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1、姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线_ _ 华南理工大学期中考试2009-2010学年第二学期高等数学期中考试试卷 注意事项：1. 考试形式：闭卷； 2本试卷满分100分，考试时间90分钟。题 号一二三四总分得 分评卷人一. 解答下列各题 (每小题5分,共20分)1. 设函数由方程确定，其中为可微函数，且，求答案： 设是由方程所确定的函数，其中具有二阶导数，且.求.解 对等式两端取微分得解得，求函数在点处的梯度.答案： 设为椭球面上的一动点，若在点处的切平面与面垂直，求点的轨迹。解 椭球面点处的法向量是，点处的切平面与面垂直的充要条件是所以点的轨迹的方程为
2、：，即二. 解答下列各题 (每小题10分,共30分)求二元函数的极值解 令，解得唯一驻点由于从而是的极小值设函数具有二阶连续偏导数，且满足等式。确定的值，使等式在变换下简化为解 ，将以上各式代入原等式，得由题意，令解得，或7已知曲线，求上距离面最远的点和最近的点。解 点到面的距离为，故求上距离面最远的点和最近的点的坐标，等价于求函数在条件与下的最大值点和最小值点。令由，解得或根据几何意义，该曲线上存在距离面最远的点和最近的点，故所求距离面最远的点和最近的点的坐标分别为三. 解答下列各题 (每小题8分，共32分)设函数连续，交换二次积分的积分次序：.答案： 设函数连续，若，其中区域D为第一象限与的部分，求答案： 计算二重积分，其中由曲线与直线及围成。解 作图（略）可知，具有对称性，第一象限部分可表示为，从而11.计算二重积分，其中.解 由题设，可知从而作换元，则四. 解答下列各题 (每小题9分,共18分)12.求位于两球面和之间的均匀物体的质心.解 因为区域关于轴对称，故质心必位于轴上，所以，由公式.由，不妨设，则 .所以，从而质心坐标为.由公式.由，不妨设，则 .所以，从而质心坐标为.13. 计算由所确定的立体的体积.分析 边界函数含有项，故选择柱面坐标系表示.解 由化为极坐标表示为.立体所占空间闭区域为，.高等数学试卷第 6 页 共 6 页