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1、 线性方程组的解法及其应用The solution of linear equation and its application 专业：测控技术与仪器班级：2010-1班作者：刘颖学号：20100310110105 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 23 页 -摘要线性方程组是线性代数的一个重要组成部分，也在现实生产生活中有着广泛的运用，在电子工程、软件开发、人员管理、交通运输等领域都起着重要的作用。在一些学科领域的研究中，线性方程组也有着不可撼动的辅助性作用，在实验和调查后期利用线性方程组对大量的数据进行处理是很方便简捷的选择。本文主要围绕如何解线性方程组来进行讲
2、解，对于不同类型的线性方程组的不同方法，并简述线性方程组的一些实际应用。关键词：齐次线性方程组，非齐次线性方程组，克莱姆法则，消元法，矩阵，矩阵的秩，特解，通解。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 23 页 -Abstract Linear equations linear algebra is one of the important component parts,and in real life has extensive production use，and it plays an important role in electronic engineerin
3、g,software development,personnel management,transportation,etc.In some discipline study,it also has the reigns of linear equations of the auxiliary function.In experiment and survey using the linear equations of the late on the data processing is very convenient simple choice.This article,focusing o
4、n how to solve linear equations to explain,for different types of linear equations of different methods,and briefly introduces some of the practical application of linear equations.Keywords:Homogeneous linear equations,Non homogeneous linear equation,Clem s law,Elimination method,Matrix,Rank of matr
5、ix,Special solution,General solution.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 23 页 -1.线性方程组的定义小学的时候，我们就已经学过方程，并解过一些简单方程，例如形如cbax的一元一次方程，形如dcbxax2的一元二次方程等等。到了中学，又学习了形如222211cybxacybxa的二元一次方程组。这些都可以称为简单的线性方程组。1.1 一般线性方程组根据上述，所谓一般线性方程组是指形如.,22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa（1.1）的方程组，其中nxxx,21代表
6、 n 个未知量，m是该方程组所包含的方程的个数，),2,1;,2,1(njmiaij称为方程组的系数，),2,1(mjbj称为常数项。常数项一般写在等式的右边，一个方程组完全由常数项与系数所确定。1.2 齐次线性方程组所谓齐次线性方程组是指对于一般线性方程组而言，常数项全为零。即齐次线性方程组是指形如名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 23 页 -.0,0,0221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa（1.2）的方程组。1.3 非齐次线性方程组所谓非齐次线性方程组是指对于一般线性方程组而言，常数项不全为零。2.用克莱姆法
7、则求解线性方程组利用克莱姆法则求解线性方程组时需要具备两个条件：线性方程组的方程个数必须与未知量的个数相等，（1）线性方程组的系数列行列式不等于零。2.1 克莱姆法则设含有n个未知数的线性方程组.,22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa（2.1）的系数行列式名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 23 页 -nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112110，（2.2）则该线性方程组有解，且只有唯一解，其解可以表示为DDxDDxDDxnn,2211.其中Dj(j=1,2，,，n)是把系数行列式 D中第
8、j 列的元素用常数项nbbb,21代替后所得到的 n阶行列式，即nnjnnjnnnjjnjjjaabaaaabaaaabaaD1,1,121,221,22111,111,111.（2.3）2.2 克莱姆法则的证明用ijA乘以第i个方程,得ijinijinjijijijiAbxAaxAaxAa11,ni,2,1,那么可以得到niijinniijinjniijijniijiAbxAaxAaxAa111111,（注意：上式中只有jx的系数不为零，其余各项系数全为零.）于是jjDDx.又由于0D,所以DDxjj,nj,2,1.另证：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 23 页
9、 -nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211111111iiinnnnnnbaabaaobaa加 行 加 列(1,2)in121311421122330+(1)(1)(1)+iiiib DaDaDaD1(1)1(1)(1)nninnaD11220iiiinnb DaDaDaD1122iiiinnb Da DaDaD由于0D,所以1212niiiinDDDbaaaDDD，故iiDxD（1,2,in）；Axb有解且解唯一.2.3 克莱姆法则在线性方程组中的应用（1）用克莱姆法则解方程组12341242341234258,369,225,4760 xxxxxxxxxxxxxx.解：6
10、741212060311512D21242075131306021207712rrrr175132127712c展 开212232353010772cccc233270,72r展 开名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 23 页 -故线性方程组有解。,8167402125603915181D,10867012150609115822D,2760412520693118123D,2707415120903185124D,3278111DDx,42710822DDx,1272733DDx.1272744DDx（2）设曲线230123yaa xa xa x通过四点（1，3）、
11、（2，4）、（3，3）、（4，3），求系数0123,aaaa.解：将四点的坐标代入曲线方程，得线性方程组01230123012301233248439273416643aaaaaaaaaaaaaaaa，其系数行列式1111124812013927141664D.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 23 页 -又12311113114248144836,18,3392713927341664131664DD34113111131248124424,61332713931436414163DD.由克莱姆法则得方程组有惟一解。得0123313,2,22aaaa.以上为本文对
12、克莱姆法则的简述。综上所述，可知用克莱姆法则解n 个未知量、n 个方程的线性方程组，需要计算 n+1 个 n 阶行列式，计算量相当大。所以在实际问题中，超过四个未知数的线性方程组一般不采用克莱姆法则求解，通常是才用一下介绍的方法。尽管如此，克莱姆法则在理论上仍然是相当重要的，因为它清楚地告诉我们，当方程组（2.1）的系数行列式不等于零时，方程组（2.1）有唯一解，又从求解公式中可以看到方程组（2.1）的解与它们的系数、常数项的依赖关系，而且以后将会看到，克莱姆法则还可以用于一般线性方程组的研究和讨论。所以对克莱姆法则的条件、结论及其求解公式必须正确掌握和运用。3.利用消元法求解线性方程组消元法
13、是求解线性方程组的最直接、最有效、最一般的方法，它的基本思想是利用方程组中方程之间的算术运算，每次保留一个方程，消去其他方程的某一个未知量，这样一步步做下去，最后得到一个阶梯形方程组，然后通过解这个比较容易求解的阶梯形方程组而获得原方程组的解。3.1 线性方程组的矩阵设含有n个未知数的线性方程组名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 23 页 -.,22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa（3.1）该方程组的矩阵表示形式为：AX=B 其中A=mnmmnnaaaaaaaaa212222111211，X=nxxx2
14、1，B=nbbb21.称 A为方程组（3.1）的系数矩阵，X为未知矩阵，B为常数矩阵。将系数矩阵 A和常数矩阵 B放在一起构成的矩阵BA=mmnmmnnbbbaaaaaaaaa21212222111211（3.2）称为方程组（3.1）的增广矩阵。3.2 消元法若用初等行变换将增广矩阵BA化为DC，则 AX=B与 CX=D是同解方程组。可以利用初等行变换将其增广矩阵BA化简，将BA化成阶梯形矩阵。用初等行变换将方程组（3.1）的增广矩阵BA化成阶梯形矩阵，再写出该阶梯形矩阵所对应的方程组，逐步回代，求出方程组的解。因为它们为同解方程组，所以也就得到了原方程组（3.1）的解。这种方法被称为消元法。
15、名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 23 页 -证明：存在初等矩阵kppp,21，使DCBApppk12.记ppppk12，则p可逆，即1p存在。设1x为方程组 A X=B 的解，即 A1x=B .在上式两边左乘 P，得 P A1x=PB ,即 C1x=D 说明1x也是方程组 C X=D 的解。反之，设2x为方程组 C X=D 的解，即 C2x=D.在上式两边左乘1p，得DpCxp121,即 A2x=B.说明2x也是方程组 AX=B 的解。因此，方程组 A X=B 与 C X=D 的解相同，即它们是同解方程组。3.3 消元法的步骤及应用（1）解线性方程组xxxxxx
16、xxxxxxxxxx1234123412341234215320342221 .（3.3）解:先写出增广矩阵BA，再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即BA=11122241130235111211()()13213340577401114011211名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 23 页 -()122200666001114011211()1300000666001114011211上述四个增广矩阵所表示的四个线性方程组是同解方程组，最后一个增广矩阵表示的线性方程组为xxxxxxxxx1234234342141666将最后一个方程乘16，再将x4项移至等号
17、的右端，得xx341.将其代入第二个方程，解得212x.再将xx23,代入第一个方程组，解得2141xx.因此，方程组（3.3）的解为1212143241xxxxx.（3.4）其中x4可以任意取值。由于未知量x4的取值是任意实数，故方程组（3.3）的解有无穷多个。由此可知，表示式（3.4）表示了方程组（3.3）的所有解。表示式（3.4）中等号右端的未知量x4称为自由未知量，用自由未知量表示其它未知量的表示式（3.4）称为方程组（3.3）的一般解，当表示式（3.4）中的未知量x4取定一个值（如x4=1），得到方程组（3.3）的一个解（如x112，x212，x30，x41），称之为方程组（3.3）
18、的特解。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 23 页 -注意，自由未知量的选取不是唯一的，如例1 也可以将x3取作自由未知量。如果将表示式（3.4）中的自由未知量x4取一任意常数 k，即令x4=k，那么方程组（3.3）的一般解为kxkxxkx432112121，其中 k 为任意常数。用矩阵形式表示为0121211101121214321kkkkxxxx（3.5）其中 k 为任意常数。称表示式（3.5）为方程组（3.3）的全部解。用消元法解线性方程组的过程中，当增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵后，要写出相应的方程组，然后再用回代的方法求出解。如果用矩阵将回代的过程
19、表示出来，我们可以发现，这个过程实际上就是对阶梯形矩阵进一步简化，使其最终化成一个特殊的矩阵，从这个特殊矩阵中，就可以直接解出或“读出”方程组的解。例如，对(1)中的阶梯形矩阵进一步化简，0000066600111401121116200000111002004011011名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 23 页 -141()0000011100210010211001.上述矩阵对应的方程组为1212143241xxxxx将此方程组中含x4的项移到等号的右端，就得到原方程组（3.3）的一般解，1212143241xxxxx（3.4）其中x4可以任意取值。(2)解
20、线性方程组xxxxxxxxxxxx123123123123234235743992588解:利用初等行变换，将方程组的增广矩阵BA化成阶梯阵，再求解。即BA=88529934753243210210735011104321名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 23 页 -1100220011104321000011001110432100001100201070210000110020103001一般解为xxx123321 .4.线性方程组解的结构4.1 齐次线性方程组解的结构（1）齐次线性方程组的矩阵形式为：AX=O axaxaxaxaxaxaxaxaxnnnnmm
21、mnn111122121122221122000解的情况可以归纳为：1齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是rA()=n。2齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是rA()n。注意：当 A为 n 阶方阵时也可利用矩阵行列式A判断。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 23 页 -3当rA()=rn时，方程组 AX=O有 n-r 个自由未知量。（2）齐次线性方程组AX=O解的性质：性质 1 若1X和2X为齐次线性方程组AX=O的解，则1X+2X亦为 AX=O的解。性质 2 若1X为齐次线性方程组AX=O的解，则 k1X亦为 AX=O的解，其中 k 为任意常数。由性质 1，
22、2 可知，若1X，2X，,，sX为方程组 AX=O的解，则11Xk+22Xk+,+ssXk亦为 AX=O的解，其中skkk,21为任意常数。若1X，2X，,，sX线性无关，且方程组AX=O的任何一个解 X都可以被1X，2X，,，sX线性表出，则 AX=O的全部解就是11Xk+22Xk+,+ssXk.其中skkk,21为任意常数。(3)齐次线性方程组 AX=O满足下列两个条件的一组解向量，称为AX=O的基础解系：线性无关方程组AX=O的任何一个解都可以用它们线性表出。则方程组 AX=O的基础解系就是其全部解向量的一个极大无关组。当rA()=n 时，方程组 AX=O只有零解，故不存在基础解系；而当
23、rA()=r(n)时，方程组 AX=O有非零解，故存在基础解系，且基础解系中所含解向量的个数是 n-r。由此可得如下结论：当rA()=r n 时，方程组 AX=O一定有基础解系，且每个基础解系中含有n-r 个解向量。若1X，2X，,，rnX为基础解系，则 AX=O的全部解为11Xk+22Xk+,+rnrnXk，其中skkk,21为任意常数。称为 AX=O的通解。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 23 页 -如何求方程组 AX=O的基础解系呢？把齐次线性方程组的系数写成矩阵A；用初等行变换把A化为阶梯阵；把阶梯阵中非主元列所对应的变量作为自由未知量分别令自由未知量中
24、一个为1 其余全部为 0 的办法，求出 n-r 个解向量，这n-r 个解向量构成了基础解系。（4）例：设齐次线性方程组033450623032305432154325432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx，求其基础解系和通解。解：先写出系数矩阵 A，再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即A =13345623103112311111)5()3(62210623106221011111)1(00000001006221011111再进一步化简，得2)1(00000001006201011011)1(00000001006201051001名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精
25、心整理-第 17 页，共 23 页 -由此可知54,xx为自由未知量。令14x，05x，得解向量010211X；令04x，15x，得解向量100652X；于是 1X，2X 为方程组的基础解系。通解为11Xk+22Xk，其中21,kk为任意常数。4.2 非齐次方程组解的结构（1）非齐次方程组的矩阵表示形式为：AX=Baxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbnnnnmmmnnm11112211211222221122非齐次线性方程组AX=B的解的情况可以归纳为：方程组 AX=B有解的充分必要条件是BAr=rA()。若BAr=rA()=n时，方程组 AX=B有唯一解。若BAr=rA()=rn时，方
26、程组 AX=B有无穷多解，且有n-r 个自由未知量。（2）在非齐次线性方程组AX=B中，令 B=O，得到相应的齐次方程组AX=O。方程组 AX=B与相应的 AX=O 之间有密切的关系，满足如下性质：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 23 页 -若1X和2X为非齐次线性方程组AX=B的解，则1X-2X必为 AX=O的解。若0X为非齐次线性方程组AX=B的解，X为相应的方程组 AX=O的解，则0X+X必为 AX=B的解。5.线性方程组解的判定根据上述可知线性方程组的解的情况有三种：无穷多解、唯一解和无解。从求解过程可以看出，方程组（3.1）是否有解，关键在于增广矩阵
27、AB 化成阶梯非零行的行数与系数矩阵A化成阶梯形矩阵后非零行的行数是否相等。因此，线性方程组是否有解，就可以用其系数矩阵和增广矩阵的秩来描述了。5.1 解的判定方法线性方程组（3.1）有解的充分必要是rA()=rAB()。推论 1线性方程组有唯一解的充分必要条件是rA()rAB()=n。推论 2线性方程组有无穷多解的充分必要条件是rA()rAB()n。5.2 判定方法的应用判别下列方程组是否有解？若有解，是有唯一解还是有无穷多解？(1)xxxxxxxxxxxx12312312312323117236324(2)xxxxxxxxxxxx123123123123231127236325(3)xxx
28、xxxxxxxxx12312312312323117236325解：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 23 页 -(1)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即AB=42136132711111321297702877042101132110000700421011321因为rAB()=4，rA()=3，两者不等，所以方程组无解。(2)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即AB=52136132721111321,00000000411011321因为rAB()=rA()=2n（=3），所以方程组有无穷多解。(3)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即 AB=5213
29、6132711111321,00000700421011321因为rAB()=rA()=3=n，所以方程组有唯一解。6.线性代数的实际意义61 如果你想顺利地拿到学位，线性代数的学分对你有帮助。6.2 如果你想继续深造，考研，必须学好线代。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 23 页 -因为它是必考的数学科目，也是研究生科目矩阵论、泛函分析的基础。例如，泛函分析的起点就是无穷多个未知量的无穷多线性方程组理论。6.3 如果你想提高自己的科研能力，不被现代科技发展潮流所抛弃，也必须学好。要是没有线性代数，任何数学和初等教程都讲不下去。按照现行的国际标准，线性代数是通过公
30、理化来表述的。它是第二代数学模型，其根源来自于欧几里得几何、解析几何以及线性方程组理论、,，如果不熟悉线性代数的概念，像线性性质、向量、线性空间、矩阵等等。要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多，甚至可能学习社会科学也是如此。6.4 如果毕业后想找个好工作，也必须学好线代。（1）想搞数学：当个数学家。恭喜你，你的职业未来将是最光明的。如果到美国打工的话你可以找到最好的职业。（2）想搞电子工程：电路分析、线性信号系统分析、数字滤波器分析设计等需要线代，因为线代就是研究线性网络的主要工具；进行IC 集成电路设计时，对付数百万个集体管的仿真软件就需要依赖线性方程组的方法；想搞光电及射频工程，好，电
31、磁场、光波导分析都是向量场的分析，比如光调制器分析研制需要张量矩阵，手机信号处理等等也离不开矩阵运算。（3）想搞软件工程：3D游戏的数学基础就是以图形的矩阵运算为基础；当然，如果你只想玩 3D游戏可以不必掌握线代；想搞图像处理，大量的图像数据处理更离不开矩阵这个强大的工具，阿凡达 中大量的后期电脑制作没有线代的数学工具简直难以想象。（4）想搞经济研究：知道列昂惕夫（Wassily Leontief）吗？哈佛大学教授，1949年用计算机计算出了由美国统计局的25 万条经济数据所组成的42 个未知数的 42 个方程的方程组，他打开了研究经济数学模型的新时代的大门。这些模型通常都是线性的，也就是说，
32、它们是用线性方程组来描述的，被称为列昂惕夫“投入-产出”模型。列昂惕夫因此获得了1973年的诺贝尔经济学奖。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 21 页，共 23 页 -（5）相当领导：要会运筹学，运筹学的一个重要议题是线性规划。许多重要的管理决策是在线性规划模型的基础上做出的。线性规划的知识就是线代的知识啊。比如，航空运输业就使用线性规划来调度航班，监视飞行及机场的维护运作等；又如，你作为一个大商场的老板，线性规划可以帮助你合理的安排各种商品的进货，以达到最大利润。（6）对于其他工程领域，没有用不上线代的地方。如搞建筑工程，那么奥运场馆鸟巢的受力分析需要线代的工具；石油勘探，勘
33、探设备获得的大量数据所满足的几千个方程组需要线代知识来解决；飞行器设计，就要研究飞机表面的气流的过程包含反复求解大型的线性方程组；做餐饮业，对于构造一份有营养的减肥食谱也需要解线性方程组；知道有限元方法吗？这个工程分析中十分有效的有限元方法，其基础就是求解线性方程组。知道马尔科夫链吗？这个“链子”神通广大，在许多学科如生物学、商业、化学、工程学及物理学等领域中被用来做数学模型，实际上马尔科夫链是由一个随机变量矩阵所决定的一个概率向量序列。（7）矩阵的特征值和特征向量可以用在研究物理、化学领域的微分方程、连续的或离散的动力系统中，甚至数学生态学家用以在预测原始森林遭到何种程度的砍伐会造成猫头鹰的
34、种群灭亡；大名鼎鼎的最小二乘算法广泛应用在各个工程领域里被用来把实验中得到的大量测量数据来拟合到一个理想的直线或曲线上，最小二乘拟合算法实质就是超定线性方程组的求解；二次型常常出现在线性代数在工程（标准设计及优化）和信号处理（输出的噪声功率）的应用中，他们也常常出现在物理学（例如势能和动能）、微分几何（例如曲面的法曲率）、经济学（例如效用函数）和统计学（例如置信椭圆体）中。结束语:通过撰写本文,让我对线性方程组有了一个全面的了解。要求解一个线性方程组需要涉及非常多方面的线性代数知识，如矩阵、行列式等，也可以说，求解一个线性方程组的过程就是一个将所学的线性代数的基础知识融会贯通的过程。同时，我还
35、了解到了线性代数在实际应用当中的重要作用，也更明白了要学好线性代数的重要性。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 22 页，共 23 页 -参考文献1刘二根，谢霖铨.线性代数.江西:江西高校出版社,2010.2(美)David C.Lay.线性代数及其应用(第 3版修订版).人民邮电出版社,2007.3陈怀琛.线性代数实践及 MATLAB 入门.电子工业出版社,2005.4同济大学数学系.工程数学线性代数.高等教育出版社,2007.5杨雪.线性代数复习指导.天津大学出版社,2008.6吕庆祝.矩阵和线性方程组.黑龙江科学技术出版社,1984.7李庆扬,莫孜中,祁力群.非线性方程组的数值解法.科学出版社,1992.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 23 页，共 23 页 -