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1、精品文档精品文档勾股定理知识技能和题型归纳（一）知识技能一、本章知识内容归纳1、勾股定理 揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。（1）重视勾股定理的叙述形式：直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积.直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和.从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。（2）定理的作用：已知直角三角形的两边，求第三边。证明三角形中的某些线段的平方关系。作长为n的线段。（利用勾股定理探究长度为,3,2的无理数线段的几何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。）2、勾股定理的
2、逆定理（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。（2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。（3）勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。要注意叙述及书写格式。运用勾股定理的逆定理的步骤如下：首先确定最大的边（如c）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 28 页 -精品文档精品文档验证22ba与2c是否具有相等关系：若222cba，则ABC 是以C 为 90 的直角三角形。若222cba，则ABC 不是直角三角形。补充知识：当222cba时，则是锐角三角形；当222cba时，则是钝角三
3、角形。（4）通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，40，41；以及这些数组的倍数组成的数组。勾股数组的一般规律：丢番图发现的：式子nmnmmnnm(,2,2222的正整数）毕达哥拉斯发现的：122,22,1222nnnnn（1n的整数）柏拉图发现的：1,1,222nnn（1n的整数）3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系（1）注意分清应用条件：勾股定理是由直角得到三条边的关系，勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个角是否为直角。（2）根据课标要求，对原命题、逆命题及命题之间的关系只要求根据例子了解即可，不必专门训练.二、本章解题技能归
4、纳1、直角三角形的性质与判定小结（1）直角三角形的性质：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 28 页 -精品文档精品文档S2S1S3ACB角的关系：直角三角形两锐角互余。边的关系：直角三角形斜边大于直角边。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。边角关系：直角三角形中，30的角所对的直角边等于斜边的一半。双垂图：双垂图中的线段关系。（2）直角三角形的判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。有两个角互余的三角形是直角三角形。两边的平方和等于第三边（最长的边）的平方的三角形是直角三角形。2、已知直角三角形的两边长，会求第三边长设直角
5、三角形的两直角边为a,b,斜边长为 c，由勾股定理知道：222cba。变形得：222222,bacacbbca，因此已知直角三角形的任意两边，利用勾股定理可求出第三条边。3、当直角三角形中含有30与45角时，已知一边，会求其它的边（1）含有 30的直角三角形的三边的比为：1：2:3。（2）含有 45的直角三角形的三边的比为：2:1:1。（3）等边三角形的边长为a，则高为23a，面积为243a。三、阅读与思考“希波克拉底月牙形”（1）如左图：C=90，图中有阴影的三个半圆名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 28 页 -精品文档精品文档CAB的面积 S1,S2,S3有什么
6、关系？答：（2）如图：C=90，ABC 的面积为 20，在 AB 的同侧，分别以AB,BC,AC为直径作三个半圆，则阴影部分（即“希波克拉底月牙形”）的面积为勾股定理知识技能和题型归纳（二）题型一、基础练习（要求熟练掌握）1、在 ABC 中，a,b,c 为三边长.(1)当A=90时，三边关系.(2)当C=90时，三边关系.(3)当222bca时，=90 .2、如图，在Rt ABC 中，C=90，BC=a,AC=b,AB=c.（1）已知 a=5,b=12,则 c=;（2）已知 b=6,c=10,则 a=（3）已知 a=2,c=5,则 b=；（4）已知 a=15,b=20,则 ABC 的周长=；（
7、5）已知 a=2,c=2.5,则ABC 的面积=；（6）已知 a:c=3:5,a+c=32,则 b=;cbaBCA名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 28 页 -精品文档精品文档y144169x14481z576625（7）已知 c=10,a:b=3:4,则 a=,b=，斜边上的高=。3、已知ABC 是直角三角形，AC=3，BC=5，求 AB 的长。4、在ABC 中，C=90，AB=20。（1）若B=45，求BC、AC。（2）若A=60，求BC、AC。5、求下列图中未知数x、y、z 的值：x=;y=;z=;名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共
8、28 页 -精品文档精品文档二、与其它章节知识的联系6、在ABC 的三边cba,，且442222bacbca，判断ABC 的形状。7、若ABC 的三边cba,满足条件cbacba262410338222，判断 ABC 的形状。8、ABC的 三 边cba,，满 足cabba,161210022边 的 长 是55352xxx的解，求ABC 中最大角的度数。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 28 页 -精品文档精品文档9、用本章学过的知识判断直线33xy与331xy的位置关系，说明理由。10、在 B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60方向以每小时 8 海里的速度前进，
9、乙船沿南偏东某个角度以每小时15 海里的速度前进，2 小时后，甲船到M岛，乙船到P 岛，两岛相距34 海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 28 页 -精品文档精品文档11、为美化环境，计划在某小区内用30 平方米的草皮铺设一边长为10 米的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。12、如图，铁路上A、B 两站（视为直线上两点）相距25千米，C、D 为两个村庄（视为两个点），DA AB 于 A，CB AB 于 B，DA=15 千米，CB=10 千米，现要在铁路上建设一个土特产收购站E，使得 C、D 两村到 E 的的距离
10、相等，则E 应建在距A多少千米处？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 28 页 -精品文档精品文档13、在河 L 的同侧有两个仓库A、B 相距 1640 米，其中 A 距河 210 米，B 距河 570米，现要在河岸上建一个货运码头，使得两仓库到码头的路程和最短，问：这个最短路程是多少？码头应建在何处？三、典型数学思想、方法的训练(一)方程思想进行计算14、小明用一根长30 厘米的绳子折成三段，围成一个三角形，他用尺子量了一下，其中一条线段的长度比较短线段长7 厘米，比较长线段短1 厘米，请你帮助小明判断一下，他围成的三角形是直角三角形吗？名师资料总结-精品资料欢迎下
11、载-名师精心整理-第 9 页，共 28 页 -精品文档精品文档15、已知ABC 中，C=90，D、E 分别为 BC、AC 的中点，AD=5，BE=102，求 AB 的长.16、有一个水池，水面是一个边长为10 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1 尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。这个水池的深度与这根芦苇的长度分别为多少？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 28 页 -精品文档精品文档GFEACDB17、如图所示已知：在正方形ABCD 中，BAC 的平分线交BC 于 E，作 EF AC 于 F，作 FG AB 于 G求22
12、FGAB的值(二)构造直角三角形18、已知ABC 中，AB=8，AC=7，BC=6，求ABC 的面积。19、已知ABC 中，B=30，C=45，ABAC=2-2，求 BC 的长。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 28 页 -精品文档精品文档20、已知：如图，ABAC20，BC32，D 为 BC 边上一点，DAC90求BD 的长21、（1）写出三种用“构造斜边长为7的直角三角形的方法”作长为7的线段的方案。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 28 页 -精品文档精品文档ECDA（2）能否通过“构造直角边长为7的直角三角形的方法”来作长为7
13、的线段？若能，写出三角形的三边；若不能，说明理由。（3）在（1）中，作长为7的线段，往往需要先作出其它长为无理数的线段才能求出长为7的线段，对于正整数k，能否通过构造两边均为有理数 的直角三角形求出作长为k的线段？若能，请写出此时三角形三边之间的关系；若不能，请说明理由。(三)勾股定理与变换22、已知矩形ABCD 沿直线 BD 折叠，使点C 落在同一平面内C处，BC与 AD 交名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 28 页 -精品文档精品文档BCDCDAB于点 E，AD=8，AB=4，求 DE 的长。23、（2004年荆州中考）一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发
14、现了勾股定理的一种证明方法。如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到DCAB的位置，连结CC，设cACbBCaAB,，请利用四边形BCC D的面积证明勾股定理。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 28 页 -精品文档精品文档1)()(231221hhhh24、ABC 中,CD 是 AB 边上的中线，AC=8，BC=6，CD=5，判断ABC 的形状。(四)面积法:25、设321,hhh表示三角形的三条高，如果，那么这个三角形是什么三角形？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 28 页 -精品文档精品文档26、证明：直角三角形的斜边与斜边上的高的
15、和大于两直角边之和。27、已知：平面直角坐标系xOy 内，点 A（3 3 0，），B（3 0，），C(0,3)，（1）判断ABC的形状并说明理由；（2）若点 D 的坐标为(3,4)，求BCD中 CD 边上的高h 的值.28.如图，已知直线133xy与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B,以线段 AB 为直角边在第一象限内名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 28 页 -精品文档精品文档作等腰 RtABC,BAC=90O,且 P(1,a)为坐标系中的一个动点.(1)求ABC 的面积ABCS；(2)证明不论a取任何实数，BOP 的面积是一个常数；(3)要使得ABC 和ABP
16、 的面积相等，求实数a 的值.(五)代数计算证明几何问题:29、求证：直 角三角形中两直角边上的中线的平方和的4 倍等于斜边平方的5 倍名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 28 页 -精品文档精品文档DMCABFECDBA30、如图ABC 中，C=90，M 是 CB 的中点，MD AB 于 D，请说明三条线段AD、BD、AC 总能构成一个直角三角形。31、正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 AB 中点，AF=AD41，求证：CE EF.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 28 页 -精品文档精品文档32、（1）已知：如图，CD AB，
17、OAOB，求证：2222BCADBDAC；2222ACBCADBD.（2）运用（1）的结论可以证明下列命题：已知：如图，设M 是 ABC 内部任意一点，ABODC名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 28 页 -精品文档精品文档MD AB 于 G，ME BC 于 K，MF CA 于 H，BD=BE，CE=CF，求证：AD=AF；(六)图形的割、补与拼图33、已知：如图，四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=5，AD=52，B=90，求四边形 ABCD 的面积。第 33 题图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 28 页 -精品文档精品
18、文档34、一块四边形的草地ABCD,其中A=60,B=D=90 ,AB=20 m,CD=10 m,求这块草地的面积.35、有十字形，它由五个全等的正方形组成，如图所示，你能把它切成三块，拼成一个长是宽的2 倍的长方形吗？（先计算，再拼图）备用图：第 34 题图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 21 页，共 28 页 -精品文档精品文档36、现有一张长为6.5，宽为 2 的纸片，请你将它分割成6 块，再合并成一个正方形，要求先画出分割线，再拼成正方形并证明你的方法的正确性。(七)运动、开放与探究37、在ABC中，设,cBAbACaBC当C=90 时，根据勾股定理有222cba；若
19、ABC不是直角三角形，请你类比勾股定理，试猜想22ba与2c的关系，并证明你的结论。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 22 页，共 28 页 -精品文档精品文档QMCBAP38、如图，M 是 Rt ABC 斜边 AB 的中点，P、Q 分别在 AC、BC 上，PMMQ，判断PQAPBQ、与的数量关系并证明你的结论.39、ABC 中，AB=AC=4，点 P 在 BC 边上运动，猜想2APPB PC的值是否随点 P 位置的变化而变化，并证明你的猜想.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 23 页，共 28 页 -精品文档精品文档40、已知：矩形ABCD（四个角是直角）为矩
20、形内一点（如图a），求证:2222PDPBPCPA;探索 P 运动到 AD 边上(如图 b）、矩形 ABCD 外(如图 c）时，结论是否仍然成立名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 24 页，共 28 页 -精品文档精品文档41、探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5）（5，12，13）（7，24，25）（9，40，41），可 发 现：2223151714,1 2,2 4222，请 你 写 出 第k个 数名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 25 页，共 28 页 -精品文档精品文档P P P P 组：.四、格点问题(中考出现的较热门的新题型)42（2007 金华中考）如图，在由24 个边长都为1 的小正三角形的网格中，点P是正六边形的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的直角三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长备用图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 26 页，共 28 页 -精品文档精品文档P P 43 在大小为 4 4 的正方形方格中，三个顶点都在单位小正方形的顶点上的直角三角形共有多少个？（全等的三角形只算一个）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 27 页，共 28 页 -精品文档精品文档备用图：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 28 页，共 28 页 -