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1、第6章 主要内容6.1 测量误差的基本概念测量误差的基本概念6.2 随机误差的处理随机误差的处理6.3 系统误差的分析系统误差的分析 6.5 误差合成误差合成 6.6 数据处理数据处理6.4 粗大误差的剔除粗大误差的剔除 6.16.26.36.46.56.6关闭关闭6.1 6.1 测量误差的基本概念测量误差的基本概念6.1.2 测量误差的来源测量误差的来源(1)测量设备方面设备误差(2)测量方法方面方法误差(3)测量环境方面环境误差(4)测量人员方面人员误差 6.1.1 测量误差测量误差：测量值和真值（被测对象某：测量值和真值（被测对象某个参数的真实量值）之间存在着一定的差值，个参数的真实量值
2、）之间存在着一定的差值，这个差值称为测量误差。这个差值称为测量误差。6.1.3 6.1.3 主要的名词术语主要的名词术语 （1）等精度测量：同一条件下进行的重复多次测量；（2）非等精度测量：非同一条件下进行的重复多次测量；（3）真值：被测量的真实量值；（4）实际值：也称为相对真值；（5）标称值：测量器具上标注的量值；（6）示值：也称指示值或测量值；（7）测量误差：测量值（示值）与被测量的真值（或实际值）之间的差值；（8）准确度：测量结果与真值的一致程度；（9）准确度等级：用来表达测量器具准确度高低的一个可以量化表示的参数；（10）不确定度：也叫测量不确定度，表示测量结果（测量值）不确定的程度，
3、用于表明测量结果准确度高低的一个可量化的值；（11）置信度：表征测量结果可信赖程度的一个参数；（12）直接测量与间接测量：需要通过某些间接方法从其它直接测量结果中获得某个参数的测量结果，称为间接测量。6.1.4 测量误差表示方法测量误差表示方法 1、绝对误差 =mR 式中绝对误差；m测量值;R被测量的真值。2、相对误差 或式中 相对误差 3、引用误差与最大引用误差 式中 L仪表的满量程值 仪表的最大引用误差 6.1.5 测量误差的分类测量误差的分类 1、系统误差：在相同条件下，多次重复测量同一量值时，误差的大小和符号保持不变或按一定规律变化，这种误差称为系统误差。2、随机误差：在同一条件下，多
4、次重复测量同一量值时，误差的大小、符号均无规律地变化，这种误差称为随机误差。3、粗大误差：在相同条件下，多次测量同一量值时，明显歪曲测量结果的误差，称为粗大误差，也称为疏失误差。6.1.6 测量不确定度测量不确定度 测量结果的完整表述应包括三个方面：测量结果的完整表述应包括三个方面：估计值、测量单位和测量不确定度估计值、测量单位和测量不确定度估计值：就是测量仪器的显示值估计值：就是测量仪器的显示值 测测量量不不确确定定度度的的基基本本定定义义为为：合合理理表表征征赋赋予予被被测测量量之之值值的的分分散散性性，是是与与测测量量结结果果相相联联系系的的参参数数。是是对对测测量量结结果果的的可可靠靠
5、性性和和有有效效性性的的怀怀疑疑程程度度或或不不能能肯定的程度给于定量表达。肯定的程度给于定量表达。6.1.7 误差公理及测量结果的报告 误差公理误差公理：一切测量都存在误差一切测量都存在误差测量结果的数量表达测量结果的数量表达 ：M=-Es M=-Es U U 式中：式中：Es 系统误差分量 U 估计值的不确定度 被测量M的估计值 6.2 6.2 随机误差的处理随机误差的处理 6.2.1 随机误差的特征和概率分布随机误差的特征和概率分布 绝大多数随机误差服从正态分布，其概率密度函数为：式中：R被测量的真值；m测量值；2和随机误差的方差和标准差，标准差定义为方差的正的算术平方根 6.2.2 算
6、术平均值和剩余误差算术平均值和剩余误差 设测量序列m1，m2，mn，则用绝对误差表示的随机误差列i为：imiR （i1，2，3，n）两边求和得：或由正态分布的抵偿特性，有：故由式（）有：此式左边即为随机变量的数学期望，当n为有限值时，测量值序列的算术平均值为：式中 测量值序列的算术平均值 在等精度测量中，算术平均值是被测量的真值最可信赖的值在等精度测量中，算术平均值是被测量的真值最可信赖的值 实际测量都是有限次测量，处理时只能把算术平均值作为被测量的真值的最佳近似值，于是有剩余误差（残余误差）表达式：式中 剩余误差（残余误差）6.2.3 随机误差的方差和标准差随机误差的方差和标准差 由概率论可
7、知标准差（也称均方根误差）由概率论可知标准差（也称均方根误差）能够表征测量值相对于其中心能够表征测量值相对于其中心位置数学期望的离散程度。因此，标准差的大小表征测量列的离散程度位置数学期望的离散程度。因此，标准差的大小表征测量列的离散程度。1、测量列（采样值）的标准差对于等精度无限测量列，方差和标准差分别为：在实际中，测量次数n是有限的，根据贝塞尔(Bessel)法则，由算术平均值作为被测量的真值的最佳近似值，相应的采用剩余误差代替测量误差，则有方差和标准差分别为：2、测量列算术平均值的标准差 如果在相同条件下，对一个真值量R重复做j组测量，每一组测量n次，则可求出j个算术平均值，各个算术平均
8、值都是对真值的估计值，也会有差异，并围绕被测量的真值（数学期望）形成一个有分散性的算术平均值离散数列。其分散性的表征可由算术平均值的标准差表示，可由下式求出：6.2.4 测量的极限误差测量的极限误差 极限误差也称最大误差，是对随机误差取值最大范围的极限误差也称最大误差，是对随机误差取值最大范围的概率统计。概率统计。极限误差可以用来确定被测量接近其真值的程度，也表征了测量仪极限误差可以用来确定被测量接近其真值的程度，也表征了测量仪器的准确度，通常要求仪器仪表的测量误差绝对值应该比极限误差范围器的准确度，通常要求仪器仪表的测量误差绝对值应该比极限误差范围小，由此确定测量仪器的准确度等级。小，由此确
9、定测量仪器的准确度等级。考虑置信区间：用符号（或-+）表示，而与极限误差对应的置信区间为max。由于正态分布随机变量的重要特征可由标准差由于正态分布随机变量的重要特征可由标准差表征，故置信区间表征，故置信区间常以常以的倍数来表示，即的倍数来表示，即=t=t，其中，其中t t为置信系数。为置信系数。由置信概率p表征随机误差在置信区间范围内取值的概率，于是可以表示为：将t=带入上式，经变换可以得到：函数 为概率积分，不同t值下的可以通过查相关的表得到。如表6-1给出了几个典型的t值的概率。表6-1 正态分布下置信概率表 ttp20000.670.670.497210.6827220.9544330
10、.9973440.9999 由表6-1可以看出，若max，即tl，查表得p68.27%，表明曲线所包围的面积为68.27。这说明；当对某一参数进行了n次测量之后，偶然误差的数值在-+范围的测量值有68.27，而剩下的31.73的测量值与真值之差均超过，这实际就是标准差的物理意义。随随着着t t的的增增大大，超超出出的的概概率率减减小小很很快快，如如当当maxmax33时时，P P99.7399.73，即即随随机机误误差差落落在在33范范围围内内的的概概率率达达99.799.7以以上上，落落在在33范范围围以以外外的的机机会会相相当当小小，仅仅在在0.30.3以以内内。因因此此，工工程程测测量量
11、常常用用33估估计计随随机机误误差差的的范范围围，超超过过33者者作作为为疏疏失失误误差差处处理理，即即取取33为为极极限限误误差。差。因此若已知测量的标准差，选定置信系数后，便可以求得极限误差。6.2.5 不等精度直接测量的数据处理不等精度直接测量的数据处理 对于不等精度测量，计算最后测量结果及其标准差，不能采用前面提及的等精度测量的计算公式，需推导新的计算公式。那么此时如何根据每组的测量结果及误差去求得全体测量的结果及误差呢？1 1、权的概念、权的概念 所所谓谓“权权”就就是是测测量量值值可可靠靠性性或或可可信信程程度度的的数数值值化化表表示示，可信程度越大，权值也越大。可信程度越大，权值
12、也越大。例如在测量中，测量方法越完善，测量仪器准确度越高，测量者经验越丰富，所得测量结果的权也应该越大。而在测量条件和测量者水平相同的情况下，往往根据测量的次数确定权的大小。重复测量次数越多，其可靠程度显然越大，此时完全可以用测量的次数来确定权的大小。2 2、加权算术平均值及其标准差、加权算术平均值及其标准差 若对同一被测量进行j组不等精度测量，得到j组测量结果，各组测量列的算术平均值为 （i=1，2，j），相应各组测量列的权为pi，则j组测量列全体的平均值就称为加权算术平均值M，可由下式表示：如果p1p2pj时，就变为等精度测量，上式求得的结果即为等精度测量的算术平均值。由权的定义可知加权平
13、均值的标准差可定义为：6.3 6.3 系统误差的分析系统误差的分析6.3.1 系统误差的性质及分类系统误差的性质及分类(1)确确定定性性 系统误差是固定不变的，或是一个确定性的(非随机性质)时间函数，服从确定的函数规律。(2)重现性重现性 在测量条件完全相同时，重复测量时系统误差可以重复出现。(3)可修正性可修正性 由于系统误差的重现性，就决定了它的可修正性。系统误差分为以下四种：系统误差分为以下四种：（1）不变的系统误差（2）线性变化的系统误差（3）周期性变化的系统误差（4）复杂规律变化的系统误差 1、实验对比法、实验对比法：这种方法适用于发现不变的系统误差。例如用某仪表测量时，如果用更高一
14、级准确度等级的测量仪表进行同样的测试，通过对比便能发现它的系统误差。2、残余误差观察法、残余误差观察法：根据测量列的各个残余误差大小和符号的变化规律，直接由误差数据或误差曲线图来判断有无系统误差。这种方法主要适用于发现有规律变化的系统误差。见右图右图说明：a)不存在系统误差 b)存在线性的系统误差 c)存在周期性变化的系统误差 d)同时存在线性系统误差和周期性系统误差 6.3.2 系统误差的判别系统误差的判别3、马利科夫判据、马利科夫判据：当测量次数较多时，将测量列的前K个残余误差之和，减去测量列后（nK）个残余误差之和，若其差值接近于零，说明不存在变化的系统误差。若其差值显著不为零，则认为测
15、量列存在着变化的系统误差。这种方法适用于发现线性系统误差。4、阿卑赫梅特判据、阿卑赫梅特判据：该方法是把残余误差vi按测量先后顺序排列，并依次两两相乘，然后取和的绝对值，若：则可以认为存在周期性系统误差。利用该判据能有效发现周期性系统误差。6.3.3 系统误差的消除与削弱系统误差的消除与削弱 1、不变的系统误差消除法（1）代替法（置换法）：选择一个大小适当并可调的已知标准量去替代测量电路中的被测量，并使仪表的指示值保持原值不变。此时该标准量即为被测量的数值。（2）交换法：根据误差产生原因，将引起系统误差的某些条件相互交换，而保持其它条件不变，以消除系统误差。2、线性系统误差消除法 消除线性系统
16、误差的较好方法是对称法，也称等距读数法。3、周期性系统误差的消除 采用半周期法消除。每隔半个周期进行一次测量，取两次读数的平均值作为测量值，便可以消除周期性系统误差。6.4 6.4 粗大误差的剔除粗大误差的剔除 在测量过程中，产生粗大误差的原因是多方面的，如工在测量过程中，产生粗大误差的原因是多方面的，如工作人员的粗心大意读错、记错数据，或因仪器及工作条件的作人员的粗心大意读错、记错数据，或因仪器及工作条件的突然变化而造成明显的错误等。一旦发现含有粗大误差的测突然变化而造成明显的错误等。一旦发现含有粗大误差的测量值，即坏值，应将其从测量结果中舍弃。量值，即坏值，应将其从测量结果中舍弃。6.4.
17、1 6.4.1 莱以特准则莱以特准则 莱以持准则认为凡剩余误差大于3倍标准偏差的可以认为是粗大误差，它所对应的测量值就是坏值，应予以舍弃。需要注意的是在舍弃坏值后，剩下的测量值应该重新计算算术平均值和标准偏差，再用莱以特准则鉴别各个测量值，看是否有新的坏值出现。直到无新的坏值时为止，此时所有测量值的残差均在3范围之内。6.4.2 格拉布斯准测格拉布斯准测 凡剩余误差大于格拉布斯鉴别值的误差被认为是粗大误差，应予以舍弃，可表示为：式中，g（a，n）为格拉布斯准则判别系数，它与测量次数n及显著性水平(一般取0.05或0.01)有关，格拉布斯准则的判别系数见表6-2。表表6-2 6-2 格拉布斯准则
18、判别系数表格拉布斯准则判别系数表nana0.050.010.050.01g（n,a）g（n,a）31.151.16172.482.7841.461.49182.502.8251.671.75192.532.8561.821.94202.562.8871.942.10212.582.9182.032.22222.602.9492.112.32232.622.96102.182.41242.642.99112.232.48252.663.01122.282.55302.743.10132.332.61352.813.18142.372.66402.873.24152.412.70502.963.3
19、4162.442.751003.173.596.5 6.5 误差的合成误差的合成 所谓误差的合成，就是按一定的法则将各个单项误差综合起来，求出测量系统的总误差。通常测量中，可能存在多个系统误差，随机误差和粗大误差。当粗大误差剔除后，决定测量准确度的就是系统误差和随机误差，在误差合成中主要讨论随机误差的合成，系统误差合成以及随机误差与系统误差的合成三种。6.5.1 随机误差的合成随机误差的合成 设测量中有q个彼此独立的随机误差，它们的标准差分别为1，2，q，按方和根的方法，它们合成后为：若q个随机误差是相关的，则综合后总随机误差的标准差为：式中，ij第i个和第j个随机误差间的相关系数，其取值介于
20、正负l之间。6.5.2 系统误差的合成系统误差的合成 将系统误差分成己定系统误差和未定系统误差两类。由于特征不同，从而其合成方法也不相同。1 1、已定系统误差的合成、已定系统误差的合成 对于大小和方向均已确定的系统误差，称为已定系统误差。设被测量有r个已定系统误差，分别为1，2，r，则总的系统误差为：若误差个数r较大时，可以按方和根法合成：2 2、未定系统误差的合成、未定系统误差的合成 未定系统误差是指误差的大小和方向未能确切掌握的系统误差。通常对于未定系统误差，可以大致估计出单个未定系统误差的最大范围e，然后进行合成。设有s个未定系统误差，它们的极限误差分别为e1，e2，es，则总的未定系统
21、误差可按下述方法进行合成：（1）绝对值和法 (2)方和根法 6.5.3 系统误差与随机误差的合成系统误差与随机误差的合成 若测量结果有q个单项随机误差，r个单项己定系统误差和s个单项未定系统误差，它们的误差值或极限误差分别为：1，2，q 1，2，r e1，e2，es则测量结果总的综合极限误差：6.6 6.6 数据处理的基本方法数据处理的基本方法 6.6.1 6.6.1 有效数字和数据舍入规则有效数字和数据舍入规则 1 1、有效数字、有效数字 因为测量结果包含误差，测量值就是一个近似数，其有效数字位数应与测量准确度等级是同一量级。例如用0.01mm分辨力的千分尺测量一个长度，测量结果读出值为6.
22、532mm，显然小数点后第二位数字已经是不可靠的，而第三位数字更不可靠，此时保留小数点后第二位数字，即写成 6.53，测量结果为三位有效数字。2 2、数据舍入规则、数据舍入规则 有效位数确定后，其后面多余的数字应舍去，而保留的有效数字最末一位数字应按下面的舍入规则进行凑整：若舍去部分的数值小于保留部分末位的半个单位，则末位不变。若舍去部分的数值小于保留部分末位的半个单位，则末位不变。例如：将下列数据舍入到小数点第二位：1.23481.23（因为0.00480.005）5.624995.62（因为0.004990.005）5.625015.63（因为0.005010.005）若若舍舍去去部部分分
23、的的数数值值等等于于保保留留部部分分末末位位的的半半个个单单位位，则则末末位位凑凑成成偶偶数数，即末位为偶数时不变，末位为奇数时加即末位为偶数时不变，末位为奇数时加1 1。1.23501.24（因为0.0050=0.005，且3为奇数）5.625005.62（因为0.00500=0.005，且2为偶数）5.605005.60（0认为是偶数）3 3、数据运算规则、数据运算规则 1）在加减运算时，各运算数据以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位小数，但最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。2）在乘除运算时，各运算数据应以有效位数最少的数据为准，其余各数据要比有效位数最少的数据位数多
24、取一位数字，而最后结果应与有效位数最少的数据位数相同。3）在平方或开方运算时，平方相当于乘法运算，开方是平方的逆运算，故可以按照乘除法运算处理。4）在对数运算时，n位有效数字的数据应该用n位对数表，或用（n1）位对数表，以免损失精度。5）三角函数运算中，所取函数值的位数应随角度误差的减小而增多。6.6.3 测量数据处理举例测量数据处理举例 为了保证在一定置信概率（置信度）P的前提下，求的满意的测量结果，通常测取的数据个数n由置信概率决定。例如，P=0.95，要取得测量数据20个以上，一般取22 25个；P=0.9973，则对应取得测试数据的个数为n=370或大于370个。在做精密测试实验时，最
25、好有2 3人配合进行，有操作的，有读表记录的，也有作辅助工作的。若由计算机或智能仪器存贮记录数据，也最好有主、辅两位操作人员。这不论从计量测试工作要求上，还是从可靠性、安全规程方面来考虑都是必要的。1 1、等精度测量数据处理、等精度测量数据处理 等精度测量数据处理的内容主要包括：计算被测量的平均值、剩余误差、方差、标准偏差、消除数据中的系统误差和不可信赖值（坏值），求得最后测量结果以及获得经验统计公式，描绘特性曲线等。具体处理步骤要点如下：（1）整理实验数据、列表并求算术平均值 设测量数据个数为n，采样值（即测量值）为xi，求被测未知量的算术平均值：(2)计算剩余误差(3)计算样本的方差和标准
26、差 （4）剔除坏值根据莱以特准则判断不可信赖值，即剔除坏值。凡是符合：的对应测量值，应予剔除。如果无坏值剔除，就可以直接进入第（6）步骤。（5）每次只剔除一个，再重复（2）（4）步骤。重新计算和判别坏值，并计算有效测量数据个数 式中 B为坏值个数。新的平均值：新的剩余误差：新的方差：新的标准差：（6）判别线性累积系统误差和周期性系统误差用（马 利 科 夫）准 则 和 Abbe-Helmert（阿卑赫梅特）判据判别有无线性累积系统误差和周期性系统误差。（7）由测量值（样本）的标准差计算待测量算术平均值的标准偏差 若坏值个数B=0，有下式：若测量数据个数n20，可按正态分布计算测量值的不确定度 与被测未知量算术平均值的不确定度 表示为：或者 通常取K等于1 3，由置信区间和分布特性（正态分布或t分布等）决定。对于精密测量，可取K=3。当 可按t分布或实际的概率分布计算出不确定度。表示最后测量结果：或者