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1、第七章 特征值与特征向量的数值求法第第7章章 矩阵特征值问题的数值解法矩阵特征值问题的数值解法教学目的教学目的 1. 1. 掌握求矩阵特征值与特征向量的幂法及反幂法；掌握求矩阵特征值与特征向量的幂法及反幂法； 2. 2. 掌握求矩阵特征值的掌握求矩阵特征值的QRQR方法。方法。教学重点及难点教学重点及难点 重点重点是求矩阵特征值与特征向量的幂法及是求矩阵特征值与特征向量的幂法及反幂法求矩阵特征值的反幂法求矩阵特征值的QRQR方法；方法； 难点难点是求矩阵特征值的带原点位移的是求矩阵特征值的带原点位移的QRQR方法。方法。第七章 特征值与特征向量的数值求法7.1 特征值问题的性质与估计特征值问题
2、的性质与估计第七章 特征值与特征向量的数值求法第第7章章 矩阵特征值问题的数值解法矩阵特征值问题的数值解法使及非零向量特征值问题是求或对于矩阵,),(*xCCRAnnnnxAx方上述方程是一个非线性的特征向量为对应于的特征值为矩阵称.,xA0.)det(111nnnncccAIx）（的充要条件是程组，它有非零解。个根，包括重根和复根有）（）为特征多项式。方程（称n0向量的计算。例如，中会遇到特征值和特征在很多科学与工程问题，满足（和非零函数题可描述为：求弹性薄膜的固有振动问), yxu。),( ,0,),( ,)(yxuyxuuuyyxx第七章 特征值与特征向量的数值求法hyxyxyx的边界。
3、若取为（为了简单，取,1,1:),题可得下列矩阵特征值问数，按自然次序离散化以二阶均差代替二阶导,25. 0,12uBuh分数矩阵和求解向量章首先叙述的实例中的分别与第和向量其中矩阵5uB的）遇到类似的（或更复杂和结构振动等问题也会相同。在电磁学、机械重要的意义。，所以特征值的计算有固有值、临界值等问题的根，而且有的问题）（次运算准确求解方程因为一般不能通过有限0.,方法通常采用迭代法因此特征值问题的数值特征向量只需要求部分特征值和第七章 特征值与特征向量的数值求法7.1 特征值问题的性质与估计特征值问题的性质与估计则有的特征值是设定理,),.,2, 1(,)(1 .7*AniRaAinnij
4、)det()1(1Aini.),()2(11的迹称之为 AAtraiiniiniACaAGershgorinnnij则设矩阵圆盘定理定理,)()(2.7*的每一个特征值,1iniDu:个圆盘为第其中iDi。niaazzDijnijjiii,.,2, 1,:, 1第七章 特征值与特征向量的数值求法即为对应的特征向量的任意一个特征值为设证,0,:xA。0)(xAI, 0,max,),.,(21ikiTnxxxxxxx则记。jijnijjiiixaxa, 1)(有由于),( 1/ijxxij./ijijijijijiiaxxaa.定理得证属于说明iD 从定理的证明可见从定理的证明可见,如果一个特征向
5、量的第如果一个特征向量的第i个分量按模最大个分量按模最大,则对应则对应的特征值一定属于第的特征值一定属于第i个圆盘中个圆盘中.利用定理利用定理7.2,我们可以由我们可以由A的元素估计的元素估计特征值的范围特征值的范围.A的的n个特征值均落在个特征值均落在n个圆盘上个圆盘上,但不一定每个圆盘都有但不一定每个圆盘都有一个特征值一个特征值.第七章 特征值与特征向量的数值求法称对于任一非零向量阶实对称矩阵为设定义,:1 . 7xnA),(),()(xxxAxxR为对应于向量为对应于向量x的的Rayleigh商商.。有对任何非零向量)()(min) 3()()(max)2()(,) 1 (01011nR
6、xnRxnnxRxRxRxRxRRxnn定理定理7.3 设设A为为n阶实对称矩阵阶实对称矩阵,其特征值都为实数其特征值都为实数,排列为排列为,.21n则有组成正交向量组对应的特征向量,.,21nxxx第七章 特征值与特征向量的数值求法，则则有有表表达达式式证证：设设0 x,1iinixx,0),(21inixx。2112121),(iniiiniininxAx由此可见由此可见,(1)成立成立,(2)和和(3)是显然的是显然的.定理得证定理得证.,*组组征征向向量量也也构构成成正正交交向向量量其其特特征征值值都都是是实实数数，特特阵阵”，即即为为应应改改为为为为对对称称阵阵但但应应注注意意亦亦有有类类似似性性质质对对于于复复矩矩阵阵AAHermiteAACAHnn