《2022年数学实验“线性方程组的J迭代,GS迭代,SOR迭代解法”实验研究报告 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年数学实验“线性方程组的J迭代,GS迭代,SOR迭代解法”实验研究报告 .pdf（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、西京学院数学软件实验任务书课程名称数学软件实验班级数 0901 学号0912020107 姓名李亚强实验课题线性方程组的 J- 迭代，GS- 迭代， SOR- 迭代方法。实验目的熟悉线性方程组的J- 迭代，GS-迭代，SOR- 迭代方法。实验要求运用 Matlab/C/C+/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成。实验内容线性方程组的 J- 迭代；线性方程组的 GS- 迭代；线性方程组的 SOR- 迭代。成绩教师精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页实验四实验报告一、实验名称： 线性方程组的 J
2、- 迭代，GS-迭代，SOR- 迭代。二、实验目的： 熟悉线性方程组的J- 迭代， GS- 迭代， SOR- 迭代，SSOR- 迭代方法，编程实现雅可比方法和高斯- 赛德尔方法求解非线性方程组12123123521064182514xxxxxxxx的根，提高 matlab 编程能力。三、实验要求： 已知线性方程矩阵，利用迭代思想编程求解线性方程组的解。四、实验原理 ：1、雅可比迭代法（ J- 迭代法）：线性方程组bXA*，可以转变为：迭代公式(0)(1)( ) k0,1,2,.kkJXXB Xf其 中bMfULMAMIBJ111),(， 称JB为 求 解bXA*的雅可比迭代法的迭代矩阵。以下给
3、出雅可比迭代的分量计算公式，令),.,()()(2)(1)(knkkkXXXX，由雅可比迭代公式有bXULMXkk)()1()(，既有inijkiijijkiijkiijbXaXaXa1)(11)()1(，于是 ， 解bXA*的 雅 可 比 迭 代 法 的 计 算 公 式 为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页)(1),.,(111)()()1()0()0(2)0(1)0(ijnijkjijkjijiiikiTnXaXabaXXXXX2、 高斯-赛德尔迭代法（ GS-迭代法） ：GS-迭代法可以看作是雅可比迭代法的一
4、种改进，给出了迭代公式：)(1),.,(111)1()1()1()0()0(2)0(1)0(ijnijkjijkjijiiikiTnXaXabaXXXXX其余部分与雅克比迭代类似。3、逐次超松弛迭代法（ SOR- 迭代法） ：选取矩阵 A的下三角矩阵分量并赋予参数w， 将之作为分裂矩阵 M ，)(1wLDwM，其中， w0 ，为可选择的松弛因子，又（1）公式构造一个迭代法，其迭代矩阵为AwLDwIBs1)(从而得到解bXA*的逐次超松弛迭代法。(0)(1)() k0,1,2,.kksXXB Xf其中：bwLDwfwUDwwLDBs11)()1()(由此，解bXA*的 SOR- 迭代法的计算公式
5、为)(),.,(111)1()1()()1()0()0(2)0(1)0(ijnijkjijkjijiiikikiTnXaXabawXXXXXX（2）观察（ 2）式，可得结论：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页（1）、当 w=1时，SOR- 迭代法为 J- 迭代法。（2）、当 w1时，称为超松弛迭代法，当weps x2=M*x1+g; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页 a=norm(x2-x1,inf); x1=x2; k=k+1; e
6、nd % 输出方程组的近似解、精确值及误差disp(近似解： ); disp(x1); x2=x1-y; a=norm(x2,inf); fprintf(误差： %.6f; 迭代次数： %dn,a,k); %2.GS- 迭代function x1=G_S(A,b,y) n=100; m=input( 请输入迭代次数 m:); eps=input(请输入精度 eps:); D=diag(diag(A); L=triu(A)-A; U=tril(A)-A; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页% 生成矩阵 M,向量 g
7、M=(D-L)U; g=(D-L)b; % 迭代首项x1=eye(n-1,1); x2=eye(n-1,1); for i=1:n-1 x1(i)=1; x2(i)=0; end a=1; k=0; while aeps x2=M*x1+g; a=norm(x2-x1,inf); x1=x2; k=k+1; end 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页% 输出方程组的近似解、精确值及误差disp(近似解： ) ；x2=x1-y; a=norm(x2,inf); fprintf(误差： %.4f; 迭代次数： %dn,
8、a,k); %3.SOR- 迭代function a=p(A) n,n=size(A); x=eig(A); a=0; for i=1:n b=abs(x(i); if ba a=x(i); end end a=abs(a); function x1=SOR(A,b,y) %y为精确解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页% 超松弛迭代D=diag(diag(A); L=triu(A)-A; U=tril(A)-A; % 求最佳松弛因子 w M=D(L+U); w=p(M); w=2/(1+sqrt(1-w2); if
9、 w2 disp(迭代不收敛 ); return; end % 生成矩阵 M,向量 g M=(D-w*L)(1-w)*D+w*U); g=(D-w*L)b*w; % 进行迭代w=1; k=0; %x1=eye(n,1); 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页while w1e-6 x2=M*x1+g; w=norm(x2-x1,inf); x1=x2; k=k+1; end % 输出方程组的近似解、精确值及误差disp(近似解： ); disp(x1); x2=x1-y; w=norm(x2,inf); disp(误差:); disp(w); disp(迭代次数： ); disp(k); 六、实验结果：A=5 2 0;6 4 1;1 2 5;b=10 18 -14; X1= G_S (A,b,0 0 0) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页X1 = -0.8750 7.1874 -5.5000 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页