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1、线性方程组在中学数学中的应用摘 要基于中学数学中的有些问题可以转化为线性方程组来解决，使得复杂的问题变得简单。线性方程组是由几个变量之间组成的相互关系，在中学数学中大多都是两个未知量或三个未知量组成的齐次线性方程组，而求解线性方程组大多进行变形， 用消元法进行，一般解都具有唯一性，只有少数部分的解不唯一。本文对线性方程组在中学数学代数和几何中的应用进行了研究。关键词： 线性方程组中学数学消元法 线性方程组的解名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - -
2、 - - - - - - - ABSTRACT Based on some mathematic problems of middle school, those problems can be transformed into linear system of equations to solve and made complex problems become more and more simple .The linear system of equations consists of several variables .In middle school mathematics .mo
3、st of them are homogenous linear equations with two unknown quantities or three unknown quantities. While the solution of linear system equations is mostly used to the method of elimination .Generally. It has the only solution, only a small number of solutions are not unique. In this paper, we study
4、 the application of linear equations in algebra and geometry. Key words: system of linear questions ；middle school mathematics ；The elimination solution of system of linear equations 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - 目 录1. 引言
5、 . 1 2. 线性方程组的概念 . 2 3. 线性方程组的应用 . 2 3.1 在数列中的应用 . 2 3.2 在不等式中的应用 . 4 3.3 三角恒等式方面的应用. 5 3.4 在几何方面的应用 . 6 3.5 在比例方面的应用 . 7 3.6 方程有关方面的应用. 9 3.7 实际问题 . 10 3.8 其他方面的应用 . 11 4. 结束语 . 12 参考文献 . 12 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - -
6、 1 1. 引言线性方程组起源于古代中国，它有着深远的历史，关于对线性方程组的研究，中国比欧洲至少要早 1500 多年，这一点从中国古代著作九章算术中就可以看出。约公元263 年古代数学家刘微在九章算术一书中对线性方程组就已经有了介绍和研究，在此书中方程组的解的理论已经较为完善了。现在中学讲授的线性方程组的解法和九章算术介绍的方法大致相同，九章算术是用直除法来解线性方程组，是一个较为麻烦的算法，刘微在对线性方程组进行研究后，在方程章的注释中对直除法加以改进，由此创立了互乘相消法，指出“举率而言之”即方程组个数要与方程个数保持一致，任意两个方程组的个数不能相同或成比例，当方程组中的方程个数小于未
7、知数个数时，方程组的解不唯一；如果是齐次方程组，则方程组的解可以成比例的扩大和缩小，这些理论现已经成为了定理；秦九韶在公元1247 年把九章算术中直除法改进为互乘法。直到大约1678 年在西方，德国数学家莱布尼兹才首次开始对线性方程组进行研究；17 世纪末莱布尼兹用现在我们称为结式的一个行列式来研究线性方程组的解法，大约在 1729 年，马克劳林解含有2-4 个未知量的线性方程组，开始用行列式的方法。1950 年克拉默解含有5 个未知量5 个方程的线性方程组，创立了克拉默法则； 1764 年法国数学家裴蜀证明了含有n 个未知量n 个方程组有解的条件是它的行列式为零。1867 年道奇森在行列式初
8、等理论发表了我们现在所学的理论“系数阵和增广阵的秩相等”。对于线性方程组的理论研究逐渐完善，并且很多地方得到应用。在实际生活中我们遇到的许多问题也能结合线性方程组来进行求解，中学生运用好线性方程组在解题上的技巧可以开拓解题思路。故此，本文归纳了线性方程组的几点应用。2. 线性方程组的概念线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组，含有n 个未知量的一次方程组，称为n元线性方程组（方程组里所含的方程个数不论多少）。线性方程组的一般形式mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111其 中12,nx xx代 表 未 知 量 ，1,2,;1,
9、2,ijaim jn代 表 未 知 量 的 系 数 ，12,mb bb代表常数项【1】。在中学数学中，关于线性方程组理论知识已经渗透到了大多数知识点中。解方程组的思路主要是消元和降次，绝大多数的方法是代入法、加减法、换元法、因式分解法或相乘相除法等；此外，解线性方程组还有矩阵方法。这些方法都应当在方程组同解理论的指导下才能应用。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - 2 3. 线性方程组的应用3.1 数列方面的应用数列
10、是把一列数按一定的顺序排列起来，其中，数列的项是这个数列里的每一个数，数列里的每一项都与它的序号有关，数列的第1 项也就是排在第一位的数，通常也称为首项，数列的第2 项也就是排在第二位的数，, ，数列的第n项也就是排在第n位的数。所以，可以把数列的一般形式写为,321naaaa简记为na。一个数列有有限的项数称为有穷数列，有无限的项数称为无穷数列。如果一个数列na的第n项与序号n之间的关系能用一个式子来表示的话，那么，这个式子就叫做这个数列的通项公式。反之，我们也能根据数列的通项公式算出数列的每一项【2】。例 1 已知数列na是一个等差数列，若满足85 是它前 5 项的和， 705 是它前 1
11、5 项的和，求此等差数列的前n项和公式。分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式，得到关于1a与d的两个关系式，它们都是关于1a和d的二元一次方程，以此列出线性方程组，根据线性方程组的解法，可以求得1a与d，从而得到所求的前n项和的公式【2】。解：根据题意知855S，70515S，代入等差数列的前n 项公式dnnanSn211，得到 :705214151585245511dada，解之得6,51da故2156322nn nSnnn综上所述，对于数列的相关量nnSndaa,1，通过联立线性方程组可以由其中两个量得出其他的量。例2 已 知 数 列na是 一 个 等 比 数 列 ， 若 满 足12
12、323418,9aaaaaa， 且nnaaaS21，求limnnS的值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - 3 分析：由等比数列的求和公式为：111nnaqSq得到1lim1nnaSq，所以要求limnnS的值，只需求出等比数列na的q与1a。解：由已知得：2121118119（）aqqa qqq得到：21q再代入（ 1）式得：12181824111124aqq得：12416112lim1nnaSq。综上所述，已知
13、数列各量之间的关系可以运用线性方程组求出。例 3 （2015 年江苏省公务员 A类 54） 已知一个数列为等差数列，有24= 21,= 31aa， 若516na则这个数列的前n项的平均数为多少？分析：要求数列前n 项的平均数又已知na，故只需求出1a即可，而1a可由24,aa得到，因为前n项和公式12nnn aaSn平均数， 。解：由题意可知;214121331aadaad得：116a由12nnn aaSn平均数得：116+516=26622naa平均数综上所述，已知数列的任意两项以及前n项，要求前n项的平均数，只需要根据他们之间的相互关系建立线性方程组，根据前n项和可求出平均数。3.2 不等
14、式方面的应用用“大于号（） ” 、 “小于号（） ” 、 “不等号（） ” 、 “大于等于（） ”或“小于等于（） ”名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - 4 连接起来并具有大小关系的式子叫做不等式。把含有两个及其两个以上的未知量，且未知量的次数都为 1 的不等式联立起来的不等式称为不等式组。例 4 已知7311337721log,log,logabc，证明：不等式54abbcac成立。分析：对于解决此题，可以直接把
15、数值代入，利用均值不等式就可证明，这里主要介绍的是用线性方程组解决的方法。证：把7311337721log,log,logabc变形为：7731133337117711113721loglnlnln0loglnlnln0loglnlnln0aaabbbccc得到：371137113711ln +lnln0lnlnln0lnln +ln0aabbcc上述方程是关于3711ln ,ln ,ln的一个齐次线性方程组，3711ln ,ln ,ln都不等于零，所以方程组有非零解，他们的系数行列式为零。有：1101aabbcc，化简得：=1+abbcacabc73113377217311311711377
16、3113117113722logloglog2lnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnln142 lnln2 lnln2 lnln 2abc，故：151+=44abbcac综上所述，由他们之间的关系，联立线性方程组，再结合均值不等式就可证明出。例 5 已知要将两种大小不同的钢板截成A,B,C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：表 2-2 类型A规格B规格C规格第一张钢板2 1 1 第二种钢板1 2 3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7
17、 页，共 16 页 - - - - - - - - - 5 现分别需要A,B,C 三种规格的产品为15,18,27块，则要分别截这两种钢板多少张，可得所需A,B,C 三种规格成品，使得所用钢板的张数最少？解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，共需截这两张钢板z张，则00273182152yxyxyxyx目标函数为：yxz得到图 3-1 的平面区域（阴影部分）为可行域。由图 3-1 可以看出，当直线yxz经过可行域上的点M时，截距z最小。解方程组：152273yxyx，得539，518为点 M的坐标，因为539，518不是整数，所以点539，518不是最优解，经过可行域内的整数点，得到 B（
18、3,9 ）和 C（4,8 ） ，是最优解【2】。综上所述，线性规划的问题要结合线性方程组进行求解。3.2 三角恒等式方面的应用例 6 已知1sinsin，0coscos, 求出cos。分析：要解决此题，首先要找与和的关系，题中解的是两角差的余弦，根据公式sinsincoscoscos就可以求出答案。重点是求出和的正弦和余弦，已知1sinsin，0coscos，就可以联立线性方程组求出和的正弦和余弦，代入公式就可以求出。解：由已知0coscos1sinsin两式分别平方再相加得：1coscossinsin22图 3-1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -
19、- - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - 6 化简得到：21sinsincoscoscos。综上所述，三角恒等式方面的问题，可以利用和角、差的问题，转化为线性方程组求解。3.3 几何方面的应用几何，即研究空间结构及性质的一门学科。与分析、代数等具有重要的地位，并且关系较为密切，是数学中最基本的研究内容之一。在中学数学中，我们主要学习的是平面几何，立体几何。平面几何研究的是直线和二次曲线（即圆锥曲线，也就是椭圆、双曲线和抛物线），以及它们的几何结构和度量性质（包括长度、角度、面积）。平面几何采用的是
20、公理化的方法。立体几何是三维空间解析几何的研究范围，研究的是二次曲面的几何分类问题，二次曲面如球面，椭球面、锥面、双曲面。例 7 已知两点为0,26,821pp，求满足条件的直线方程。分析：已知两点要求直线方程，中学大多用两点式方程公式求解，运用两点式公式首先需要记住公式，最后还要化简。我们可以尝试用线性方程组的方法求解，两点式公式也是由线性方程组推导出来的。对于解决此题，我们首先设出直线方程的一般形式：0cbyax，再列出线性方程组，根据线性方程组理论列出行列式化简就可得出。解：设此直线方程为：0cbyax根据题意可得：020680cacbacbyax这是一个关于abc， ，的齐次线性方程组
21、，根据直线方程的abc， ，不同时为零，要使方程组有非零解，它的充分必要条件就是系数行列式为零。即：01021681yx，展开化简得：0653yx所以满足条件的直线方程为：0653yx综上所述，直接利用线性方程组与系数行列式的关系，展开行列式，得到直线方程。例 8 已知空间两直线1l与2l相交，直线1l过点4,1,51p且与平面：043zyx平行，直线2l的方程为 :233214zyx, 求过直线1l的方程。分析：对于此题，直线1l是可由4,1,51p和它的方向向量1v来确定，直线2l也可由3,2,42p和它的方向向量2,3,12v来确定， 要求直线1l的方程， 首先要找到1212,p pvv
22、的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - 7 相互关系，两直线1l与2l相交，可得0,2121vvpp。直线1l与平面平行，联立线性方程组求解即可得出直线1l的方程【 3】。解：设直线1l的方向向量为ZYXv,1。根据题意可得：1,1,121PP,ZYXv,1,2,3,12v可知两直线1l与2l相交，即：0231111ZYX, 展开化简得：045ZYX直线1l与平面平行，即：043045ZYXZYX , 令 Z 为自由
23、未知量，取Z=1。解得：1164ZYX所以直线1l的方程为：5144161xyz。综上所述，利用空间两直线的公式，列出行列式，结合线性方程组求出直线方程。3.5 比例问题方面的应用比例是各个部分在总体中的数量占总体数量的比重，反映的是总体的构成或结构。比例表示的是两个比相等的式子。判断两个比能否构成比例，就要看它们的比值是否相等。例 9已知实数0zyx， 满足条件3321zyxzzyyxx， 则zyx的值为多少？分析：根据题意可以把k设为条件的比例值，把上述比例关系分别进行转化，再用含k的式子来表示zyx,，要求zyx，事实上只需要求出k的值即可。解：根据题意可得：kzyxkzzkyykxx3
24、321，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - 8 通过化简整理得到：kkzkkykkx13121把zyx,的值代入kzyx3, 得到：kkk316即02kk，解得0k（与题意不合）, 或1k。得到3zyx。例 10 设0zyx，,cyxyxbxzxzazyzy求证：0abccba【3】。证明：根据题意可知：yxcyxxzbxzzyazy,。即：011011011ycxczbxbzaya因为0zyx， 所以上述方程是
25、关于zyx,的齐次线性方程组，它有非零解， 系数行列式为零。即：0011101110ccbbaa行列式展开整理得：0abccba。例 11 若满足krqpqprprq，且0rqp, 求 k 的值【 4】。解：由已知得：rkqpqkprpkrq,即：000kpqrpkqrpqkr，上述方程是关于rqp,的一个齐次线性方程组，由于rqp,都在分母上，所以它们不同时为零，所以方程组有非零解，系数行列式为零。即：0111111kkk名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共
26、 16 页 - - - - - - - - - 9 展开整理得：0212kkk, 即0212kk得1k或2k。例 12 设cba,为正实数，求3654333232322acabccabcabcabc的最小值【5】。解：令33232322xabcyabczabc，则：+xyb czyc，所以：332654acyxabczxczy从而得：3654333232322acabccabcabcabc332zyyxzyxyz335yxzyxyyz52 32 3174 3当且仅当：33yxxyzyyz，即：33xyzy时取等号。即3654333232322acabccabcabcabc取最小值，最小值为17
27、4 3。综合上述的例子，可将比例问题转化为线性方程组问题，用线性方程组进行求解，便得出所求结果。3.6 方程有关方面的应用在中学数学中，方程是含有未知数的等式。方程的定义不止一个，还有函数定义法，关系定义等，含未知数的等式也不一定就是方程，像0 x=0 这样的等式就不是方程，方程表示的是两个数学式（比如两个数、量、运算、函数）之间有相等关系的等式，在这两者之间用等号连接，使等式成立的未知数的值叫做方程的“解”或“根”。例 13 甲从距 A 地 5m处出发，以50m/h 的速度前进，同时，乙从距A地 15m处与甲同向出发，以 30m/h 的速度前进，甲乙能否相遇？相遇时他们出发了多少小时？解：设
28、甲，乙在距A点y处相遇，相遇时间为x，对于甲y关于x的关系为：550 xy，对于乙y关于x的关系为：1530 xy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - 10 联立可得1530550 xyxy，解得：305.0yx甲，乙能相遇，相遇时出发了0.5h 。综上所述，将实际问题转化为数学问题，再转化为方程问题，建立线性方程组，用线性方程组求解。例 14 把一堆书分给几名同学，若每人分得3 本，则还剩余4 本；若每名同学分5
29、 本，那么前面的同学每人都分得5 本，只有最后一名分到1 本，求这堆书有几本？共有几名同学? 分析：设学生有x名，根据题中“每人分得3 本，则还剩余4 本”就可以用含x的代数式表示出这堆书，再依据“前面的同学每人都分得5 本，只有最后一名分到1 本”列出不等式，进行求解，就可以求出有多少本书，多少名同学。解：设有x 名同学， y 本书。根据题意可得：1) 1(543xyxy，解得：164yx综上所述，剩余定理结合线性方程组进行求解。3.7 实际问题在生活中，有些问题线性方程组与实际问题的联系较为紧密，用线性方程组来解决比较简便。例 15 若购买 45 件甲商品和18 件乙商品要用990 元，购
30、买86 件甲商品和32 件 B 乙商品要用1880 元，甲商品和乙商品打了相同的折扣后，买250 件甲商品和300 件乙商品用了5200 元，打折后比打折前少花多少钱？分析：根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解。得到甲商品和乙商品的原价，求出原价购买250 件甲商品和300 件乙商品与打折购买的差即解此题。解：设甲商品的原价为x元，乙商品原价为y元。根据题意得：188032869901845yxyx，解得：520yx，打折后与打折前的差为：13005200530020250故打折后比打折前少花1300元钱综上所述，商品打折问题是生活中常遇到的问题，将其转化为线性方程组问题
31、，会使问题简单名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - 11 易求解。例 16（2015 年山东省公务员54）某剧场A 、B两间影视厅分别坐有观众43 人和 37 人。如果将 B厅的人往A厅调动，当A厅满座后， B厅内剩下的人数占B厅容量的12。如果将A 厅内剩下的人往 B厅调动，当B厅满座后， A厅内剩下的人数占A厅容量的13。问 B厅能容纳多少人？分析：无论A厅和 B厅的观众如何移动，观众的总人数都是固定不变的。解
32、：设 A厅能容纳x人， B=厅能容纳y人。根据题意得：374331374321yxyx解得 y=64 故 B厅能容纳 64 人。综上所述，实际生活中的问题也可以联立线性方程组进行求解。3.8 其他方面的应用线性方程组不仅在数列、不等式、方程、比例、几何、实际问题这六方面有应用，在其他方面也有广泛的应用。例 17 已知yx ,都是正整数，满足条件360,4222xyyxyxxy，求出22yx的值。分析：看到此类的题目常规方法是根据条件联立方程解出yx ,的值，再代入22yx就可以得出。这种解法相对来说比较麻烦，若把yxxy,分别看为一个整体为vu ,，构造线性方程组进行求解，要简便一些。解：把y
33、xxy,分别设为vu ,。则：42xyxy可转化为42uv,22360 x yxy可转化为360uv, 得到：42360uvuv解得：3012uv根据平方差公式可得：222222756xyxyxyuv。例 18 已知函数2,1, 3fxmxnx x, 试确定,m n的关系式。分析：要确定,m n的关系式，根据已知条件可从定义域入手，为了计算的方便，在取值过程中一般选择计算简便的值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - -
34、- 12 解：根据题意可得：nmfnmfnmf3932421, 1把方程组1 变形为：0339022401fnmfnmfnm，2此时，方程组2 可以看成是一个关于, ,( )m n f x的一个齐次线性方程组，而齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：系数行列式为零。即：0339224111fff展开化简得：032313fff3把1 式3,2,1fff的值代入3 式得：012243961233nmnmnmnm即：nm21故,m n的关系式为：nm21。综合上述例子，处理多个变量函数的最值问题、求解函数表达式的问题，对于中学生是一个困难的问题，利用线性方程组，用特殊的技巧进行处理。4. 结束语在
35、中学数学学习中，结合数学对应的理论知识，将许多的问题转化为线性方程组的问题，利用线性方程组有唯一非零解与数列行列式为零的关系，可将困难的问题变得简易，这是一种学习方式的转变。加强对学习的探索性，在探索学习的过程中获得解决问题的能力，既培养了学习能力，也在其中体会到了数学思想方法。通过经历建立线性方程组的模型并应用它解决问题的过程，以此提高分析和解决问题的能力，增强创新精神培养和应用数学的意识。参考文献：1 张禾瑞，郝鈵新高等代数M .第五版 . 北京：高等教育出版社.2007. 2 普通高中课程标准实验与教科书数学必修5 A 版M. 第三版 .北京：人民教育出版社.2007. 3 吕林根，许子
36、道. 解析几何 M. 第四版 . 北京：高等教育出版社.2006. 4 叶立军 . 数学方法论 M. 杭州 : 浙江大学出版社.2008. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - 13 5 张奠宙 , 张广详 . 中学代数研究M. 北京：高等教育出版社.2006. 6 田彩凤 . 例谈用齐次线性方程组理论解中学数学问题J.甘肃联合大学学报.2004 ，18（4）. 7 迟 灵 芝 . 谈 线 性 方 程 组 理 论
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