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1、空间直线的方向向量和平面的法向量为了用向量的方法研究空间的线面位置关系，我们为了用向量的方法研究空间的线面位置关系，我们首先要知道如何用向量来刻画直线和平面的首先要知道如何用向量来刻画直线和平面的“方向方向”呢？呢？1、直线的方向向量、直线的方向向量直线直线 上的非零向量上的非零向量 以及与以及与 共线的非零向量叫做直共线的非零向量叫做直线线 的方向向量的方向向量 给定一点给定一点A和一个向量和一个向量 ,那么那么过点过点A,以向量以向量 为法向量的平面是为法向量的平面是完全确定的完全确定的.A平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向线段所在的有向线段所在直线垂直于平面直线
2、垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面，则称这个向量垂直于平面 ,记作记作 ，如果，如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做叫做平面平面 的的法向量法向量.几点注意：几点注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互一个平面的所有法向量都互相平行相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向是平面的法向量，向量量 是与平面平行或在平面是与平面平行或在平面内，则有内，则有l2问题探讨问题探讨1、已知（、已知（1，1，-1），（），（2，3，1），则直线），则直线 的一的一个方向向量是个方向向量是 ；变形：直线的模为变形：直线的模为1的方向向量是的方向向量是 。2、已知非零
3、向量、及平面，若向量是平、已知非零向量、及平面，若向量是平面的法向量，则是向量所在直面的法向量，则是向量所在直线平行于或在内的（）线平行于或在内的（）充分必要条件充分不必要条件充分必要条件充分不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件A3、在正方体中，在正方体中，求证：是平面的法向量求证：是平面的法向量 B1 C1 C A BED1D A1xy证明：建立如图所示的空间直角坐标系，证明：建立如图所示的空间直角坐标系，变形：已知四棱锥变形：已知四棱锥 的底面是直角梯形，的底面是直角梯形，求平面求平面 的一个法向量的一个法向量 。解：如图，建立空间直角坐标系，点解
4、：如图，建立空间直角坐标系，点A作坐标原点，分别作坐标原点，分别 沿向量沿向量 的方向为的方向为 轴轴 轴轴 轴轴则则 设平面设平面 的法向量为的法向量为 则则 同理同理取取x=1得：得：zyx4、在空间直角坐标系内，设平面、在空间直角坐标系内，设平面 经过点经过点 ，平，平面面 的法向量为的法向量为 ，是平面是平面 内任意内任意一点，求一点，求 满足的关系式。满足的关系式。解：由题意得解：由题意得因为因为 是平面的法向量，所以是平面的法向量，所以 从而从而 即即 所以满足条件的关系式为：所以满足条件的关系式为：得到得到 平面可以平面可以用关于用关于x,y,z的三的三元一次方元一次方程来表示程
5、来表示三个基础命题n基础命题基础命题1:两条直线平行或重合的充要条件两条直线平行或重合的充要条件是它们的方向向量互相平行是它们的方向向量互相平行.n基础命题基础命题2:一条直线与一个平面平行或在一一条直线与一个平面平行或在一个平面内的充要条件是这条直线的方向向个平面内的充要条件是这条直线的方向向量垂直于该平面的法向量量垂直于该平面的法向量.n基础命题基础命题3:两个平面平行或重合的充要条件两个平面平行或重合的充要条件是它们的法向量互相平行是它们的法向量互相平行.空间向量的应用空间向量的应用-求点到平面的距离求点到平面的距离回顾定义：一点到它在一个平面内的正回顾定义：一点到它在一个平面内的正射影
6、的距离叫做射影的距离叫做点到平面的距离点到平面的距离。即过。即过这个点到平面垂线段的长度。这个点到平面垂线段的长度。一般方法一般方法：利用定义：利用定义先做出过这个点到平先做出过这个点到平面的垂线段，再计算面的垂线段，再计算这个垂线段的长度。这个垂线段的长度。PBA向量法向量法：PA如如图图，已知点，已知点P（x0,y0,z0）,A（x1,y1,z1），平面），平面一个法向量一个法向量。，其中，其中，例例1、已知正方形、已知正方形ABCD的边长为的边长为4，CG平面平面ABCDABCD，CG=2,ECG=2,E、F F分别是分别是ABAB、ADAD的中点，求点的中点，求点B B到平面到平面GE
7、FGEF的距离。的距离。DABCGFExyz练习练习:SBCDAxyz空间向量的应用空间向量的应用-求异面直线所成的角求异面直线所成的角设异面直线设异面直线 所成的角为所成的角为 ,方向向量的方向向量的夹角为夹角为例题：xyz四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施直线的方向向量为直线的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为 空间向量的应用空间向量的应用-求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角设直线与平面所成的角为设直线与平面所成的角为 ,直线的方向向量与平面直线的方向向量与平面的法向量的夹角为的法向量的夹角为例题：在长方体在长方体 中，中，练习：的棱长为的棱长为1.正方体正方体问
8、题：问题：求直线和平面所成的角求直线和平面所成的角可可转化成直线的方向向量与转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，平面的法向量的夹角，那么那么二面角的大小与两个半二面角的大小与两个半平面的法向量有平面的法向量有没有没有关系？关系？l空间向量的应用空间向量的应用-求二面角求二面角 设二面角的大小为设二面角的大小为 ,两个平面的法向两个平面的法向量的夹角为量的夹角为四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 设二面角的大小为设二面角的大小为 ,两个平面的法向两个平面的法向量的夹角为量的夹角为 结论结论:当法向量当法向量1n，2n一个指向二面角内，另一个指向二面角外时，一个指向二面角内，另一
9、个指向二面角外时，二面角的大小二面角的大小；当法向量当法向量1n，2n同时指向二面角内或二面角外时，同时指向二面角内或二面角外时，二面角的大小二面角的大小 已知已知ABCD 是直角梯形是直角梯形,DAB=ABC=90,SA平面平面ABCD，SA=AB=BC=1，求平面求平面SAB与与SCD 所成二面角的余弦值所成二面角的余弦值 例题四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施正方体正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为2，点，点Q是是BC的中点，求二面角的中点，求二面角ADQA1的余弦值的余弦值 巩固练习巩固练习1：如图所示如图所示，正方体正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为棱长为1 ，试求二面角试求二面角A1BDC1的余弦值的余弦值 巩固练习巩固练习2：