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1、关于测量误差及其处理关于测量误差及其处理第一页，讲稿共三十一页哦5-1 5-1 概述概述一、测量误差的概念一、测量误差的概念人们对客观事物或现象的认识总会存在不同程度的误差。这人们对客观事物或现象的认识总会存在不同程度的误差。这种误差在对变量进行观测和量测的过程中反映出来，称为种误差在对变量进行观测和量测的过程中反映出来，称为测测量误差。量误差。二、观测与观测值的分类二、观测与观测值的分类1 1同精度观测和不同精度观测同精度观测和不同精度观测在相同的观测条件下，即用同一精度等级的仪器、设备，用在相同的观测条件下，即用同一精度等级的仪器、设备，用相同的方法和在相同的外界条件下，由具有大致相同技术
2、水相同的方法和在相同的外界条件下，由具有大致相同技术水平的人所进行的观测称为同精度观测，其观测值称为平的人所进行的观测称为同精度观测，其观测值称为同精度同精度观测值观测值或或等精度观测值等精度观测值。反之，则称为不同精度观测，其观。反之，则称为不同精度观测，其观测值称为不同（不等）精度观测值。测值称为不同（不等）精度观测值。第二页，讲稿共三十一页哦5-1 5-1 概述概述二、观测与观测值的分类二、观测与观测值的分类2 2直接观测和间接观测直接观测和间接观测为确定某未知量而直接进行的观测，即被观测量就是所求未为确定某未知量而直接进行的观测，即被观测量就是所求未知量本身，称为知量本身，称为直接观测
3、直接观测，观测值称为，观测值称为直接观测值直接观测值。通过被。通过被观测量与未知量的函数关系来确定未知量的观测称为观测量与未知量的函数关系来确定未知量的观测称为间接观间接观测测，观测值称为，观测值称为间接观测值间接观测值。3 3独立观测和非独立观测独立观测和非独立观测各观测量之间无任何依存关系，是相互独立的观测，称为各观测量之间无任何依存关系，是相互独立的观测，称为独独立观测立观测，观测值称为，观测值称为独立观测值独立观测值。若各观测量之间存在一定。若各观测量之间存在一定的几何或物理条件的约束，则称为的几何或物理条件的约束，则称为非独立观测非独立观测，观测值称为，观测值称为非独立观测值非独立观
4、测值。(三角形三个内角观测则为非独立观测三角形三个内角观测则为非独立观测)第三页，讲稿共三十一页哦5-1 5-1 概述概述v三、测量误差及其来源三、测量误差及其来源1 1测量误差的定义测量误差的定义真值真值：客观存在的值“X”（通常不知道）真误差：真值与观测值之差，即：真误差真误差=真值真值-观测值观测值 2 2测量误差的反映测量误差的反映测量误差是通过“多余观测多余观测”产生的差异反映出来的。测量中不可避免产生误差，如测量某段距离，往返测量若干次，这些重复测量值之间存在差异。这次多余观测导致的差异事实上就是测量误差。3 3测量误差的来源测量误差的来源（1）测量仪器：仪器精度的局限、轴系残余误
5、差等。（2）观测者：判断力和分辨率的限制、经验等。（3）外界环境条件：温度变化、风、大气折光等。第四页，讲稿共三十一页哦5-1 5-1 概述概述四、测量误差的种类四、测量误差的种类按测量误差对测量结果影响性质的不同，可将测量误差分为按测量误差对测量结果影响性质的不同，可将测量误差分为系统误差系统误差、偶然误差和粗差偶然误差和粗差。1 1系统误差系统误差在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，数值大在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，数值大小和正负符号固定不变或按一定规律变化的误差，称为系统误差。小和正负符号固定不变或按一定规律变化的误差，称为系统误差。v 系统误差可以消除或减弱
6、。系统误差可以消除或减弱。(计算改正、观测方法、仪器检校计算改正、观测方法、仪器检校)例：例：误差误差 处理方法处理方法 钢尺尺长误差钢尺尺长误差 ld 计算改正计算改正 钢尺温度误差钢尺温度误差 lt 计算改正计算改正 水准仪视准轴误差水准仪视准轴误差I 操作时抵消操作时抵消(前后视等距前后视等距)经纬仪视准轴误差经纬仪视准轴误差C 操作时抵消操作时抵消(盘左盘右取平均盘左盘右取平均)第五页，讲稿共三十一页哦5-1 5-1 概述概述四、测量误差的种类四、测量误差的种类2 2偶然误差偶然误差v 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，误差出现的符号在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测
7、，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，这种误差称为和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，这种误差称为“偶然误差偶然误差”，是由许多无法精确估计的因素综合造成，是由许多无法精确估计的因素综合造成(人的分辨能人的分辨能力力,仪器的极限精度仪器的极限精度,天气的无常变化天气的无常变化,以及环境的干扰等以及环境的干扰等)。偶然误差不可避免，但在一定条件下的大量的偶然误差，在实践中发现具有统计学规律。v 偶然误差举例：仪器对中误差偶然误差举例：仪器对中误差,气泡居中判断、目标瞄准、度盘读气泡居中判断、目标瞄准、度盘读数等误差数等误差,气象变化等外界环境等影响观测。气象变化等外
8、界环境等影响观测。3.3.粗差粗差第六页，讲稿共三十一页哦4 4、误差处理原则、误差处理原则7系统误差系统误差 5-1 5-1 概述概述四、测量误差的种类四、测量误差的种类第七页，讲稿共三十一页哦5-1 5-1 概述概述四、测量误差的种类四、测量误差的种类v 几个概念几个概念:准确度：准确度：(测量成果与真值的差异，取决于系统误差的大小）测量成果与真值的差异，取决于系统误差的大小）精（密）度：精（密）度：(观测值之间的离散程度，取决于偶然误差的大观测值之间的离散程度，取决于偶然误差的大小）小）最或是值：最或是值：（最接近真值的估值，最可靠值）；（最接近真值的估值，最可靠值）；测量平差测量平差：
9、（求解最或是值并评定精度）。：（求解最或是值并评定精度）。第八页，讲稿共三十一页哦5-1 5-1 概述概述五、偶然误差的特性及其概率密度函数五、偶然误差的特性及其概率密度函数例如，在相同条件下对某一个平面三角形的三个内角重复观例如，在相同条件下对某一个平面三角形的三个内角重复观测了测了358358次，由于观测值含有误差，故每次观测所得的三个次，由于观测值含有误差，故每次观测所得的三个内角观测值之和一般不等于内角观测值之和一般不等于180180，按下式算得三角形各次，按下式算得三角形各次观测的真误差观测的真误差 i i，然后对三角形闭合差然后对三角形闭合差 i i进行分析进行分析。v 分析结果表
10、明分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。而且，观测次数越多，规律性越明显。第九页，讲稿共三十一页哦5-1 5-1 概述概述d误差区间误差区间()()负误差正误差个数个数相对个数个数个数相对个数0.00.2450.126460.1280.20.4400.112410.1150.40.6330.092330.0920.60.8230.064210.0590.81.0170.047160.0451.01.2130.036130.0361.21.460.01750.0141.4
11、1.640.01120.0061.6以上00.00000.000总和1810.5051770.495第十页，讲稿共三十一页哦5-1 5-1 概述概述五、偶然误差的特性及其概率密度函数五、偶然误差的特性及其概率密度函数v 偶然误差的四个特性：偶然误差的四个特性：（1 1）有界性：有界性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度，即偶然误差是有界的；超过一定的限度，即偶然误差是有界的；（2 2）单峰性：单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会大；大；（3 3）对称性：对称性：绝对值相等的正、负误差
12、出现的机会相等；绝对值相等的正、负误差出现的机会相等；（4 4）补偿性：补偿性：在相同条件下，对同一量进行重复观测，偶然在相同条件下，对同一量进行重复观测，偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零，即误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零，即 0limlim21nnnnn第十一页，讲稿共三十一页哦5-1 5-1 概述概述v五、偶然误差的特性及其概率密度函数五、偶然误差的特性及其概率密度函数v 用用频率直方图频率直方图表示的偶然误差统计：表示的偶然误差统计：v 频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区 间的频率间的频率k/nk
13、/n，而所有条形的总面积等于而所有条形的总面积等于1 1。v 频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称于频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称于y y轴。轴。v 各条形顶边中点连线经光滑后各条形顶边中点连线经光滑后 的曲线形状，表现出偶然误差的曲线形状，表现出偶然误差 的普遍规律。的普遍规律。第十二页，讲稿共三十一页哦5-1 5-1 概述概述v五、偶然误差的特性及其概率密度函数五、偶然误差的特性及其概率密度函数v 用用频率直方图频率直方图表示的偶然误差统计：表示的偶然误差统计：v 当观测次数当观测次数n n无限增多无限增多(n(n)、误差区间误差区间d d 无限缩小无限缩
14、小(d d 0)0)时，时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线,这条曲线称为这条曲线称为“正态分布曲正态分布曲线线”，又称为，又称为“高斯误差分布曲线高斯误差分布曲线”。所以偶然误差具有正态分布的特性。所以偶然误差具有正态分布的特性。第十三页，讲稿共三十一页哦1422221)(efnnnnlimlim2nnnnn2222212limlim式中参数称为“标准差”,其平方 2 称为“方差”,方差为偶然误差(真误差)平方的理论平均值：第十四页，讲稿共三十一页哦5-1 5-1 概述概述v五、偶然误差的特性及其概率密度函数五、偶然误差的特性及其概率密度函数v 偶然误差处理方
15、式偶然误差处理方式 值）靠值，似真值，最或是）求算术平均值（最可（）多余观测（提高仪器等级32)1(第十五页，讲稿共三十一页哦5-2 5-2 衡量精度的指标衡量精度的指标 一、精度一、精度v 精确度精确度是准确度与精密度的总称。是准确度与精密度的总称。v 对基本排除对基本排除系统误差系统误差，而以，而以偶然误差偶然误差为主的一组为主的一组观测值观测值，用精密，用精密度来评价该组观测值质量的优劣。精密度简称精度。度来评价该组观测值质量的优劣。精密度简称精度。二、中误差二、中误差第十六页，讲稿共三十一页哦5-2 5-2 衡量精度的指标衡量精度的指标 二、中误差二、中误差某观测值真值某观测值真值X
16、X已知；（设在相同观测条件下，对任一个未已知；（设在相同观测条件下，对任一个未知量进行了知量进行了n n次观测，其观测值分别为次观测，其观测值分别为 、，n n个观测值个观测值的真误差的真误差 、。为了避免正负误差相抵消和明显地反。为了避免正负误差相抵消和明显地反映观测值中较大误差的影响，通常是以各个真误差的平方和映观测值中较大误差的影响，通常是以各个真误差的平方和的平均值再开方作为评定该组每一观测值的精度的标准，即的平均值再开方作为评定该组每一观测值的精度的标准，即m m称为中误差，称为中误差，m m小小-精度高；精度高；m m大大-精度低。精度低。n n观测值个数观测值个数 真误差真误差n
17、nmn222211l2lnl12n22221.n),.2,1(niLXii第十七页，讲稿共三十一页哦5-2 5-2 衡量精度的指标衡量精度的指标二、中误差二、中误差例例:设有设有1 1、2 2两个小组，对三角形的内角和进行了两个小组，对三角形的内角和进行了9 9次观次观测，分别求得其真误差为：测，分别求得其真误差为：1 1组：组：2 2组：组：试比较这两组观测值的中误差。试比较这两组观测值的中误差。解：解：说明说明1 1组的观测精度比组的观测精度比2 2组高。组高。783476865 ,357474456 ,2.69)7()8()3()4()7()6()8()6()5(2222222222m2
18、.59)3()5()7()4()7()4()4()5()6(2222222221m21mm 第十八页，讲稿共三十一页哦m1=5.2m2=6.2=xy=f()()f()fm1m1m2m212m1m2+-22 11195-2 5-2 衡量精度的指标衡量精度的指标第十九页，讲稿共三十一页哦5-2 5-2 衡量精度的指标衡量精度的指标三、容许误差三、容许误差v 根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d d 内的概内的概率为：率为：v 误差出现在误差出现在K K倍中误差区间内的倍中误差区间内的概率为：概率为：v 将将K=1K=1、2 2、3 3分别代入上式，
19、可得到偶然误差分别出现在分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：P(|P(|m)=0.683=68.3 m)=0.683=68.3；P(|P(|2m)=0.954=95.4 2m)=0.954=95.4 P(|P(|3m)=0.997=99.7 3m)=0.997=99.7 demdfPm22221)()(kmkmmdemkmP22221)(第二十页，讲稿共三十一页哦5-2 5-2 衡量精度的指标衡量精度的指标三、容许误差三、容许误差v 将将K=1K=1、2 2、3 3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在分别代入上式，可得
20、到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：P(|P(|m)=0.683=68.3 m)=0.683=68.3；P(|P(|2m)=0.954=95.4 2m)=0.954=95.4 P(|P(|3m)=0.997=99.7 3m)=0.997=99.7 v 测量中，一般取测量中，一般取两倍中误差两倍中误差(2m)(2m)作为容许误差，也称为作为容许误差，也称为限限差差：|容容|=3|m|=3|m|或或|容容|=2|m|=2|m第二十一页，讲稿共三十一页哦5-2 5-2 衡量精度的指标衡量精度的指标v 四、相对误差四、相对误差(相对中误差相对中误
21、差)v 中误差绝对值与观测量之比中误差绝对值与观测量之比。v 用分子为用分子为1 1的分数表示。的分数表示。v 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。例例：用钢尺丈量两段距离分别得用钢尺丈量两段距离分别得S S1 1=100=100米米,m,m1 1=0.02m=0.02m；S S2 2=200=200米米,m,m2 2=0.03m=0.03m。计算。计算S S1 1、S S2 2的相对误差。的相对误差。解：解：K K2 2KK1 1，所以距离，所以距离S S2 2精度较高。精度较高。500011000201mmK.6600120003
22、02mmK.第二十二页，讲稿共三十一页哦5-3 5-3 算术平均值及其中误差（算术平均值及其中误差（P82P82）一、算术平均值一、算术平均值设在相同的观测条件下，对某未知量未知量进行了n 次观测，得n个观测值1,2,n,则该量的算术平均值为x：nlnlllxn21第二十三页，讲稿共三十一页哦5-3 5-3 算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差v一、算术平均值一、算术平均值v证明算术平均值为该量的最或是值：设该量的真值为X，则各观测值的真误差为：v 当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该量的真 值；当观测次数有限时，观测值的算术平均值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。nnlXl
23、XlX2211 nlXn 0nnlim nlXn limXxnlim0v第二十四页，讲稿共三十一页哦5-3 5-3 算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差v二、观测值改正数二、观测值改正数未知量的最或是值未知量的最或是值x x与观测值与观测值l li i之差称为观测值改正之差称为观测值改正数数v vi i，即，即nnlxvlxvlxv2211lnxvnlxnv0v第二十五页，讲稿共三十一页哦5-3 5-3 算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差v 三、由观测值改正数计算观测值中误差三、由观测值改正数计算观测值中误差nnlXlXlX2211)()()(xXvxXvxXvnn2211nnlxv
24、lxvlxv2211)()(vxXxXnvv222)(xXnvv2)(xXnvvn第二十六页，讲稿共三十一页哦5-3 5-3 算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差v 三、由观测值改正数计算三、由观测值改正数计算观测值中误差观测值中误差2)(xXnvvn222221)()(lnXnnlXxX)222(113121222212nnnn)(nnnn131212222nnvvnnmnvvm221nvvm2212).(1nlXlXlXn第二十七页，讲稿共三十一页哦5-3 5-3 算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差v四、算术平均值中误差四、算术平均值中误差算术平均值的中误差算术平均值的中误差Mx
25、Mx，可由下式计算，可由下式计算:或或nmMx)1(nnvvMx第二十八页，讲稿共三十一页哦29 次序次序观测值观测值l(m)(m)l(cm)(cm)改正值改正值v v(cm)(cm)vv (cm(cm2 2)1 1120.031120.031+3.1+3.1-1.4-1.41.961.96算术平均值算术平均值:=120.017(m)=120.017(m)观测值中误差观测值中误差:=3.0(cm)3.0(cm)2 2120.025120.025+2.5+2.5-0.8-0.80.640.643 3119.983119.983-1.7-1.7+3.4+3.411.5611.564 4120.04
26、7120.047+4.7+4.7-3.0-3.09.009.005 5120.040120.040+4.0+4.0-2.3-2.35.295.296 6119.976119.976-2.4-2.4+4.1+4.116.8116.81(lo=120.000)=120.000)+10.2+10.20.00.045.2645.26 nllx01nvvm第二十九页，讲稿共三十一页哦v一、一、已知真值已知真值X,进行进行n次观次观测，则计算观测值的真误差测，则计算观测值的真误差与中误差。与中误差。30iilX nmilxivnlolx1nvvm真误差：第三十页，讲稿共三十一页哦感谢大家观看感谢大家观看第三十一页，讲稿共三十一页哦