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1、解排列组合问题常用方法（共8 页）1 解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由0 1,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字五位奇数？分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。末位和首位有特殊要求。先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有14C种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有34A种排列。由分步计数原理得113344288C C A。变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不
2、同的葵花在不受限制的四个花盒中共有24A种排列，再种其它葵花有55A种排列。由分步计数原理得25451440A A。二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复 合元素，再与其它元素进行排列，同时 在两对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理得522522480A A A。变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为。分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有25A种排列。三、相离问题插空法例3、一个
3、晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题。分两步。第一步排2个相声和3个独唱共有55A种排列，第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6 个空位中（包含首尾两个空位）共有46A种排列，由分步计数原理得545643200A A。变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为。分析：将2个新节目插入原定5个节目排好后形成的6 个空位中（包含首尾两个空位）共有26A种排列，由分步计数原理得2630A。四、定序问题除序（去重复）、空位、插入法例4
4、、7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有多少种不同的排法？分析：（除序法）除序法也就是倍缩法或缩倍法。对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。共有不同排法种数为：7733840AA。（空位法）设想有7把椅子，让除甲、乙、丙以外的四人就坐，共有47A种坐法；甲、乙、丙坐其余的三个位置，共有1种坐法。总共有47840A种排法。思考：可以先让甲乙丙就坐吗？（可以）（插入法）先选三个座位让甲、乙、丙三人坐下，共有37C种选法；余下四个空座位让其余四人就坐，共有44A种坐法。总共有3474840C A种排法。变式4、10人
5、身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少种不同的排法？分析：10人身高各不相等且从左至右身高逐渐增加，说明顺序一定。若排成一排，则只有一种排法；现排成前后两排，因此共有510252C种排法。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 8 页 -解排列组合问题常用方法（共8 页）2 五、平均分组问题倍除法（去重复法）例5、6本不同的书平均分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分法？分析：分三步取书有222642C C C种分法，但存在重复计数。记6本书为ABCDEF，若第一步取AB，第二步取CD，第三步取EF，该分法记为ABCDEF，则在222642C
6、 C C中还有ABCDEF，、ABCDEF，、ABCDEF，、ABCDEF，、ABCDEF，共33A种分法，而这些分法仅是ABCDEF，一种分法。总共应有22264233C C CA种分法。平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，分组后一定要除以nnA（n为均分的组数），避免重复计数。变式5、将13个球队分成3组，一组5个队，其它两组4个队，有多少种不同的分法？分析：分三步。第一步取5个队为一组，有513C种分法；余下8个队平均分成两组，每组4个队，有4484C C种分法，但存在重复计数。记8个队为ABCDEFGH，若第二步取ABCD，第三步取EFGH，该分法记为ABCDEFGH，则在
7、4484C C中还有EFGHABCD，共22A种分法，而这22A种分法是同一种分法。总共应有445841322C CCA种分法。变式5、10名学生分成3组，其中一组4人，另两组3人，正、副班长不能分在同一组，有多少种不同的分组方法？分析：总的分组方法：分三步。第一步取4人为一组，有410C种分法；余下6个人平均分成两组，每组3个人，有3363C C种分法，但存在重复计数。记6个人为ABCDEF，若第二步取ABC，第三步取DEF，该分法记为ABCDEF，则在3363C C中还有DEFABC，共22A种分法，而这22A种分法是同一种分法。总共应有3346310222100C CCA种分法。正、副班
8、长同分在4人一组：分三步。第一步在8人中取2人，加上正、副班长共4人为一组，有28C种分法；余下6个人平均分成两组，每组3个人，有3363C C种分法，但存在重复计数。记6个人为ABCDEF，若第二步取ABC，第三步取DEF，该分法记为ABCDEF，则在3363C C中还有DEFABC，共22A种分法，而这22A种分法是同一种分法。总共应有33263822280C CCA种分法。正、副班长同分在3人一组：分三步。第一步在8人中取4人，有48C种分法；第二步在余下的4人中取3人，有34C种分法；第三步余下1人加上正、副班长形成一组，只有一种分法。总共应有4384280C C种分法。减减得：总共有
9、33334243636310884222221002802801540C CC CCCC CAA种分法。变式5、某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排种数为。分析：分三步。前两步将转入的4名学生平均分成两组，每组2名学生，有2242C C种分法，但存在重复计数。记4名学生为ABCD，若第一步取AB，第二步取CD，该分法记为ABCD，则在2242C C中还有CDAB，共22A种分法，而这22A种分法是同一种分法。第三步将分成的两组分配到6个班级，有26A种分法。总共应有2224262290C CAA种分法。六、元素相同问题隔板法例6、
10、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 8 页 -解排列组合问题常用方法（共8 页）3 分析：隔板法也就是档板法。分两步。第一步：每班分配1个名额，只有1种分法；第二步：将剩下的3个名额分配给7个班。取716块相同隔板，连同3个相同名额排成一排，共9个位置。由隔板法知，在9个位置中任取6个位置排上隔板，有69C种排法。每一种插板方法对应一种分法，由分步计数原理知，共有6984C种分法。变式6、10个相同的球装入5个盒中，每盒至少一球，有多少中装法？分析：分两步。第一步：每盒先装入1个球，只有1种装法；第二步：
11、将剩下的5个球装入5个盒中。取514块相同隔板，连同5个相同的球排成一排，共9个位置。由隔板法知，在9个位置中任取4个位置排上隔板，有49C种排法。每一种插板方法对应一种装法，由分步计数原理知，共有49126C种装法。变式6、100 xyzw，求这个方程的自然数解的组数。分析：取4 13块相同隔板，连同100个相同的1排成一排，共103个位置。由隔板法知，在103个位置中任取3个位置排上隔板，有3103C种排法。每一种插板方法对应一组数，共有3103176851C组数。七、正难问题则反总体淘汰法（若直接法难，则用间接法）例7、从01 2 3 4 5 6 7 8 9，十个数字中取出三个，使其和为
12、不小于10的偶数，不同的取法有多少种？分析：直接求不小于10的偶数很困难，可用总体淘汰法。十个数字中有5个偶数5个奇数，所取的三个数字含有3个偶数的取法有35C，只含有1个偶数的取法有1255C C，和为偶数的取法共有123555C CC。淘汰和小于10的偶数共9种024、026、01 3、015、01 7、019、213、21 5、413，符合条件的取法共有1235559C CC。变式7、一个班有43名同学，从中任抽5人，正、副班长、团支部书记至少抽到一人的抽法有多少种?分析：未抽到正、副班长、团支部书记的抽法有540C种；正、副班长、团支部书记至少抽到一人的抽法有554340CC种。八、重
13、排问题求幂法例8、把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法？分析：完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有7种分法，把第二名实习生分配到车间也有7种分法，依此类推，由分步计数原理共有67种不同的分法。变式8、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为。分析：完成此事共分两步：把第一个新节目插入原定5个节目排后形成的六个空中，有6种插法；把第二个新节目插入前面6个节目排后形成的七个空中，有7种插法。由分步计数原理共有6 742种不同的插法。变式8、某8层大楼一楼电梯上来8名乘客，他们到各自的一层下电梯
14、，下电梯的下法有多少种？分析：完成此事共分八步：第一名乘客下电梯有7种下法，第二名乘客下电梯也有7种下法，依此类推，由分步计数原理共有87种不同的下法。九、环（圆）排问题直排法环形排列问题：如果在圆周上m个不同的位置编上不同的号码，那么从n个不同的元素的中选取m个不同的元素排在圆周上不同的位置，这种排列和直线排列是相同的；如果从n个不同的元素的中选取m个不同的元素排列在圆周上，位置没有编号，元素间的相对位置没有改变，不计顺逆方向，这种排列和直线排列是不同的，这就是环形排列的问题。环形排列数：一个m个元素的环形排列，相当于一个有m个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就是形成一个直线排列
15、，即一个m个元素的环形排列对应着m个直线排列。设从n个元素中取出m个元素组成的环形排列数为N个，则对应的直线排列数为mN个。又因为从n个元素中取出m个元素排成一排的排列数为mnA个，所以mnmNA，即1mnNAm。环形排列数公式：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 8 页 -解排列组合问题常用方法（共8 页）4 从n个元素中取出m个元素组成的环形排列数为1mnNAm。n个元素的环形排列数为1!1!nnnNAnnn。例9、8人围桌而坐，共有多少种坐法？分析：围桌而坐与坐成一排的不同点在于坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线（如图所示），其余7人共有
16、8 1!7!7 65 4 3 2 15040种不同的坐法。HFDCAABCDEABEGHGF变式9、6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？分析：可穿成6 1!5!54 3 2 1120种不同的钻石圈。十、多排问题单排法例10、8人排成前后两排，每排4人，其中甲、乙在前排，丙在后排，共有多少种排法？分析：8人排前后两排，相当于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排。先排前4个位置上的2个特殊元素甲、乙有24A种排法；再排后4个位置上的2个特殊元素丙有14A种；其余的5人在5个位置上任意排列有55A种。共有2154455760A A A种不同的排法。排好后，按前4人为前排，后4人为后排分成两排即可。变
17、式10、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位。现安排2人就坐，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同坐法的种数为。分析：前后两排共有23个座位。前排中间第5 6 7，号3个座位甲、乙二人不能坐。甲、乙二人不能左右相邻。前排第1 4 811，号和后排第112，号6个座位，甲、乙中任一人就坐，有16C种坐法，与之相邻座位只能排除一个，另一人有1123 3 1 118CC种坐法，共有11618C C种坐法；而其它233614个座位，甲、乙中任一人就坐，有114C种坐法，与之相邻座位要排除两个，另一人有1123 3 2 117CC种坐法，共有111417C C种坐法。总共有
18、11116181417108238346C CC C种不同坐法。十一、排列组合混合问题先选后排法例11、有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少种不同的装法？分析：第一步从5个球中选出2个组成复合元素，有25C种方法；第二部把4个元素（包含一个复合元素）装入4个不同的盒内，有44A种方法。由分步计数原理得2454240C A。变式11、一个班有6名战士，其中正、副班长各1人。现从中选4人完成四种不同的任务，每人完成一种任务，且正、副班长有且只有1人参加，则不同的选法有多少种？分析：正、副班长选一人，有12C种选法。4名战士选三人，有34C种选法。给选出的4人分配四种不同
19、任务，有44A种分配法。由分步计数原理得134244192C C A。十二、小集团问题先整体后局部法例12、用1 2 3 4 5，组成没有重复数字的五位数，其中恰有两个偶数在1 5，之间，这样的五位数有多少个？分析：两个偶数2 4，在15，之间是一个不能打破的小集团，3在这个小集团之外。把1 5 2 4，当作一个小集团与排列，有22A种排法。再排小集团内部。1 5，有22A种排法；2 4，也有22A种排法。由分步计数原理得2222228A A A。变式12、计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列。要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式
20、的种数为。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 8 页 -解排列组合问题常用方法（共8 页）5 分析：4幅油画是一个小集团，内部有44A种排法；5幅国画也是一个小集团，内部有55A种排法；两个小集团排列，有22A种排法；将1幅水彩画插入两个小集团排列后形成的一个空中，有1种排法。由分步计数原理得45245215760A A A。变式12、5男生和5女生站成一排照像，男生相邻且女生也相邻的排法有种。分析：5男生是一个小集团，内部有55A种排法；5女生也是一个小集团，内部也有55A种排法；两个小集团排列，有22A种排法。由分步计数原理得55255228800A A A。十三
21、、含约束条件问题合理分类与分步法例13、在一次演唱会上共10名演员，其中8人会唱歌，5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少种选派方法？分析：10名演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞，3人为全能演员。以选上唱歌人员为标准分三类，每一类中再分步：只会唱歌的5人中没有人选上唱歌人员，有2233C C种；只会唱歌的5人中只有1人选上唱歌人员，有112534C C C种；只会唱歌的5人中有2人选上唱歌人员，有2255C C种。由分类计数原理得，共有22112223353455199C CC C CC C种选派方法。解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程
22、分步。做到分类标准明确，贯穿解题过程始终；每一类中分步层次清楚，不重不漏。本题还有如下分类标准：以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准；以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准；以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准。变式13、从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有种。分析：以选上女生为标准分三类，每一类中再分步：选上女生1人，有1334C C种；选上女生2人，有2234C C种；选上女生3人，有3134C C种。由分类计数原理得，共有13223134343434C CC CC C种选派方法。本题还可以选上男生为标准分三类。变式13、3成人2小
23、孩乘船游玩，1号船最多乘3人，2号船最多乘2人，3号船只能乘1人，他们任选2只船或3只船，但小孩不能单独乘一只船，这3人共有多少种乘船方法？分析：分两大类。第一大类为选2只船，则只能选1号船和2号船。以1号船乘成人为标准，又可分为两小类：每一小类乘成人1人，有1232C C种；每二小类乘成人2人，有2132C C种。第二大类为选3只船。以1号船乘成人为标准，又可分为三小类，每一小类均有11212222C CC C种。由分类计数原理得，共有1221112132322222327C CC CC CC C种乘船方法。十四、简单问题实际操作穷举法例14、设有编号1，2，3，4，5的五个球和编号1，2，
24、3，4，5的五个盒子，现将5个球放入5个盒子内，要求每个盒子放1个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？分析：从5个球中取出2个与盒子对号，有25C种取法；剩下3球3盒不对号，利用实际操作法。如果剩下3，4，5号球，3，4，5号盒，3号球只能装入4号或5号盒，有两种装法；当3号球装4号盒时，则4，5号球，只有1种装法；同理3号球装5号盒时，4，5号球有也只有1种装法。由分步计数原理有252C种。变式14、同一寝室4 人，每人写一张贺年卡集中起来，然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？分析：设甲、乙、丙、丁4 人，甲可拿乙、丙、丁的贺年卡。分
25、三类。第一类：甲拿乙的，则乙可拿甲、丙、丁的，无论乙拿甲（或丙或丁）的，丙、丁的拿法都唯一，有3种。第二类：甲拿丙的，则乙只能拿甲、丁的。若乙拿甲的，丙、丁的拿法唯一，有1种；若乙拿丁的，则丙拿甲丁拿乙或丙拿乙丁拿甲，有2种。小计有3种。第三类：与第二类同理，有3种。由分类计数原理知，共有3339种。十五、数字排序问题查字典法例15、由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 8 页 -解排列组合问题常用方法（共8 页）6 分析：数字排序问题可用查字典法。从高位向低位查，依次求出其符合要求的个数，根
26、据分类计数原理求出其总数。首位（十万位）为5或4，各有55A个；首位为3，万位为5或4，各有44A个；首位为3，万位为2，千位为5，有33A个；首位为3，万位为2，千位为4，百位为5，有22A个；首位为3，万位为2，千位为4，百位为5，十位为1，有11A个。共有543215432122297AAAAA个。变式15、用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复的四位偶数，将这些数字从小到大排列起来，第71个数是。分析：千位为1，个位为0，有2412A个；千位为1，个位为2，有2412A个；千位为1，个位为4，有2412A个；千位为2，个位为0，有2412A个；千位为2，个位为4，有2412A个
27、；千位为3，十位为0，个位为2（或4），各有3个。共66个。接下来有3102，3104，3120，3124，3140，第71个数是3140。十六、复杂问题分解与合成法分解与合成法是解排列组合问题的一种最基本的解题方法。把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决，然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成。从而得到问题的答案。每个比较复杂的问题，都要用到这种解题方法。例16、30030能被多少个不同的偶数整除？分析：先把30030分解成质因数的乘积形式300302 3 5 7 11 13。依题意可知：偶因数必先取2，再从其余5个因数中任取若干个组成乘积。所有的偶因数为：1234
28、555555CCCCC。变式16、正方体的8个顶点可连成多少对异面直线？分析：从8个顶点中任取4个顶点构成四面体共有481258C个，每个四面体有3对异面直线，正方体的8个顶点可连成3 58174对异面直线。十七、复杂问题转化归结法（化归法）例17、25人排成5 5方阵，现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不同的选法有多少种？分析：将问题退化成9人排成3 3方阵，现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一列，有多少种不同的选法？这样每行（列）有且只有1人，从其中的一行中选取1人后，把这人所在的行列都划掉，如此继续下去，从3 3方队中选3人的方法有111321C C C种。再从55方阵
29、选出3 3方阵便可解决问题。从55方队中选取3行3列，有3355C C选法。所以从5 5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有3311155321C C C C C选法。变式17、某城市的街区由12个全等的矩形区域组成，其中实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少种？分析：将问题退化成从A走到B的最短路径需要七步，四步向右三步向上，共有37C（或47C）35种。十八、复杂分类问题表格法例18、有红、黄、兰色的球各5只，分别标有A、B、C、D、E五个字母，现从中取5只，要求各字母均有且三色齐备，则共有多少种不同的取法？分析：一些复杂的分类选取题，要满足的条件比较多，无从入手，经常出现重复遗漏的情况
30、，用表格法，则分类明确，能保证题中须满足的条件，达到好的效果。红1 1 1 2 2 3 黄1 2 3 1 2 1 兰3 2 1 2 1 1 取法1415CC2415CC3415CC1325CC2325CC1235CCA B 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 8 页 -解排列组合问题常用方法（共8 页）7 十九、运算困难问题树图法例19、3人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲的手中，则不同的传球方式有种？解析：此题不易用公式进行运算，用树图法会收到意想不到的结果。10N甲乙丙丙乙甲甲甲甲乙乙乙丙丙丙丙丙丙丙丙乙乙乙乙乙甲甲甲甲甲甲甲甲
31、甲甲甲甲甲甲甲甲变式19、分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i号人不坐i号椅12 3 4 5i，的不同坐法有多少种？解析：树图法如下：44N45315341543 4515141532413531134513431254145252415234251125211245 21412421 2531235321524 3 25112521231325132312341234321245 3 2141242123132413231二十、不易理解问题构造模型法例20、马路上有编号为12 3 4 5 6 7 8 9，的九只路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关掉两端的2
32、盏，求满足条件的关灯方法有多少种？分析：此问题可转化为排队模型。在6盏亮灯形成的5个空隙中，插入3盏不亮的灯，有3510C种。一些不易理解的排列组合问题可转化为熟悉的模型，使问题直观化。变式20、某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）分析：每人坐一个座位,还剩6个。把这6个座位,插入4个人,且两头必须有座位,两人之间至少有一个座位。用表示6个空座位,用0000表示4个人。0 0 0 0；0 000；0 00 0；00 0 0；0 0 0 0。有5种。又，这4个人的坐法有顺序,共有：445120A种。此问题也可转化为排队模型。每人坐一个座位,还剩6个。这6个座位排成一排，可迭相邻的两个座位，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 8 页 -解排列组合问题常用方法（共8 页）8 有5种迭法。跌后有5个座位形成4个空隙（不包括两端），插入4个人，有45C种。又，这4个人的坐法有顺序,共有：4454120C A种。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 8 页 -