2023年排列组合方法大全.pdf

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1、解排列组合方法大全 21 排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1.,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有（）A、60 种 B、48 种 C、36 种 D、24 种 解析：把,A B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A 种，答案：D 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻

2、）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440 种 B、3600 种 C、4820 种 D、4800 种 解析：除甲乙外，其余 5 个排列数为55A种，再用甲乙去插 6 个空位有26A种，不同的排法种数是52563600A A 种，选B.3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3.,A B C D E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法种数是（）A、24 种 B、60 种

3、 C、90 种 D、120 种 解析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是 5 个元素全排列数的一半，即551602A 种，选B.4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例 4.将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（B ）A、6 种 B、9 种 C、11 种 D、23 种 解析：先把 1 填入方格中，符合条件的有 3 种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，

4、只有一种填法，共有 331=9 种填法，选B.5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例 5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需一人承担，从 10 人中选出4 人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A、1260 种 B、2025 种 C、2520 种 D、5040 种 解析：先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务，再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项任务，第三步从另外的 7 人中选 1 人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C 种，选C.（2）12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 4 人，则不同

5、的分配方案有（A ）A、4441284C C C种 B、44412843C C C种 C、4431283C C A种 D、444128433C C CA种 答案：A.6.全员分配问题分组法:例 6.（1）4 名优秀学生全部保送到 3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？邻问题捆绑法规定相邻的几个元素捆绑成一个组当作一个大元素参与排排元素相离即不相邻问题可先把无位置要求的几个元素全排列再把规定再用甲乙去插个空位有种不同的排法种数是种选定序问题缩倍法在排列解析：把四名学生分成 3 组有24C种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A种，故共有234336C A 种方法.说明：分

6、配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5 本不同的书，全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480 种 B、240 种 C、120 种 D、96 种 答案：B.7.名额分配问题隔板法:例 7：10 个三好学生名额分到 7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10 个名额分到 7 个班级，就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆，每堆至少一个，可以在 10 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某

7、系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：若甲乙都不参加，则有派遣方案48A种；若甲参加而乙不参加，先安排甲有 3 种方法，然后安排其余学生有38A方法，所以共有383A；若乙参加而甲不参加同理也有383A种；若甲乙都参加，则先安排甲乙，有 7 种方法，然后再安排其余 8 人到另外两个城市 有28A种，共 有287A方 法.所 以 共 有 不 同 的 派 遣 方 法 总 数 为433288883374088AAAA种.9.多元问题分类法：元素

8、多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.邻问题捆绑法规定相邻的几个元素捆绑成一个组当作一个大元素参与排排元素相离即不相邻问题可先把无位置要求的几个元素全排列再把规定再用甲乙去插个空位有种不同的排法种数是种选定序问题缩倍法在排列例 9（1）由数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210 种 B、300 种 C、464 种 D、600 种 解析：按题意，个位数字只可能是 0，1，2，3，4 共 5 种情况，分别有55A个，1131131131343333323333,A A AA A AA A AA A个，合

9、并总计 300 个,选B.（2）从 1，2，3，100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被 7 整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被 7 整除时，他们的乘积就能被 7 整除，将这100 个数组成的集合视为全集 I,能被 7 整除的数的集合记做7,14,21,98A共有 14个元素,不能被 7 整除的数组成的集合记做1,2,3,4,100A共有 86 个元素；由此可知，从A中任取 2 个元素的取法有214C，从A中任取一个，又从A中任取一个共有111486C C，两种情形共符合要求的取法有2111414861295CC C种.（3）从 1，

10、2，3，100 这 100 个数中任取两个数，使其和能被 4 整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将1,2,3,100I 分成四个不相交的子集，能被 4 整除的数集4,8,12,100A；能被 4 除余 1 的数集1,5,9,97B，能被 4 除余 2 的数集2,6,98C，能被 4 除余 3 的数集3,7,11,99D，易见这四个集合中每一个有 25 个元素；从A中任取两个数符合要；从,B D中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525CC CC种.10.交叉问题集合法：某 些 排 列 组 合 问 题 几 部

11、分 之 间 有 交 集，可 用 集 合 中 求 元 素 个 数 公 式邻问题捆绑法规定相邻的几个元素捆绑成一个组当作一个大元素参与排排元素相离即不相邻问题可先把无位置要求的几个元素全排列再把规定再用甲乙去插个空位有种不同的排法种数是种选定序问题缩倍法在排列()()()()n ABn An Bn AB.例 10.从 6 名运动员中选出 4 人参加 4100 米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=6 人中任取 4 人参赛的排列，A=甲跑第一棒的排列，B=乙跑第四棒的排列，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n In An Bn AB4

12、3326554252AAAA种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。例 11.1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？解析：老师在中间三个位置上选一个有13A种，4 名同学在其余 4 个位置上有44A种方法；所以共有143472A A 种。.12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例 12.（1）6 个不同的元素排成前后两排，每排 3 个元素，那么不同的排法种数是（）A、36 种 B、120 种 C、720 种 D、1440 种 解析：前后两排可看成一排的两段，因此

13、本题可看成 6 个不同的元素排成一排，共66720A 种，选C.（2）8 个不同的元素排成前后两排，每排 4 个元素，其中某 2 个元素要排在前排，某 1 个元素排在后排，有多少种不同排法？解析：看成一排，某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个，有24A种，某 1 个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A种，其余 5 个元素任排 5 个位置上有55A种，故共有1254455760A A A 种排法.邻问题捆绑法规定相邻的几个元素捆绑成一个组当作一个大元素参与排排元素相离即不相邻问题可先把无位置要求的几个元素全排列再把规定再用甲乙去插个空位有种不同的排法种数是种选定序问题缩倍法在排列13

14、.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:例 13.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有（）A、140 种 B、80 种 C、70 种 D、35 种 解析 1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有33394570CCC种,选.C 解析 2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型 1 台乙型 2 台；甲型2 台乙型 1 台；故不同的取法有2112545470C CC C台,选C.14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取

15、后排法.例 14.（1）四个不同球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有24C种，再排：在四个盒中每次排 3 个有34A种，故共有2344144C A 种.（2）9 名乒乓球运动员，其中男 5 名，女 4 名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？解析：先取男女运动员各 2 名，有2254C C种，这四名运动员混和双打练习有22A中排法，故共有222542120C C A 种.15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.例 15.（1）以正方体

16、的顶点为顶点的四面体共有（）A、70 种 B、64 种 C、58 种 D、52 种 解析：正方体 8 个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C四面体，但 6 个表面和 6邻问题捆绑法规定相邻的几个元素捆绑成一个组当作一个大元素参与排排元素相离即不相邻问题可先把无位置要求的几个元素全排列再把规定再用甲乙去插个空位有种不同的排法种数是种选定序问题缩倍法在排列个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有481258C 个.（2）四面体的顶点和各棱中点共 10 点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法共有（）A、150 种 B、147 种 C、144 种 D、141 种 解析：10 个

17、点中任取 4 个点共有410C种，其中四点共面的有三种情况：在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为46C，四个面共有464C个；过空间四边形各边中点的平行四边形共 3 个；过棱上三点与对棱中点的三角形共 6 个.所以四点不共面的情况的种数是44106436141CC 种.16.圆排问题单排法:把 n 个不同元素放在圆周 n 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n个普通排列：12323411,;,;,nnnna a aa a a aaa aa在圆排列中只算

18、一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n 个元素的圆排列数有!nn种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的 n-1 元素全排列.例 16.5 对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？解析：首先可让 5 位姐姐站成一圈，属圆排列有44A种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有 2 种方式，故不同的安排方式5242768种不同站法.说明：从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有1mnAm种不同排法.17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排邻问题捆绑法规定相邻的几个元素捆绑成一个组当作一个大元素参与排排元素相离即

19、不相邻问题可先把无位置要求的几个元素全排列再把规定再用甲乙去插个空位有种不同的排法种数是种选定序问题缩倍法在排列元素的位置，一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有nm种方法.例 17.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习共有多少种不同方法？解析：完成此事共分 6 步，第一步；将第一名实习生分配到车间有 7 种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有 7 种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.18.复杂排列组合问题构造模型法:例 18.马路上有编号为 1，2，3，9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯

20、方案有多少种？解析：把此问题当作一个排对模型，在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯35C种方法,所以满足条件的关灯方案有 10 种.说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:例 19.设有编号为 1，2，3，4，5 的五个球和编号为 1，2，3，4，5 的盒子现将这 5个球投入 5 个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？解析：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有25C种，还剩下 3 个球与 3 个盒子序号不能对应，利用枚举

21、法分析，如果剩下 3，4，5 号球与 3，4，5 号盒子时，3 号球不能装入 3号盒子，当 3 号球装入 4 号盒子时，4，5 号球只有 1 种装法，3 号球装入 5 号盒子时，4，5 号球也只有 1 种装法，所以剩下三球只有 2 种装法，因此总共装法数为25220C种.20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:例 20.（1）30030 能被多少个不同偶数整除？解析：先把 30030 分解成质因数的形式：30030=23571113；依题意偶因数 2 必取，3，5，7，11，13 这 5 个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为 邻问题捆绑法规定相邻的几个元素捆绑成一个组当作一个大元素参

22、与排排元素相离即不相邻问题可先把无位置要求的几个元素全排列再把规定再用甲乙去插个空位有种不同的排法种数是种选定序问题缩倍法在排列01234555555532CCCCCC个.（2）正方体 8 个顶点可连成多少队异面直线？解析：因为四面体中仅有 3 对异面直线，可将问题分解成正方体的 8 个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体 8 个顶点中任取四个顶点构成的四面体有481258C 个，所以 8 个顶点可连成的异面直线有 358=174 对.21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.例 21.（1）圆周上有 10 点，以这些点为端点的

23、弦相交于圆内的交点有多少个？解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的 10 个点可以确定多少个不同的四边形，显然有410C个，所以圆周上有 10 点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有410C个.（2）某城市的街区有 12 个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A到B的最短路径有多少种？解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从A到B最短路线必须走 7 小段，其中：向东 4 段，向北 3 段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过 4 段的走法，便能确定路径，因此不同走法有47C种.A B 邻问题捆绑法规定相邻的几个元素捆绑成一个组当作一个大元素参与排排元素相离即不相邻问题可先把无位置要求的几个元素全排列再把规定再用甲乙去插个空位有种不同的排法种数是种选定序问题缩倍法在排列 邻问题捆绑法规定相邻的几个元素捆绑成一个组当作一个大元素参与排排元素相离即不相邻问题可先把无位置要求的几个元素全排列再把规定再用甲乙去插个空位有种不同的排法种数是种选定序问题缩倍法在排列