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1、1 高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。教学目标1. 进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。2. 掌握解决排列组合问题的常用策略; 能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力3. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1. 分类计数原理 (加法原理 ) 完成一件事，有n类办法，在第 1 类办法中有1m种不同的方法，在第2 类办法中有2m种不同的方法，在第n类办
2、法中有nm种不同的方法，那么完成这件事共有：12nNmmm种不同的方法2. 分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第 1 步有1m种不同的方法，做第2 步有2m种不同的方法，做第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事共有：12nNmmm种不同的方法3. 分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1. 认真审题弄清要做什么事2. 怎样做才能完成所要做的事, 即采取分步还是分类, 或是分步与分类同时进行, 确定分多少步及多
3、少类。3. 确定每一步或每一类是排列问题( 有序 )还是组合 (无序 ) 问题, 元素总数是多少及取出多少个元素 . 4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一. 特殊元素和特殊位置优先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解: 由于末位和首位有特殊要求, 应该优先安排 , 以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A练习题 :7 种不同的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中间， 也不种在两端的花盆里，问有多少不同
4、的种法？C14A34C13位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法, 若以元素分析为主, 需先安排特殊元素, 再处理其它元素. 若以位置分析为主, 需先满足特殊位置的要求, 再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 2 二. 相邻元素捆绑策略例 2. 7 人站成一排 , 其中甲乙相邻且丙丁相邻 , 共有多少种不同的排法 .
5、 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A种不同的排法乙甲丁丙练习题 : 某人射击 8 枪， 命中 4 枪， 4 枪命中恰好有 3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三. 不相邻问题插空策略例 3. 一个晚会的节目有 4个舞蹈 ,2 个相声 ,3 个独唱, 舞蹈节目不能连续出场 , 则节目的出场顺序有多少种？解: 分两步进行第一步排2 个相声和 3 个独唱共有55A种，第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有种46A不同的方法
6、, 由分步计数原理 , 节目的不同顺序共有5456A A种练习题：某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单， 开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30 四. 定序问题倍缩空位插入策略例 4.7 人排队 , 其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法解:( 倍缩法 ) 对于某几个元素顺序一定的排列问题, 可先把这几个元素与其他元素一起进行排列 , 然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数, 则共有不同排法种数是：7373/AA( 空位法 ) 设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A种方法，其余的三个位置甲乙丙共有
7、 1 种坐法，则共有47A种方法。思考: 可以先让甲乙丙就坐吗 ? （插入法) 先排甲乙丙三个人, 共有1 种排法 , 再把其余4 四人依次插入共有方法练习题 :10 人身高各不相等 , 排成前后排， 每排 5 人, 要求从左至右身高逐渐增加， 共有多少排法？510C五. 重排问题求幂策略例 5. 把 6 名实习生分配到 7 个车间实习 , 共有多少种不同的分法解: 完成此事共分六步 : 把第一名实习生分配到车间有 7 种分法 . 把第二名实习生分配到车间也有 7 种分依此类推 , 由分步计数原理共有67种不同的排法要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合
8、并为一个元素 ,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 3 练习题：1某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42 2. 某 8 层大楼一楼电梯上来8 名乘客人 , 他
9、们到各自的一层下电梯 , 下电梯的方法87六. 环排问题线排策略例 6. 8 人围桌而坐 , 共有多少种坐法 ? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A并从此位置把圆形展成直线其余7 人共有（ 8-1） ！种排法即 7 ！HFDCAABCDEABEGHGF练习题： 6 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120 七. 多排问题直排策略例 7.8 人排成前后两排 , 每排 4 人, 其中甲乙在前排 , 丙在后排 , 共有多少排法解:8 人排前后两排 , 相当于 8 人坐 8 把椅子 , 可以把椅子排成一排 . 个特殊元素有24A种, 再排后 4 个位置上的特
10、殊元素丙有14A种, 其余的 5 人在 5个位置上任意排列有55A种, 则共有215445A A A种前 排后 排练习题：有两排座位，前排11 个座位，后排 12 个座位，现安排2 人就座规定前排中间的 3 个座位不能坐，并且这2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346 八. 排列组合混合问题先选后排策略例 8. 有 5 个不同的小球 , 装入 4 个不同的盒内 , 每盒至少装一个球 , 共有多少不同的装法 . 解: 第一步从 5 个球中选出 2个组成复合元共有25C种方法 . 再把 4个元素 ( 包含一个复合元素 )装入 4 个不同的盒内有44A种方法，根据分步计数原理装球的方法共有24
11、54C A允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为nm种一般地 ,n 个不同元素作圆形排列,共有 (n-1)! 种排法 .如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1mnAn一般地 ,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗? 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页
12、，共 12 页 - - - - - - - - - 4 练习题：一个班有6 名战士 , 其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务 , 每人完成一种任务 , 且正副班长有且只有1 人参加 , 则不同的选法有 192 种九. 小集团问题先整体后局部策略例 9. 用 1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 在两个奇数之间 ,这样的五位数有多少个？解：把 , , , 当作一个小集团与排队共有22A种排法，再排小集团内部共有2222A A种排法，由分步计数原理共有222222A A A种排法 . 15243练习题：. 计划展出 10 幅不同的画 , 其中 1 幅
13、水彩画 , 幅油画 , 幅国画 , 排成一行陈列 , 要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为254254A A A2. 5 男生和女生站成一排照像, 男生相邻 , 女生也相邻的排法有255255A A A种十. 元素相同问题隔板策略例 10. 有 10个运动员名额，分给7 个班，每班至少一个 , 有多少种分配方案？解：因为 10 个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C种分法。一班二班三班四班五班六班七班练习题：110 个相同的球装 5 个盒中 ,
14、 每盒至少一有多少装法？49C2 .100 xyzw求这个方程组的自然数解的组数3103C十一. 正难则反总体淘汰策略例 11. 从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10 的偶数 ,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10 的偶数很困难 , 可用总体淘汰法。这十个数字中有 5 个偶数 5 个奇数 , 所取的三个数含有3 个偶数的取法有35C, 只含有 1 个偶数的取法有1255C C, 和为偶数的取法共有123555C CC。再淘汰和小于 10 的偶数共 9 种，符合条件的取法共有1235559C CC小集团排列问题中，先整体后局部，再结
15、合其它策略进行处理。将 n 个相同的元素分成m 份（ n，m 为正整数） ,每份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板，插入 n 个元素排成一排的n-1 个空隙中，所有分法数为11mnC有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面 ,再从整体中淘汰. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 5 练习题：我们班里有43 位同学 , 从中任抽 5 人, 正、副班长、团支部书记至少有一人在
16、内的抽法有多少种 ? 十二. 平均分组问题除法策略例 12. 6 本不同的书平均分成3 堆, 每堆 2 本共有多少分法？解: 分三步取书得222642C C C种方法 , 但这里出现重复计数的现象, 不妨记6 本书为ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 该分法记为 (AB,CD,EF), 则222642C C C中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有33A种取法 , 而这些分法仅是 (AB,CD,EF)一种分法 , 故共有22236423/C C CA种分法。练习题：1 将 13 个球队分成 3
17、 组, 一组 5 个队, 其它两组 4 个队, 有多少分法？（544213842/C C CA）2.10 名学生分成 3 组, 其中一组 4 人, 另两组 3人但正副班长不能分在同一组, 有多少种不同的分组方法（1540）3. 某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为_（22224262/90C C AA）十三. 合理分类与分步策略例 13. 在一次演唱会上共10名演员 , 其中 8 人能能唱歌 ,5 人会跳舞 , 现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目 , 有多少选派方法解：10 演员中有 5 人只会唱歌， 2
18、 人只会跳舞 3 人为全能演员。 选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有2233C C种, 只会唱的 5 人中只有 1人选上唱歌人员112534C C C种, 只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有2255C C种，由分类计数原理共有22112223353455C CC C CC C种。练习题：1. 从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34 2. 3 成人 2 小孩乘船游玩 ,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人, 他们任选 2 只船或 3 只船, 但
19、小孩不能单独乘一只船, 这 3 人共有多少乘船方法 . （27）本题还有如下分类标准：*以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准*以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以nnA(n为均分的组数 )避免重复计数。解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5
20、 页，共 12 页 - - - - - - - - - 6 *以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果十四. 构造模型策略例 14. 马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯 , 现要关掉其中的 3 盏, 但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏, 也不能关掉两端的2 盏, 求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的灯有35C种练习题：某排共有 10 个座位，若 4 人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（ 120）十五. 实际操作穷举策略例 15. 设有编号 1,2,3,4,5的五
21、个球和编号 1,2,3,4,5的五个盒子 , 现将 5 个球投入这五个盒子内 , 要求每个盒子放一个球， 并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同, 有多少投法解：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有25C种还剩下 3 球 3 盒序号不能对应， 利用实际操作法，如果剩下3,4,5 号球, 3,4,5号盒 3 号球装 4 号盒时，则 4,5 号球有只有 1 种装法，同理 3 号球装 5 号盒时 ,4,5 号球有也只有 1 种装法 , 由分步计数原理有252C种5343 号盒 4号盒 5号盒练习题：1. 同一寝室 4 人, 每人写一张贺年卡集中起来, 然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同
22、的分配方式有多少种？ (9) 2. 给图中区域涂色 , 要求相邻区域不同色 , 现有 4 种可选颜色 , 则不同的着色方法有 72种54321十六. 分解与合成策略例 16. 30030 能被多少个不同的偶数整除分析：先把 30030分解成质因数的乘积形式30030=235 7 1113 依题意可知偶因数必先取2, 再从其余 5 个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：1234555555CCCCC一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型， 装盒模型等，可使问题直观解决对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意
23、想不到的结果名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 7 练习: 正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线解：我们先从 8 个顶点中任取 4 个顶点构成四体共有体共481258C, 每个四面体有3 对异面直线 , 正方体中的 8 个顶点可连成 3 58174对异面直线十七. 化归策略例 17. 25 人排成 55 方阵, 现从中选 3 人, 要求 3 人不在同一行也不在同一列, 不同的选法有多少种？解：将这个问题退化成9
24、 人排成 33 方阵, 现从中选 3 人, 要求 3 人不在同一行也不在同一列 , 有多少选法 . 这样每行必有 1人从其中的一行中选取1人后, 把这人所在的行列都划掉，如此继续下去. 从 33 方队中选 3 人的方法有111321C C C种。再从 55方阵选出 33方阵便可解决问题 . 从 55方队中选取 3行 3列有3355C C选法所以从 55 方阵选不在同一行也不在同一列的3 人有3311155321C C C C C选法。练习题 : 某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A 走到 B的最短路径有多少种？ (3735C) BA十八. 数字排序问题查字典策略例 1
25、8由 0，1，2，3，4，5 六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？解:297221122334455AAAAAN练习: 用 0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数, 将这些数字从小到大排列起来, 第 71 个数是 3140 十九. 树图策略例 193人相互传球 , 由甲开始发球 , 并作为第一次传球 , 经过 5次传求后 , 球仍回到甲的手中, 则不同的传球方式有 _ 10N练习: 分别编有 1，2，3，4，5 号码的人与椅，其中 i 号人不坐 i 号椅（54321,i）的分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解
26、决 ,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题， 通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题数字排序问题可用查字典法, 查字典的法应从高位向低位查, 依次求出其符合要求的个数 , 根据分类计数原理求出其总数。对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -
27、- - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 8 不同坐法有多少种？44N二十. 复杂分类问题表格策略例 20有红、黄、兰色的球各5 只, 分别标有 A、B、C 、D 、E五个字母 , 现从中取 5 只,要求各字母均有且三色齐备, 则共有多少种不同的取法解: 二十一：住店法策略解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复， 另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解. 例 21. 七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 . 分析：因同一学生可以同时夺得n 项冠军，故学生可重复排
28、列，将七名学生看作7 家“店”，五项冠军看作5 名“客”，每个“客”有7 种住宿法，由乘法原理得75种. 2013浙江 14将 A，B，C，D，E，F 六个字母排成一排，且A，B 均在 C 的同侧，则不同的排法有种（用数字作答）【命题意图】本题考查排列组合，属于中档题【答案解析】 480 第一类，字母 C 排在左边第一个位置，有A55种；第二类，字母C排在左边第二个位置， 有 A24A33种；第三类，字母 C 排在左边第三个位置， 有 A22A33+ A23A33种，由对称性可知共有2 ( A55+ A24A33+ A22A33+ A23A33)=480种。2013 重庆（ 13）从 3 名骨
29、科、 4 名脑外科和 5 名内科医生中选派5 人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1 人的选派方法种数是590 （用数字作答）2013 新课标 2（14）从 n 个正整数 1，2， n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于 5 的概率为114，则 n=_8_. 2013山东（ 10）用 0，1， 9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（A）243 （B）252 （C）261 （D）279 【答案】 B 2013大纲（14）6个人排成一行， 其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.（用数字作答）2013 四川 8从1,3,5, 7,9这五个数中，每次取出两
30、个不同的数分别为,a b，共可得到lglgab的不同值的个数是（C ）（A） 9（B）10（C）18（D）201、 （2012 日照一中模拟）在小语种提前招生考试中，某学校获得5 个推荐名额，其中红1 1 1 2 2 3 黄1 2 3 1 2 1 兰3 2 1 2 1 1 取法1415CC2415CC3415CC1325CC2325CC1235CC一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手 ,经常出现重复遗漏的情况 ,用表格法 ,则分类明确 ,能保证题中须满足的条件,能达到好的效名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -
31、- - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 9 俄语 2 名，日语 2 名，西班牙语1 名。并且日语和俄语都要求必须有男生参加。学校通过选拔定下 3 男 2 女共 5 个推荐对象，则不同的推荐方法共有（A）20 种（B）22 种（C）24 种（D）36 种2、 （2012 威海二模） 将, ,a b c三个字母填写到33 方格中， 要求每行每列都不能出现重复字母，不同的填写方法有_种. （用数值作答）3 、（2012 临沂 3 月模拟）从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为
32、（A）300 （B）216 （ C）180 （D）162 【答案】 C 【解析】若不选0，则有72442322ACC, 若选 0，则有10833231213ACCC, 所以共有180 种，选C. 4、 （2012 济南一中模拟）如右图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有A. 11 种 B. 20种C. 21 种 D. 12种【答案】 C 【解析】若前一个开关只接通一个，则后一个有7332313CCC，此时有1472种，若前一个开关接通两一个，则后一个有7332313CCC，所以总共有21714，选 C. 小结本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难
33、点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件, 我们就可以选取不同的技巧来解决问题. 对于一些比较复杂的问题, 我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 10 为后续学习打下坚实的基础。首先，谈谈排列组合综合问题的一般解题规律:1
34、）使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定，可以分类来完成这件事时用“分类计数原理”，需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”；那么，怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互独立，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。2）排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与
35、顺序有关。3）复杂的排列问题常常通过试验、画“树图”、“框图”等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难于检验，因此常常需要用不同的方法求解来获得检验。4）按元素的性质进行分类， 按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制词的意义。5）处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法，通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。6）在解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列组合
36、的概念，能熟练地对问题进行分类，牢记排列数与组合数公式与组合数性质，容易产生的错误是重复和遗漏计数。总之，解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。其次，我们在抓住问题的本质特征和规律，灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时，还要注意讲究一些解题策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面介绍几种常用的解题方法和策略。一特殊元素（位置）的“优先安排法”：对于特殊元素（位置）的排列组合问题，一般先考虑特殊，再考虑其他。例 1、 用 0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）。A24个B.
37、30 个C.40 个D.60 个 分析 由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为0 不能排首位，故 0 就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按0 排在末尾和 0 不排在末尾分两类： 1）0排末尾时，有 A42个，2）0 不排在末尾时，则有C21 A31A31个，由分数计数原理，共有偶数A42 + C21 A31A31=30个，选 B。二总体淘汰法： 对于含否定的问题，还可以从总体中把不合要求的除去。如例1 中，也可用此法解答 : 五个数字组成三位数的全排列有A53个，排好后发现 0 不能排首位， 而且数字 3，5 也不能排末位，这两种排法要排除，故有A53-3A42+ C21A31=3
38、0个偶数。三合理分类与准确分步含有约束条件的排列组合问题，按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 11 四相邻问题用捆绑法 ：在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法例 2、有 8 本不同的书；其中数学书3 本
39、，外语书 2 本，其它学科书 3 本若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( ) 种( 结果用数值表示 )解：把 3 本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2 本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它 3 本书一起看作 5 个元素，共有 A55种排法；又 3 本数学书有 A33种排法，2 本外语书有 A22种排法；根据分步计数原理共有排法A55 A33 A22=1440(种).注：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题五不相邻问题用“插空法”：不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开解决此类问题可以先
40、将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法例 3、用 1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数，要求1 与 2 相邻，2 与 4相邻， 5 与 6 相邻，而 7 与 8 不相邻。这样的八位数共有( ) 个( 用数字作答 )解：由于要求 1 与 2 相邻，2 与 4 相邻，可将 1、2、4 这三个数字捆绑在一起形成一个大元素，这个大元素的内部中间只能排2， 两边排 1 和 4， 因此大元素内部共有A22种排法，再把 5 与 6 也捆绑成一个大元素，其内部也有A22种排法，与数字 3 共计三个元素，先将这三个元素排好，共有A33种排法，再从前面排
41、好的三个元素形成的间隙及两端共四个位置中任选两个，把要求不相邻的数字7 和 8 插入即可，共有 A42种插法，所以符合条件的八位数共有A22 A22 A33 A42288(种) 注：运用“插空法”解决不相邻问题时，要注意欲插入的位置是否包含两端位置六顺序固定用“除法”：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。例 4、6 个人排队，甲、乙、丙三人按“甲- 乙- 丙”顺序排的排队方法有多少种？分析：不考虑附加条件，排队方法有A66种，而其中甲、乙、丙的A33种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有A66 A33 =
42、120 种。( 或 A63种)例 5、4 个男生和 3 个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。解：先在 7 个位置中任取 4 个给男生， 有 A74 种排法，余下的 3个位置给女生， 只有一种排法，故有 A74 种排法。 ( 也可以是 A77 A33种)七分排问题用“直排法”：把几个元素排成若干排的问题，可采用统一排成一排的排法来处理。例 6、7 个人坐两排座位，第一排3 个人，第二排坐 4 个人，则不同的坐法有多少种？分析： 7 个人可以在前两排随意就坐，再无其它条件, 故两排可看作一排来处理，不同的坐法共有 A77种。八逐个试验法 ：题中附加条
43、件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规律。例 7. 将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的方格中，每方格填1 个，方格标号与所填数字均不相同的填法种数有（）A6 B.9 C.11 D.23解：第一方格内可填2 或 3 或 4，如第一填 2，则第二方格可填1 或 3 或 4，若第二方格内填 1，则后两方格只有一种方法；若第二方格填3 或 4，后两方格也只有一种填法。一共有 9 种填法，故选 B名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 -
44、- - - - - - - - 12 九、构造模型“隔板法” ： 对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决问题。例 8、方程 a+b+c+d=12有多少组正整数解？分析：建立隔板模型：将12 个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11 个间隙中任意插入 3 块隔板，把球分成4 堆，每一种分法所得4 堆球的各堆球的数目，对应为a、b、c、d 的一组正整解，故原方程的正整数解的组数共有C113 .又如方程 a+b+c+d=12非负整数解的个数 , 可用此法解。十. 排除法：对于含“至多”或“至少”的排列组合问题， 若直接解答多需进行复杂讨论，可以考虑“总体去杂”，即将总体
45、中不符合条件的排列或组合删除掉，从而计算出符合条件的排列组合数的方法例 9、从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出3 台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 ( ) 种A140 种B80 种C70 种D 35 种解：在被取出的 3 台中，不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合题意，因此符合题意的抽取方法有 C93-C43-C53=70(种) ，故选 C注：这种方法适用于反面的情况明确且易于计算的习题十一逐步探索法 ：对于情况复杂，不易发现其规律的问题需要认真分析，探索出其规律例 10、从 1 到 100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则不同的取法种数有
46、多少种。解：两个数相加中以较小的数为被加数，1+100100 ，1 为被加数时有 1 种，2 为被加数有 2 种， 49 为被加数的有 49 种，50 为被加数的有 50 种，但 51 为被加数有 49 种，52 为被加数有 48种， 99 为被捕加数的只有1 种，故不同的取法有（ 1+2+3+50）+（49+48+1）=2500种十二一一对应法：例 11. 在 100名选手之间进行单循环淘汰赛 （即一场失败要退出比赛） 最后产生一名冠军，要比赛几场？解：要产生一名冠军，要淘汰冠军以外的所有选手，即要淘汰99名选手，要淘汰一名就要进行一场，故比赛99 场。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -