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1、关于直线的方向向量与法向量现在学习的是第1页，共18页为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我们要为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我们要用向量来表示直线和平面的用向量来表示直线和平面的“方向方向”。那么如何用向。那么如何用向量来刻画直线和平面的量来刻画直线和平面的“方向方向”呢？呢？一、直线的方向向量一、直线的方向向量e ABle 直线直线l上的向量上的向量 以及与以及与 共线共线的向量叫做直线的向量叫做直线l的的方向向量方向向量。e e 现在学习的是第2页，共18页由于垂直于同一平面的直线是互相平行的由于垂直于同一平面的直线是互相平行的,所以，可以用垂所以，可以用垂直于平面的直线的
2、方向向量来刻画平面的直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向方向”。二、平面的法向量二、平面的法向量平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向线段所在直线垂的有向线段所在直线垂直于平面直于平面 ，则称这个向量垂直于平面，则称这个向量垂直于平面 ,记作记作 ，如果如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做平面叫做平面 的的法向量法向量.n n n n An l 给定一点给定一点A和一个向量和一个向量 ,那么过点那么过点A,以向量以向量 为法向量的平面是完全确定的为法向量的平面是完全确定的.n n 几点注意几点注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法
3、向量都互相平行一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向量是平面的法向量，向量 是是 与平面平行或在平面内，则有与平面平行或在平面内，则有0n m n m 现在学习的是第3页，共18页现在学习的是第4页，共18页由两个三元一次方程组由两个三元一次方程组成的方程组的解是不惟成的方程组的解是不惟一的，为方便起见，取一的，为方便起见，取z=1z=1较合理。其实平面的法较合理。其实平面的法向量不是惟一的。向量不是惟一的。(2,2,1),(4,5,3),ABACABC 例2：已知求平面的 单位法向量。nxyz解：设平面的法向量为（，），(2,2,1)0(4,5,3)0,nABnAC
4、xyzxyz 则，（，），（，）220,4530 xyzxyz即1121xzy 取，得1(,1,1),2n3|2n 12 2(-33 3ABC求平面的单位法向量为，）现在学习的是第5页，共18页问题：如何求平面的法向量？),()1(zyxn 设出平面的法向量为),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的111222(3),0000 x y za xb yc zn an ba xb yc z 根根据据法法向向量量的的定定义义建建立立关关于于的的方方程程组组个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(平面的法向量平面的法向量不惟一，合理不惟一，合理取值即
5、可。取值即可。现在学习的是第6页，共18页现在学习的是第7页，共18页l1l21e 2e 三、平行关系：三、平行关系：现在学习的是第8页，共18页 l11n 1e 111222(,),(,),lea b cna b c设直线 的方向向量为平面 的法向量为则121 21 2/00;lena abbc c现在学习的是第9页，共18页1n 1 2 2n 面面面面平平行行 三、平行关系：三、平行关系：现在学习的是第10页，共18页ABCDADEFNM,AEBD,11,33BMBD ANAE ，/MNCDE平平面面例例4 4 如图，已知矩形如图，已知矩形和矩形和矩形所在平面互相垂直，点所在平面互相垂直，
6、点分别在对角线分别在对角线上，且上，且求证：求证：ABCDEFxyzMN现在学习的是第11页，共18页l11e l22e 四、垂直关系：四、垂直关系：现在学习的是第12页，共18页11l 1n 1111/enen l1e 111222222,0,/abca b cenabc当时111222(,),(,),ea b cna b c若则121212/,.lenenaa bb cc现在学习的是第13页，共18页1n 1 2 2n 12 12110nnnn 现在学习的是第14页，共18页A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中点，求证：中点，求证：D1F1111DCBAABCD 例例5.5.在正方体在
7、正方体中，中，E、F分别是分别是BB1,1,，平面平面ADE 证明：设正方体棱长为证明：设正方体棱长为1，建立如图所示坐标系建立如图所示坐标系，则则1(1,0,0)(1,1,)2DADE ，11(0,1)2D F 又又因因为为00n DAn DE 则则由由，得得 所以所以1D FADE 平平面面ADEnxyz 设设平平面面的的一一个个法法向向量量为为=(，)000102xxyz 12xyz 则则=0 0，不不妨妨取取，得得01-2n 所所以以=(，)/1D F n 所所以以现在学习的是第15页，共18页巩固性训练11.设设 分别是直线分别是直线l1,l2的方向向量的方向向量,根据下根据下 列条件列条件,判断判断l1,l2的位置关系的位置关系.ba,)3,0,0(),1,0,0()3()2,3,2(),2,2,1()2()6,3,6(),2,1,2()1(bababa平行平行垂直垂直平行平行现在学习的是第16页，共18页巩固性训练21.设设 分别是平面分别是平面,的法向量的法向量,根据根据 下列条件下列条件,判断判断,的位置关系的位置关系.vu,)4,1,3(),5,3,2()3()4,4,2(),2,2,1()2()4,4,6(),5,2,2()1(vuvuvu垂直垂直平行平行相交相交现在学习的是第17页，共18页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第18页，共18页