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1、2008-2009高等数学下册期中考试试卷(考试时间：90分钟)姓名： 班级： 成绩单号： 一、 填空题（）1、5分 求函数在点处沿方向的方向导数解：由定义2、5分求函数在点的梯度解 3、5分求曲面在点处的切平面方程和法线方程解 令，则从而切平面方程为，即法线方程为4、5分 交换积分次序解 积分区域为两个小区域之并作图得知合并后的区域也可表示为从而二、 （8分）设，其中具有二阶连续偏导数，求与 解 从而，三、 （8分）设具有连续的偏导数，且，方程确定了是的函数，试求解：，解出从而 四、 8分 求抛物面与平面之间的最短距离解：设点在抛物面上，则其到平面的距离为先求在下的最小值点：令则由，得最小值
2、点，从而最短距离为五、 8分设直线在平面上，而平面与曲面相切于点，求之值。解： 由曲面得切平面法向量从而有切平面方程为由直线得：从而由该直线必平行于平面知 ；在由该直线上的点要在平面上得 六、 8分 计算，其中解 令，得从而七、 8分 计算二重积分，其中解： 用将区域划分为两个八、 8分 计算，其中为平面曲线绕z轴旋转一周的曲面与平面所围的区域。解：由交线知在xoy面上的投影域为用柱坐标计算 九、 8分 设由曲面与所围成的立体中每点的密度与该点到平面距离成正比，试求该立体的质量M解：由交线知立体在面上的投影域为用柱坐标计算 十、 求曲面被柱面所截下的有限曲面片的面积。解：从而该面积=十一、 8分计算积分，其中是和所围成的空间闭区域。解：由，从而在上投影域为，且关于坐标平面都对称，因此ef4322dc79e9f4136c116e33c797f70b.pdf共5页第5页