《2022年排列组合问题经典题型 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年排列组合问题经典题型 .pdf（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 1 页 共 9 页排列组合问题经典题型与通用方法1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1.,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（）A、60 种B、48 种C、36 种D、24 种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440 种B、3600 种C、4820 种D、4800 种例 3.已知集合1,2,3,19,20A，集合
2、1234,Ba aaa，且BA，若|1(,1,2,3,4)ijaai j，则满足条件的集合B有多少个？3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 4.（1）A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24 种B、60 种C、90 种D、120 种（2）由数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210 种B、300 种C、464种D、600 种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，
3、如此继续下去，依次即可完成.例 5.将数字 1，2，3，4 填入标号为1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6 种B、9 种C、11 种D、23 种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例 6.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2 人承担，乙丙各需一人承担，从10 人中选出4 人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A、1260 种B、2025 种C、2520 种D、5040 种（2）12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4 人，则不同的分配方案有（）A、4441284C C C种B、44
4、412843C C C种C、4431283C C A种D、444128433C C CA种6.全员分配问题分组法:例 7.（1）4 名优秀学生全部保送到3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5 本不同的书，全部分给4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480 种B、240 种C、120 种D、96 种7.名额分配问题隔板法:例 8：10 个三好学生名额分到7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 9 页 -第 2 页 共 9 页例 9.马路上有编号为1，2，3，9 九只路灯，
5、现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？8.限制条件的分配问题分类法:例 10.现安排甲、乙、丙、丁、戊5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是A 152B.126C.90D.549.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。例 11（1）从 1，2，3，100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7 整除，这两个数的取法（不
6、计顺序）共有多少种？（2）从 1，2，3，100 这 100 个数中任取两个数，使其和能被4 整除的取法（不计顺序）有多少种？例 12.电子表 10 点 20 分 08 秒时，显示的数字是10:20:08，那么，从 8 点到 10 点内，电子表6个数码均不相同的情况有多少种?10.交 叉 问 题 集 合 法：某 些 排 列 组 合 问 题 几 部 分 之 间 有 交 集，可 用 集 合 中 求 元 素 个 数 公 式()()()()n ABn An Bn AB例 13.从 6 名运动员中选出4 人参加 4100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？11.定位问题优
7、先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。例 14.现 1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例 15.（1）6 个不同的元素排成前后两排，每排3 个元素，那么不同的排法种数是（）A、36 种B、120 种C、720 种D、1440 种（2）8 个不同的元素排成前后两排，每排 4 个元素，其中某 2 个元素要排在前排，某 1 个元素排在后排，有多少种不同排法？13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:例 16.从 4 台甲型和 5 台乙型电
8、视机中任取3 台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）A、140 种B、80 种C、70 种D、35 种14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例 17.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？（2）9 名乒乓球运动员，其中男5 名，女 4名，现在要从中选4 人进行混合双打训练，有多少种不同的选法？15.几何问题:例 18.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（）A、70 种B、64 种C、58 种D、52 种（2）四面体的顶点和各棱中点共10 点，在其中取4 个不共面的点
9、，不同的取法共有（）A、150 种B、147 种C、144 种D、141 种（3）记正方体的各条棱的中点构成的集合为M，则过且仅过集合M 的三个点的平面有多少个？（4）正方体 8 个顶点可连成多少对异面直线？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 9 页 -第 3 页 共 9 页16.圆排问题单排法:把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而无首位、末位之分，下列n个普通排列：12323411,;,;,nnnna a aa a a aaa
10、 aa在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n个元素的圆排列数有!nn种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的1n元素全排列.例 19.有 5 对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有nm种方法.例 20.把 6 名实习生分配到7 个车间实习共有多少种不同方法？19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:例 21.某电脑用户计划使用不超过500 元的资金购买单价分别60 元、70 元的单片软件和盒装磁盘，根据需要
11、，软件至少买3 片，磁盘至少买2 盒，则不同的选购方法有（）A5 种B6 种C7 种D8 种例 22从 1 到 100 的一百个自然数中，每次取出两个数，使其和大于100，这样的取法共有多少种？20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:例 23.（1）30030 能被多少个不同偶数整除？（2）设12,na aa是由1,2,n的一个排列，把排在ia的左边且比ia小的数的个数称为ia的顺序数(1,2,)in。如在排列6,4,5,3,2,1中，5 的顺序数为1，3 的顺序数为0.则在由1,2,8这八个数字构成的全排列中，同时满足8 的顺序数为2、7 的顺序数为3、5 的顺序数为3 的不同排列的种数
12、为多少？21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.例 24.（1）圆周上有 10 点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个？（2）某城市的街区有12 个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A 到 B 的最短路径有多少种？22.全错位排列问题公式法:全错位排列问题（贺卡问题，信封问题）记住公式即可瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：用A、B、C 表示写着 n 位友人名字的信封，a、b、c表示 n 份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作f(n)。假设把 a 错装进 B 里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：（1）b
13、 装入 A 里，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b 无关，应有f(n-2)种错装法。（2）b 装入 A、B 之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a 之外的）n1 个信纸 b、c装入（除 B 以外的）n 1 个信封 A、C，显然这时装错的方法有f(n-1)种。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 9 页 -第 4 页 共 9 页总之在 a 装入 B 的错误之下，共有错装法f(n-2)+f(n-1)种。a 装入 C，装入 D 的 n2 种错误之下，同样都有 f(n-2)+f(n-1)种错装法，因此得到一个递推公式：f(n)=(n-1)f(n-1)+f(n-2)，
14、分别带入 n=2、3、4 等可推得结果。也可用迭代法推导出一般公式：1111()!1(1)1!2!3!nf nnn例 25.设有编号为1，2，3，4，5 的五个球和编号为1，2，3，4，5 的盒子现将这5 个球投入5 个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？例 26、5 位同学原来坐成一排，现让他们重新坐，则至多有两位同学坐在其原来的位置的不同的坐法是多少？23.多人传球问题：（构造递推关系）例 27、12,na aa（3n）n个人传球，第一次由1a开始传球，可传给其他任何一个人，第二次由拿球者再传给其他任何一个人，如此继续，则第k次球仍回到1a
15、的手中的传球方法种数是多少？24.上台阶问题：例 28、10 级台阶，某人可一步跨一级，也可跨两级，也可跨三级。（1）他 6 步就可上完台阶的方法数是多少？（2）他上完台阶的方法总数是多少？25.方程的正整数解的个数问题：（隔板法）例 29.方程12nxxxk（,*k nN，kn）的正整数解有多少个？有多少非负整数解个？例 30.将 20 个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5 的五个盒子中。（1）若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？（2）若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？（3）若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？26.配对（配凑）问题：例
16、31.5 双相异的鞋共10 只，现随机地取出6只，恰好能配成2 双鞋的取法是多少？例 32.50名选手参加乒乓球淘汰赛比赛,需要打多少场才能产生冠军?淘汰赛比赛规则是:要淘汰 1名选手必须进行 1 场比赛;反之,每进行 1场比赛则淘汰1 名选手。例 33.有 11 名翻译人员，其中5 名是英语翻译人员，4 名是日语翻译人员，另2 人英、日语均精通。现从中选出 8 人组成两个翻译小组，其中4 人翻译英语，另4 人翻译日语，则有多少种不同的选派方式？27.染色问题：例 34.把圆分成 10 个不相等的扇形,并且用红、黄、蓝三种颜色给扇形染色,但不允许相邻的扇形有相同的颜色,问共有多少种染色法?例
17、35.在如图所示的六个空格里涂上红黄蓝三种颜色，每种颜色只能涂两次，要求相邻空格不同色，请问一共有多少种涂法？例 36.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6 个部分（如图），现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有多少种？（变式：若要栽种5 种颜色的花？）123456名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 9 页 -第 5 页 共 9 页排列组合问题经典题型答案1.解析：把,A B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4 人的全排列，4424A种，答案：D.2.解析：除甲乙外，其余5 个排列数为55A种，再用甲
18、乙去插6 个空位有26A种，不同的排法种数是52563600A A种，选B.3.易知1234,a aa a互不相等且不相邻，则有4172380C。4.解析：（1）B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5 个元素全排列数的一半，即551602A种，选B.（2）按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4 共 5 种情况，分别有55A个，1131131131343333323333,A A AA A AA A AA A个，合并总计300 个,选B（65651()3002AA种）5.解析：先把 1 填入方格中，符合条件的有3 种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有
19、三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有331=9 种填法，选B.6.解析：（1）先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务，再从剩下的8 人中选 1 人承担乙项任务，第三步从另外的 7 人中选 1 人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C种，选C.（2）答案：A.7.（1）234336C A（2）2454240C A，答案：B.8.解析：10 个名额分到7 个班级，就是把10 个名额看成10 个相同的小球分成7 堆，每堆至少一个，可以在 10 个小球的 9 个空位中插入6 块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C种.9.解析：把此
20、问题当作一个排对模型，在6 盏亮灯的 5 个空隙中插入3 盏不亮的灯35C种方法,所以满足条件的关灯方案有10 种.说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.10.11.解析：（1）解析：被取的两个数中至少有一个能被7 整除时，他们的乘积就能被7 整除，将这100 个数组成的集合视为全集I,能被 7整除的数的集合记做7,14,21,98A共有 14 个元素,不能被 7 整除的名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 9 页 -第 6 页 共 9 页数组成的集合记做1,2,3,4,100A共有 86 个元素；由此可知
21、，从A中任取 2 个元素的取法有214C，从A中任取一个，又从A中任取一个共有111486C C，两种情形共符合要求的取法有2111414861295CC C种.（2）解析：将1,2,3,100I分成四个不相交的子集，能被4 整除的数集4,8,12,100A；能被 4 除余 1 的数集1,5,9,97B，能被 4 除余 2 的数集2,6,98C，能被 4 除余 3 的数集3,7,11,99D，易见这四个集合中每一个有25 个元素；从A中任取两个数符合要；从,B D中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有2112252525251225
22、CC CC种.12.解：（1）08：ab：cd,其中 a、c 位可填 1,2，3,4,5；b、d 位可填 1,2,3,4,5,6,7,9.（2）09：ab：cd,其中 a、c 位可填 1,2，3,4,5；b、d 位可填 1,2,3,4,5,6,7,8.先填 a、c，再填 b、d，共225621200A A13.解析：设全集=6 人中任取 4 人参赛的排列，A=甲跑第一棒的排列，B=乙跑第四棒的排列，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n In An Bn A B43326554252AAAA种.14.解析：老师在中间三个位置上选一个有13A种，4 名同学在其余4 个位置上有
23、44A种方法；所以共有143472A A种。.15.解析：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6 个不同的元素排成一排，共66720A种，选C.（2）解析：看成一排，某2 个元素在前半段四个位置中选排2 个，有24A种，某 1 个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A种，其余 5个元素任排5 个位置上有55A种，故共有1254455760A A A种排法.16.解析 1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有33394570CCC种,选.C解析 2：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1 台乙型 2 台；甲型 2 台乙型
24、1 台；故不同的取法有2112545470C CC C台,选C.17.解析：（1）先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有24C种，再排：在四个盒中每次排3 个有34A种，故共有2344144C A种.（2）先取男女运动员各2 名，有2254C C种，这四名运动员混和双打练习有22A中排法，故共有222542120C C A种.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 9 页 -第 7 页 共 9 页18.解析：（1）正方体 8 个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C四面体，但6 个表面和 6 个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有481258C
25、个.（2）解析：10 个点中任取4 个点共有410C种，其中四点共面的有三种情况：在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为46C，四个面共有464C个；过空间四边形各边中点的平行四边形共3 个；过棱上三点与对棱中点的三角形共6 个.所以四点不共面的情况的种数是44106436141CC种.（3）56 个。81 4622656。一个面内取GH 两点，另一个点取F 时，即 8 个角；一个面内取GH 两点，另一个点取K 时，22624 个；一个面内取HI 两点，那另一个点只能取A 或 C，22624 个（4）因为四面体中仅有3 对异面直线，可将问题分解成正方体的8 个顶点可构成多少个不同的四面体，
26、从正方体 8 个顶点中任取四个顶点构成的四面体有481258C个，所以8 个顶点可连成的异面直线有3 58=174 对.19.解析：首先可让5 位姐姐站成一圈，属圆排列有44A种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2 种方式，故不同的安排方式5242768种不同站法.说明：从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有1mnAm种不同排法.20.解析：完成此事共分6 步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7 种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7 种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.21.解析：C。设购买软件x片、磁盘y盒，则3,26070500
27、,xyxyx yN，所以3,2,3,4xy；4x，2,3,4y；5,2xy。故共 7 种。22.解析：2(1249)502500(包括两个数不同和相同的情形！)23.解析：（1）先把 30030 分解成质因数的形式：30030=2 3 5 7 11 13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13 这 5 个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为01234555555532CCCCCC个（或51 232）.（2）分析知 7 必排在 8 之后，5 必排在 7 之后.且 8 的前面只有2 个数，8、7 之间只有一个小于7 的数，6 或在 7 之前，或在7、5 之间，或在5 之后。名师资料总结-精
28、品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 9 页 -第 8 页 共 9 页第一种情况：6 在 7 之前，形如：#8#7#5#，143472C A；第 2 种情况：6 在 7、5 之间，形如：#8#765#，4424A；第 3 种情况：6 在 5 之后，形如：#8#75#，142448C A所以共 144 种。24.解析：（1）因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10 个点可以确定多少个不同的四边形，显然有410C个，所以圆周上有10 点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有410210C个.（2）解
29、析：可将图中矩形的一边叫一小段，从A到B最短路线必须走7 小段，其中：向东4 段，向北3 段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4 段的走法，便能确定路径，因此不同走法有4735C种.25.解析：从 5 个球中取出2 个与盒子对号有25C种，还剩下3个球与 3 个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5 号球与 3，4，5 号盒子时，3 号球不能装入3 号盒子，当3 号球装入4 号盒子时，4，5 号球只有 1 种装法，3 号球装入 5 号盒子时，4，5 号球也只有1 种装法，所以剩下三球只有2 种装法，因此总共装法数为25220C种.26.解：错排问题，分类解决：01
30、2555(5)(4)(3)109C fC fC f27.解析：设第k次球仍回到1a的手中的传球方法种数是ka，则120,1aan，且11(1)kkkana，所以1111(1)(1)kkkkanannn(1)(1)(1)kkknnan（*kN）。28.解析：（1）设跨 1 级、2 级、3 级的步数分别为,x y z，则62310 xyzxyz，解得2,3,44,2,00,1,2xyz，故方法数为2324663615601590CC CC（2）设上 完n级台阶的方 法数为()f n，则(1)1,(2)2,(3)4fff，且()(1)(2)(3)(4)f nf nf nf nn，(4)7,(5)13
31、,(6)24,(7)44,(8)81,(9)149,(10)274fffffff29解析：11nkC；11nk nC30解析：（1）4193876C；（2）424C；（3）先在编号为1，2，3，4，5 的五个盒子中依次放入0,1,2,3,4个球，再只要保证余下的10 个球每个盒子至少放一个，则49126C名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 9 页 -第 9 页 共 9 页31.解析：222532120CC32.解析：49.33.解析：44314224474264253512030185C CC C CC C C34.解析：前9 个扇形依次染色并不难,但第 10 个扇形
32、既与第九个相邻也与第1 个相邻,这两个扇形颜色可能相同也可能不相同,所以直接用记数原理有困难,但建立递推关系并不难设将圆分成n个不相等的扇形时,满足题设的染法有an种 依次记 n 个扇形为 s1,sn.显然 a1=3.当 n=2 时，先对 s1染色，有 3 种方法；s1染色后再对s2染色，有 2 种方法，故a2=6.当 n3 时，我们依次对s1,s2,sn染色对 s1染色，有 3 种方法，对s1染色后再对s2染色有 2 种方法，同样的对s3,s4,sn分别有 2 种方法，由乘法原理共有32n-1种染色方法但这样做sn与 s1有可能同色即在32n-1种染色方法中包含了sn与 s1同色的染色方法对
33、于sn与 s1同色的情形，拆去sn与 s1的边界使sn与 s1合并，便得到将圆分为n-1 个扇形时同色不相邻的染色方法，这样的情况有an-1种故 an=3 2n-1-an-1(n 3)所以36a，n3 时，22(1)nnna，a10=210+2=102635.解：由题意，红黄蓝三种颜色，每种颜色恰好涂了两次，分为两类：第一类可按一下步骤进行：第 1 步：涂第一格，有3 种方法；第 2 步：涂第二格，有2 种方法；第 3 步：用与第一格不同的颜色涂第三格，有1 种方法；第 4 步：第四格可以涂与第三格颜色不同的，有2 种方法。第 5 步：用不同的两色涂剩下的两格，有2 种方法；所以有 3*2*1*2*2 24 种第二类可按一下步骤进行：第 1 步：涂第一格，有3 种方法；第 2 步：涂第二格，有2 种方法；第 3 步：用与第一格相同的颜色涂第三格，有1 种方法；第 4 步：第四格只能用没有用过的颜色涂，有种方法。第 5 步：第五格只能用涂第二格的颜色，第六格只能用涂第四格的颜色，有1 种方法；所以有 3*2*1*1*1 6 种所以，共有24+630 种涂法。36.解析:注意 4 种颜色的花都有种上。34(1 112)120A（变式：311532(32)2960A C C）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 9 页 -