2022年2022年矩阵在线性方程组中的应用 .pdf

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1、矩阵在线性方程组中的应用摘要矩阵和线性方程组都是高等数学的重要教学内容。在高等数学教学中利用矩阵解线性方程组的方法基本上是所知的固定几种：利用矩阵初等变换、克拉默法则、高斯若尔当消去法。但是解一个线性方程组有时需要几种方法配合使用，有时则需要选择其中的最简单的方法。而对于一些特殊的线性方程组的解法很少有进行归类、讲解。我们希望可以通过对本课题的研究，总结和归纳用特殊矩阵解几类特殊线性方程组的解法。关键词 矩阵；线性方程组；齐次线性方程组；非齐次线性方程组名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

2、 - - - 第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - - 6 MATRICES IN THE APPLICATIONS OF THE SYSTEM OF LINEAR EQUATIONS ABSTRACTMatrices and system of linear equations are important content of advanced mathematics. We often use several fixed methods to solve system of linear equations in advanced mathematics， such a

3、s Matrix transformations;Cramers Ruleand Gauss-Jordan elimination method. But sometimes, we need to choose one of the most simple ways,or we need to use several methods to solve system of linear equations. For some special solution method of system of linear equations, there are few classification a

4、nd explanation in detail. We hope that we can research, summarizes and induces solution method of some special system of linear equations with special matrices. KEY WORDS matrices; system of linear equations; homogeneous system of linear equations; nonhomogeneoussystem of linear equations 名师资料总结 - -

5、 -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 21 页 - - - - - - - - - 7 目录中文摘要 . . 5 英文摘要 . . 6 目录. . 7 引言. . 1 1. 矩阵和线性方程组的概述. . 1 1.1 矩阵的概念 . . 1 1.2 线性方程组的概念 . . 2 1.3 线性方程组解的情况 . . 3 2. 矩阵在线性方程组中的应用. . 3 2.1 克拉默法则 . . 3 2.2 高斯消元法 . . 5 2.3 非齐次线性方程组新解法的解题步骤. . 6 2.4 直

6、接通过矩阵变换及运算求出方程组的解法. . 7 2.5 利用追赶法解线性方程组. . 9 2.5.1 LU分解 . 9 2.5.2 追赶法 . 10 2.6 利用分块矩阵求解非齐次线性方程组. . 12 2.7 用加边矩阵求解非齐次线性方程组. . 14 3结论. . 17 参考文献 . . 17 致谢. . 错误！未定义书签。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - - 1 引言矩阵的概念最早在 19世纪由英国数学家凯利提

7、出。在数学史上，研究过矩阵论的著名数学家有许多。在文献 1 中介绍了英国数学家西尔维斯特于1852年对矩阵的合同发现著名的“惯性定理”。在文献2 中英国数学家凯莱发表了重要文章矩阵论的研究报告，对矩阵的基本理论进行了系统的阐述。当然还有许多数学家对矩阵的发展做出了伟大的贡献。随着时代的不断发展，矩阵已经在各个领域得到了广泛的运用，是一种非常常用的用具。在数学领域中作为解决线性方程的工具之一，前人对此已经做了大量的的研究。1693年，微积分的发现者之一德国数学家莱布尼茨建立了行列式论。1750年，瑞士数学家克莱姆其后又定下了克拉默法则（又称克莱姆法则）。1800年，高斯和威廉若尔当建立了人们熟知

8、的高斯若尔当消去法。线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组。在文献3 中了解到线性方程组在线性代数的教学中非常重要，行列式、矩阵、向量组的线性相关性、线性空间的基变换、坐标变换等，都和线性方程组有着非常密切的联系。矩阵和线性方程组都是高等数学的重要教学内容，矩阵和线性方程组是相辅相成的，在高等数学教学中利用矩阵解线性方程组的方法基本上是所知的固定几种。对于一些线性方程组的特殊解法很少有进行归类、讲解。本文主要研究用特殊矩阵解一些线性方程组的方法，通过认真阅读本课题相关文献，如陈祥云的矩阵的初等变换及其应用，辛奎东的关于线性方程组新解法的探索，刘红旭的利用分块矩阵求解非齐次线性方程组，杨

9、可的用加边矩阵求解非齐次线性方程组的尝试等等，分析、总结和归纳用特殊矩阵解线性方程组的解法。1. 矩阵和线性方程组的概述1.1 矩阵的概念由mn个数1,1)ijaimjn（，排成m个横行n个竖列的数表1111nmmnaaaa，称为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 21 页 - - - - - - - - - 2 m行n列矩阵或 m n 级矩阵，简称矩阵。数ija位矩阵的元素，矩阵常简单记为A或B或C， ，或简记为mnA，m nA等。1.2 线性方程组的概念线

10、性方程组的一般形式如下：1111221121 1222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb（1-1）其中12,nxxx表示n个未知量，m是方程组的个数，ija则表示方程组的系数，ib称为常数项。假如所有的常数项ib都等于 0，即为11 1122121 122221122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xaxaxaxax（1-2）则方程组（ 1-2）称为齐次线性方程组。否则称为非其次线性方程组。线性方程组（ 1-1）的解是数域K的一个有序数组12,nc cc，当未知量12,nx xx分别用12,nc cc代入时，（ 1.1）中的

11、每个方程都成立。这里将方程组（ 1-1）记为矩阵形式11121212212nmmmnaaaaaAaaa，12mbbBb。在此处把A称为这个线性方程组的系数矩阵，假如再将常数项B添加进去，让它称为矩阵的最后一列：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - - 3 11121121222212nnmmmnmaaabaaabaaab称其为此线性方程组的增广矩阵，记为A。1.3 线性方程组解的情况在求解线性方程组时，首先需要讨论线性方

12、程组解的情况。它可能无解，可能存在唯一解或者可能存在无穷多组解。在这里，我们讨论线性方程组解的情况，以及它的通解表示形式。对于一般情况下的线性方程组（1-1） ，将它的增广矩阵A化为行阶梯矩阵。这个阶梯形矩阵在适当调动前n列的顺序之后可能有两种情形：111211122222100000000000000000rnrnrrrnrrccccdcccdccdd或者111211122222000000000000000000rnrnrrrnrccccdcccdccd其中10,1,2,0iircir d。在前一种情况我们判定为原来方程组无解，而在后一种情形方程组有解。我们对后面一种情况进行讨论： a ：

13、若 rn，则原方程组 (1-1) 有唯一解。 b ：若且 rn，则原方程组 (1-1) 有无穷多组解。这无穷多组解可以用一般解来表示，其中自由变量有nr个，主变量有 r 个。2. 矩阵在线性方程组中的应用2.1 克拉默法则在这里简单介绍了利用克拉默法则解线性方程组。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 21 页 - - - - - - - - - 4 克拉默法则：如果含有n个方程的n元线性方程组1111221121 1222221122nnnnnnnnnna x

14、a xa xba xa xaxba xaxa xb (2-1) 的系数矩阵的行列式111212122212det0nnnnnnaaaaaaAaaa则方程组（ 2-2）有唯一解，并且det,1,2,detjiBxjnA其中detjB是将系数行列式 detA的第j列元12,jjnjaaa，换成常数项12,nb bb后的行列式。下面运用克拉默法则解一个简单的线性方程组。例 2.1.1 解线性方程组12341242341234258,369,225,4760.xxxxxxxxxxxxxx解：21511306det=27002121476A而181519306det81,52120476B2285119

15、06det108,05121076B321811396det2702521406B421581309det27.02151470B名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 21 页 - - - - - - - - - 5 所 以31212detdetdet,3, 4, 1,1detdetdetTTTnBBBx xxAAA。即 原 方 程 组 的 解 为3, 4, 1,1T。例 2.2.2 当下述方程组有非零解时，a取何值时：1231231232220,2140,24

16、10.axxxxaxxxxax解：该齐次方程组有非零解，当且仅当其系数矩阵的行列式222det2140,241aAaa所以222det214241aAaa224(3)(3) (6).25aaaaa由上可知，当齐次方程组有非零解时，36aa或。2.2 高斯消元法高斯消元法也是一种常用的解线性方程组的方法。对于含有m个方程，n个未知量的n元线性方程组11 112211211222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb首先用初等行变换先把上面方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵，然后写出该阶梯形矩阵所对应的方程组，逐步回代，即可以求出方程组的解。因为它们为同

17、解方程组，所以也就得到了上面方程组的解。这种方法被称为高斯消元法。例 2.2.1 解方程组1234123412341234215320342221xxxxxxxxxxxxxxxx解：先写出增广矩阵AB，再化成阶梯形矩阵，即名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 21 页 - - - - - - - - - 6 AB=112111121111211153200411104111311420477500666221110433100222112110411100666

18、00000根据最后一个增广矩阵可以得出其表示的线性方程组为1234234342141666xxxxxxxxx将最后一个方程乘16，再将4x 项移至等号的右端，得341xx将其代入第二个方程，解得212x再将2x ，3x 代入第一个方程组，解得1412xx因此，方程组的解为1423412121xxxxx其中4x 可以任意取值。2.3 非齐次线性方程组新解法的解题步骤在文献 7 中介绍了非齐次线性方程组新解法的解题步骤：（1）约化阶梯形矩阵。（2）写出对应的方程组。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -

19、 - - - - - 第 9 页，共 21 页 - - - - - - - - - 7 （3） 把上面每个方程中下标最小的变量用其他变量表示，其它缺失的变量相应的补齐。（4）写出方程组解的向量形式。例 2.4.1 解线性方程组1234512345234512345+7323222623543312xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：（ 1）首先约化阶梯形矩阵11111710115163211320122623()01226230010005433112000000A b然后对增广矩阵()A b进行初等变化，化为简化的阶梯型矩阵35,r Ar A b则原方程有无穷多个解。（2）写出对应的方

20、程组。124523453516226230 xxxxxxxxx（3）把上述每个方程中下标最小的变量用其它变量表示，其它缺失的变量补齐。1245234534455165232260 xxxxxxxxxxxxx（4）写出方程组的解。1216152326000010001xcc2.4 直接通过矩阵变换及运算求出方程组的解法下面介绍直接通过矩阵变换及运算求出方程组的解法。首先对增广矩阵进行初等变换、零拓展矩阵和转解运算，再直接求出齐次方程组的基础解系和非齐次方程组的特解，进而求出非齐次方程组的通解。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

21、 - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 21 页 - - - - - - - - - 8 定义 18 对于矩阵,m nA增加q个n维行向量而生成的新矩阵称做,m nA的拓展矩阵；若增加行向量都是零向量，则生成的新矩阵称为,m nA的零拓展矩阵，若增加的行向量组成一个单位方阵则生成的新矩阵称为,m nA的单位拓展矩阵。定义 28在矩阵,m nA中，若 ji ，有0ija，则称,m nA为广义上三角矩阵。定义 38设,m nA是广义三角矩阵，在,m nA中，若=0kka，而00i ka，构造成一个新矩阵,m nijm nBb，当0ii，有ijijba；当0=i i，令

22、00i kb，000i ji jj kkjbaaajk ，则定义为归零运算（或称转解运算），生成的矩阵,m mB称为归零矩阵（或转解矩阵）。定理 18设实数域上非齐次线性方程组,1,1m nnmAXB，=R AR Arn，对,1,m nmAB进行零拓展，使其成为,1n nC，对,1n nC进行初等变换，使其成为对角线上的元素ijc只取 1 和 0 的广义上三角矩阵*,1n nC（若1,ikc而jk时0,ijc则进行行行交换使得1ikc所在的行变为*,1n nC中的第 k行） ； 令*1,1,10nnn nn nnPCE，则矩阵,1n nP中元素iip只取 0 或-1 值；若当iik kp说对应

23、的第ik列为零向量1,2,ir ，则所有1jjk kp说对应的第ik列向量1,2,jnr 就构成方程,10m nnAX的基础解系， 而第1n列向量则是方程组,1,1m nnmAXB的特解。定理 28对于方程组（ 2-1）说对应的增广矩阵进行拓展和初等变换，得到满足定理1的*,1,1,1,1,0n nn nn nn nnCPCE；当0iip时，而0kip时，做转解运算生成转解矩阵*,1m mP，使得当*0iip时，有*0kip1,2,kn ，则*1jjp所对应的列向量的全体即为方程组,10m nnAX的基础解系，*,1n nP矩阵中的第1n列向量乃是,1,1m nnmAXB的特解，,1n nP经

24、过若干次转解运算存在满足定理1 条件的转解矩阵*,1n nP。例 2.5.1 求解方程组134123413412342262303618491336xxxxxxxxxxxxxx解：对增广矩阵进行变换名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 21 页 - - - - - - - - - 9 *4,4 110226102261022621310011512011512=3016180070000700419133601151200000C*4,414,44,14,41

25、002260015120=0080000010CEP，因此由定理 1 知方程组的解为1234,2, 5,0, 16, 12,0,0Xx xx xk。2.5 利用追赶法解线性方程组本小节的解法是先把线性方程组的系数矩阵A分解成为下三角阵和上三角阵的乘积，然后运用追赶法来求解线性方程组。为了把系数矩阵分解为一个下三角阵和一个上三角阵的乘积，则需要运用LU分解法（也称为三角形分解法） 。2.5.1 LU分解9令A的前 n-1 个顺序主子矩阵非奇异， 那么就存在单位下三角阵L，以及上三角阵U，使得,ALU并且这样的分解是唯一的。令矩阵A有 LU分解，即111211112121212222221,112

26、110.01nnnnnn nnnnnnnaaauuulaaauullaaau将两端的第一行元素进行对比可以得出11,1,2, ;kkuakn将两端的第一列元素进行对比可以得出1111,2,3, ;kkalknu将两端的第二行其余元素进行对比可以得出名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 21 页 - - - - - - - - - 10 2221 1,2,3, ;kkkual ukn将两端的第二列其余元素进行对比可以得出2112222,2,3, .kkkal u

27、lknu则对于一般的2,3,in用递推关系得出1111,1, ,1,2, ,iikikijikjikikikjjiiijual uki inlal uukiin（2-2）即可求出U和L，从而实现A的三角分解。这一过程就是矩阵A的 LU分解。2.5.2 追赶法9线性方程组的系数矩阵A，先通过公式 (2-2) 进行 LU分解，接着利用追赶法解出该线性方程组，是一个非常方便快捷的方法。追过程和赶过程是追赶法的关键所在。记11112222221111=,1nnnnnnefrfdefrflALUffldera)LU 分解11re对2, ,in计算11,iiiiiiildrrelfb)追过程11yb对于2

28、, ,in计算1iiiiyblyc)赶过程nnnxyr名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 21 页 - - - - - - - - - 11 对于1,1,in计算1()iiiiixyfxr而对于线性方程组（ 1-1）中，可得该线性方程组的Jacobi 迭代公式如下：(1)11122111(1)2221 1233222(1)1122,11111mmmnnmmmmnnmmmmnnnnn nnnnxba xa xaxba xa xaxaxba xa xaxa简记成

29、：1(1)111,(1,2,)immmmiiijjijjjj iiixba xa xia下面我们通过具体的例子来了解用追赶法解线性方程组的解题过程。例 2.5.1 用追赶法解线性方程组121232343423,233,37410,252.xxxxxxxxxx解：系数矩阵21001230,03740025A利用公式 (2-3) 对 A进行 LU分解，2100210021002100331112303030123022222.037403740274021400250025002500213A所以210010003110003022,.02100014002100013LU追过程：解,LyB即名师

30、资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 21 页 - - - - - - - - - 12 1122334431000391100322.1002101200210yyyyyyyyy赶过程：解,Uxy即1122334421003239030122.1001410000130 xxxxxxxxx即得线性方程组的解。2.6 利用分块矩阵求解非齐次线性方程组通过文献 10 可以得知，假如A是一个n阶非奇异阵, ,1,2,ijAai jn ，把A进行分块11122122AA

31、AAA， 其中1112,2122,AAAA，分别是,kk km mk和 mm矩阵。 如果22A是非奇异方阵， 则一定可以找到一个上三角分块112220kmIA AMI，令2 12 20GMAAA，其中111122221GAA A A ，并且 G 是非奇异阵。根据上面的结论，得出用来求解n个方程的非其次线性方程组是比较方便的。可以依以下过程求解：对于非齐次线性方程组11 112211211222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxaxb（2-3）把（2-3）写成矩阵方程为AXB此处A为系数矩阵1122nnxbxbXBxb，。假如A是非奇异阵，即0A，那

32、么方程组（ 2-3）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 21 页 - - - - - - - - - 13 有唯一解。把阶阵A分块：11122122AAAAA，并注意22A为非奇异阶阵，同时把X 和B进行对应的分块，可以使1122XBXBXB，1B的行数等于1112,AA的行数，2B的行数等于2122,AA的行数。那么矩阵方程AXB可以写成111211212222=AAXBAAXB把 上 面 式 子 的 两 边 分 别 左 乘 上 三 角 分 块 矩 阵11

33、2220kmIA AMI， 即 可 以 得 到11112222122220=GXBA AAAXB（2-4）其中1111222210GAA AAG。把方程 （2-4） 分解成为下面两个矩阵方程11112222112222GXBA AA XA XB（2-5）根据初等变换的性质我们可以知道（2-4）和（ 2-5）是同解方程。由于0G，所以存在1G，且111112222XGBA A B，再把1X代入2112222A XA XB中，得到122222112222211,A XBA XXABA X。据此，得出12XXX。例 2.6.1 解非齐次线性方程组123451234512345123451234534

34、222240232632235xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：将方程写成矩阵方程并进行分块，有111211212222=AAXBAAXB。这里113111A，12142224A，21231112A，22311111231A。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 21 页 - - - - - - - - - 14 先求出22A的逆矩阵12212177731214147511114147A，计算1122212119777=9172777A A

35、，方程左乘112220kmIA AMI，得到12345234600007740115100077233116111113122315xxxxx，解矩阵方程12234707740115177xx，解得1225xx，2211623132311655123BA X，故314222211512147771331236=141472315111214147xxABA Xx所以所求方程的解为123452543212xxxxx。2.7 用加边矩阵求解非齐次线性方程组在文献 11 中主要介绍利用加边矩阵的初等变换，把非其次线性方程组解的判定和解的结构融于一体，在方程组有解的基础上，直接找出唯一解或者导出基础解

36、系和原方程的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 21 页 - - - - - - - - - 15 一个特解。m个方程n个未知数的非其次线性方程组的一般形式是：1111221121 1222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb（2-6）其中12,mb bb至少有一个不为 0。方程组（ 2-6）的向量形式为1122=nnx ax ax a（2-7）式子中12,na aa是m维向量。（ 2-7）式子说明假如

37、有一组n个数12,nk kk满足1122=nnk ak ak a那么n维向量12,nk kk即为方程组（ 2-6）的一个解向量。令方程组（2-6）的系数矩阵为A，增广矩阵为 A，作 A的转置矩阵TA，并将TA的每行顺序记为12,na aa，据此作出TA的加边矩阵D：1121111222221212mmnnmnnmaaaaaaaaDaaaabbb矩阵D中12na aa即为（ 2-7）中的12na aa。对矩阵D用初等行变换求秩。这里对所在的行进行初等变换时有如下限制：a:所在的行不与其他行交换；b: 其余任意行不作加上或者减去所在行的倍数的初等变换；c:所在行可以作加上或者减去其余行的倍数的初等

38、变换。即在整个变换过程中，所在的行一直保留在矩阵的最后一行。假设原方程（2-6 ）系数矩阵的秩0r。对于D用初等变换求出秩，最后化出下列矩阵：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 21 页 - - - - - - - - - 16 112111112222211(1)110000000001,2,nrmkkknrmkkknrrmrrkkknrkkknmkkknjjj kiiccccs acccs accs aisas as acir其中0rn。11211111

39、2222211(1)111000000001nrmkkknrmkkknrrmrrkkknrkkknmkkknrmjjj kiiccccs acccs accs aiisas aNNs aci其中1,2,rmrNN 至少有一个不为0。i说明=r Ar Ar，ii说明,1rAr rArrAr A，。根据线性方程组解的判定定理，i中有解，ii中无解。我们可以根据i式最后一行，得到112210,njjnnjk akak ak a即根据（2-7）得出012,nxk kk是方程组（ 2-6）的一个特解（或唯一解）。从最后一行名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

40、- - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 21 页 - - - - - - - - - 17 上面部分可以找出方程组（2-6）对应的齐次线性方程组的一个基础解系，在得出原方程组的一般解。例 2.7.1 求方程组12342341242342344,3,31,733.xxxxxxxxxxxxx的解。解：写出矩阵D，并做初等变换：11212313414110101010015722137013333103015144111033344313aaaaaaaaDaaaa1213124211231010015720024000820000836aaaaaa

41、aaaaaa根 据 上 面 可 得 方 程 组 存 在 唯 一 解 ， 由 最 后 一 行 得123836=0aaa， 即123836aaa，所以原方程的唯一解为8, 3, 6,0 。3结论矩阵和线性方程组都是高等数学中的重要教学内容。而矩阵在线性方程组的求解中应用广泛。本文只是简单讨论、归纳了应用矩阵求解线性方程组解的几种方式，希望帮助大家今后在求解线性方程组时可以运用多种方法。参考文献1Sylvester J. J. ,The Collected Mathematical Papers(Vol. 1)M. Cambridge University Press, 1904. 名师资料总结 -

42、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 21 页 - - - - - - - - - 18 145-378 2 Cayley A. ,The Collected Mathematical Papers(Vol. 2)M. Cambridge University Press, 1889. 475-496 3 李明远 , 马文斌 , 孙鹏哲 , 吴国荣 . 线性代数教学实践中的体会J.内蒙古财经学院报( 综合版 ) ，2009.7(2) ： 139-141 4 李树海 . 线性方

43、程组理论的一个应用J.数学教学研究. 2012.31(10)： 61-62 5 陈祥云 . 矩阵的初等变换及其应用J.高等函授学报（自然科学版) ，2012.25(2) ：71-74 6 卢刚 . 线性代数 M. 第二版 . 高等教育出版社, 2003: 64-68 7 辛奎东 . 关于线性方程组新解法的探索J.科教文化 .2005.12(3)：222 8 陈建莉 . 线性方程组解法新探J.纺织高校基础科学学报，2008.21(2) ：238-239 9 黄明游 , 刘播 , 徐涛 . 数值计算方法M. 北京 : 科学出版社 , 2005.80-90 10 刘红旭 . 利用分块矩阵求解非其次线性方程组J.辽宁师专报，2003.5(2) ：9 11 杨可 . 用加边矩阵求解非齐次线性方程组的尝试J.内蒙吉林学院学报 （自然科版） ， 1996.18(4): 65-68 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 21 页 - - - - - - - - -