剩余误差及其平方值如表中所示。3）计算样本的方差和标准差4）剔除坏值现在学习的是第39页，共43页求表中剔除x4剩下的14个数据的平均值和标准偏差为剔除x4之后所剩下的14个数据再没有粗大误差6）判别线性累积系统误差和周期性系统误差根据马利科夫准则n14，为偶数趋近于零时，测量值中不存在线性累积系统误差现在学习的是第40页，共43页该组不存在周期性系统误差。根据阿卑赫梅特准则现在学习的是第41页，共43页6）由测量值的标准差计算被测量算术平均值的标准差 当测量数据中存在坏值时，算术平均值的标准差 7）表示最后测量结果。由于测量数据的个数n14，可按t分布计算出不确定度，当置信概率为0.99,查表得K2.98现在学习的是第42页，共43页在MATLAB中实现最小二乘法拟合通常采用polyfit函数进行多项式拟合。2.6.2 测量数据处理的计算机程序设计现在学习的是第43页，共43页