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1、流体运动学基础现在学习的是第1页，共47页 在流体静力学中，我们讨论了流体处于平衡状态下的一在流体静力学中，我们讨论了流体处于平衡状态下的一些力学规律，如压力分布规律，及流体对固体壁的作用力等些力学规律，如压力分布规律，及流体对固体壁的作用力等。但实际上，流体的静止总是相对的，运动才是绝对的。流。但实际上，流体的静止总是相对的，运动才是绝对的。流体最基本的特性就是它的体最基本的特性就是它的流动性流动性，因此，进一步研究流体的，因此，进一步研究流体的运动规律便更为重要。运动规律便更为重要。流体运动学主要是研究运动参数（速度、加速度等）随流体运动学主要是研究运动参数（速度、加速度等）随空空间位置和
2、时间的变化规律间位置和时间的变化规律。现在学习的是第2页，共47页流场流场 充满运动流体的空间称为流场充满运动流体的空间称为流场流体只能在固体壁面所限制的空间内外进行运动；流体只能在固体壁面所限制的空间内外进行运动；流场中流体流场中流体质点质点的的连续连续性决定表征流体质点运动和物性的性决定表征流体质点运动和物性的参数（参数（速度、加速度、压强、密度等）速度、加速度、压强、密度等）在流场中也是在流场中也是连续连续的。并且随时间的。并且随时间和空间而变化。和空间而变化。连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无数个流体质点连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无数个流体质点所组成的连续
3、介质，并且无间隙地充满它所占据的空间。所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所占据的空间。描述流体运动的方法描述流体运动的方法现在学习的是第3页，共47页假如你是一名篮球教练，防守中该如何掌控整个篮球场？假如你是一名篮球教练，防守中该如何掌控整个篮球场？二二.描述流体运动的方法描述流体运动的方法用五名己方球员分别对用五名己方球员分别对对方球员进行一对一的跟踪对方球员进行一对一的跟踪防守。防守。用己方五名球员对用己方五名球员对防守半场进行分区监管防守半场进行分区监管，一人负责一片区域的，一人负责一片区域的防守。防守。？请问如何获取某对方球员的行踪？请问如何获取某对方球员的行踪？现在学习的是第4页，
4、共47页着眼于流体质点，跟踪着眼于流体质点，跟踪质点描述其运动历程质点描述其运动历程着眼于空间点，研究质点流着眼于空间点，研究质点流经空间各固定点的运动特性经空间各固定点的运动特性 根据着眼点的不同，流体力学中研究流体的运动也有两种不同根据着眼点的不同，流体力学中研究流体的运动也有两种不同的方法，一种是拉格朗日（的方法，一种是拉格朗日（LagrangeLagrange）方法，另一种是欧拉（）方法，另一种是欧拉（EulerEuler）方法。）方法。现在学习的是第5页，共47页拉格朗日法拉格朗日法着眼于流体质点着眼于流体质点跟踪个别流跟踪个别流体质点体质点 研究其位移、研究其位移、速度、加速度速度
5、、加速度等随等随 时间的变时间的变 化情况化情况综合流场中所综合流场中所有流体质点的有流体质点的运动运动流场分布流场分布又称随体法又称随体法现在学习的是第6页，共47页跟踪个别流体质点跟踪个别流体质点(a,b,c)(a,b,c)质点从质点从(a,b,c)(a,b,c)运动到（运动到（x,y,zx,y,z）t t0 0 时刻时刻:t t时刻时刻:),(),(),(321tcbafztcbafytcbafx流场中全部质点流场中全部质点都 包 含 在（都 包 含 在（a,b,ca,b,c）的变数）的变数中中(a,b,c)是拉格朗日变数，即是拉格朗日变数，即t=t0时刻质点的空间位置，用来对连续介时刻
6、质点的空间位置，用来对连续介质中无穷多个质点进行编号，作为质点标签。质中无穷多个质点进行编号，作为质点标签。现在学习的是第7页，共47页当（当（a,b,ca,b,c）变化时，这就表示全）变化时，这就表示全部质点随时间的位置变动函数。部质点随时间的位置变动函数。当当t t变化时，便是质点（变化时，便是质点（a,b,ca,b,c）运动轨道的参数方程运动轨道的参数方程 ),(),(),(321tcbafztcbafytcbafx自变量（自变量（a,b,c,ta,b,c,t）称）称为拉格朗日变数为拉格朗日变数流体在运动过程中其它运动要素和物流体在运动过程中其它运动要素和物理量的时间历程也可用拉格朗日法
7、描述，理量的时间历程也可用拉格朗日法描述，如速度、密度等：如速度、密度等：),(tcba)(a,b,c,tuu 注意：注意：现在学习的是第8页，共47页 在在使用拉格朗日法使用拉格朗日法时必须找到时必须找到 x(a,b,c,t);y(a,b,c,t);x(a,b,c,t);y(a,b,c,t);z(a,b,c,t)z(a,b,c,t)等的函数形式，即等的函数形式，即跟踪每一个质点进行研究跟踪每一个质点进行研究。由于。由于流体具有易流动性，对每一个质点进行跟踪是十分困难的流体具有易流动性，对每一个质点进行跟踪是十分困难的。因此，除了在一些特殊情况（。因此，除了在一些特殊情况（波浪运动。水滴等的运
8、动时波浪运动。水滴等的运动时），很少采用拉格朗日法。），很少采用拉格朗日法。拉格朗日法的缺陷拉格朗日法的缺陷现在学习的是第9页，共47页欧拉法欧拉法着眼于研究空间着眼于研究空间固定点的情况固定点的情况选定某一空选定某一空间固定点间固定点 记录其位移记录其位移、速度、加、速度、加速度等随速度等随 时间的变时间的变 化情况化情况综合流场中许综合流场中许多空间点随时多空间点随时间的变化情况间的变化情况通过描述物理量通过描述物理量在空间的分布来在空间的分布来研究流体运动的研究流体运动的方法。方法。流场分布流场分布现在学习的是第10页，共47页分析流动空间某固定位置分析流动空间某固定位置处，流体运动要素
9、（速度处，流体运动要素（速度、加速度）随时间变化规、加速度）随时间变化规律律分析流体质点从某一空间位置转分析流体质点从某一空间位置转移到另一位置，运动要素随位置移到另一位置，运动要素随位置变化的规律变化的规律欧拉法并没有直接给定流体质点的运动轨迹欧拉法并没有直接给定流体质点的运动轨迹同一流体质点同一流体质点在不同时刻经在不同时刻经过空间不同点过空间不同点不同时刻不同的流不同时刻不同的流体质点通过空间某体质点通过空间某一点一点注意：注意：现在学习的是第11页，共47页欧拉法是流场法，它定欧拉法是流场法，它定义流体质点的速度矢量场义流体质点的速度矢量场为：为：(,)VV x y z t(x,y,z
10、)是空间点（场点是空间点（场点）。流速）。流速V是在是在t 时刻占时刻占据据(x,y,z)的那个流体质点的的那个流体质点的速度矢量。速度矢量。)(x,y,z,taa)(x,y,z,tpp 流体的其它运动要素和物理特性也都可用相应的时间和空间域上的场的形流体的其它运动要素和物理特性也都可用相应的时间和空间域上的场的形式表达。如加速度场、压力场等：式表达。如加速度场、压力场等：现在学习的是第12页，共47页欧拉法把流场的运动要素和物理量都用场的形式表达，为在分析流体力学欧拉法把流场的运动要素和物理量都用场的形式表达，为在分析流体力学问题时直接运用场论的数学知识创造了便利条件。问题时直接运用场论的数
11、学知识创造了便利条件。采用欧拉法，采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶导数加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶导数（见下文）（见下文），所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容易。微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容易。在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。欧拉法在流体力学研究中广泛被采欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。两种描述流体运动的方法之间可以用。两种描述流体运动的方法之间可以相互转换。相互
12、转换。现在学习的是第13页，共47页定常流和非定常流定常流和非定常流 若流场中各空间点上的任若流场中各空间点上的任何运动要素均不随时间变化何运动要素均不随时间变化，称流动为定常（恒定）流，称流动为定常（恒定）流。否则，为非定常（非恒定。否则，为非定常（非恒定）流。）流。恒定流中，所有物理量恒定流中，所有物理量的欧拉表达式中将不显含时的欧拉表达式中将不显含时间，它们只是空间位置坐标间，它们只是空间位置坐标的函数，时变导数为零。的函数，时变导数为零。例如，恒定流的流速例如，恒定流的流速场：场：0tu),(zyxuu 恒定流的局部加速度为恒定流的局部加速度为零，但位变加速度零，但位变加速度可以可以不
13、为零。不为零。现在学习的是第14页，共47页 流动是否恒流动是否恒定与所选取的定与所选取的参考坐标系有参考坐标系有关关,因此是相因此是相对的概念。对的概念。现在学习的是第15页，共47页均匀流、非均匀流均匀流、非均匀流若某一时刻流场中各空间点上的物理量都相等，则称均匀场（流）若某一时刻流场中各空间点上的物理量都相等，则称均匀场（流），否则为非均匀场（流）。，否则为非均匀场（流）。判别：判别：0,0,0,()txyz或为 任 意为 任 意物理量物理量0jkxyz=i梯度是场不均匀的度量梯度是场不均匀的度量 也即梯度为也即梯度为0 0：现在学习的是第16页，共47页一元、二元、三元流动模型一元、二
14、元、三元流动模型 用欧拉法描述流动，虽然经过恒定流的简化去掉了时间变量，但仍存用欧拉法描述流动，虽然经过恒定流的简化去掉了时间变量，但仍存在在x，y，z三个空间变量。这种在流场中的速度和性能参量由三个坐标变量三个空间变量。这种在流场中的速度和性能参量由三个坐标变量来描述的流动就叫三元流，也称为空间流动。在实际情况下，多数的流动来描述的流动就叫三元流，也称为空间流动。在实际情况下，多数的流动都是三元流，但是，这种流动模型太复杂了，我们是很难求解的。都是三元流，但是，这种流动模型太复杂了，我们是很难求解的。当流动中的速度和性能参量与坐标中某一方向的变量无关时，且在这个方向上的当流动中的速度和性能参
15、量与坐标中某一方向的变量无关时，且在这个方向上的分量也不存在的流动分量也不存在的流动,就叫二元流或称为平面流。就叫二元流或称为平面流。当流速和性能参量的变化仅与一个坐标变量有关的流动。当流速和性能参量的变化仅与一个坐标变量有关的流动。uf（s）s：是流动方向上的位置坐标。这个模型的实质是忽略流速和压强参量：是流动方向上的位置坐标。这个模型的实质是忽略流速和压强参量等沿主流的横向变化。等沿主流的横向变化。现在学习的是第17页，共47页一维流动一维流动二维流动二维流动三维流动三维流动平面流动轴对称流动任何实际流动从本质上讲都是在三维空间内发生的，二维和一维流动是在任何实际流动从本质上讲都是在三维空
16、间内发生的，二维和一维流动是在一些特定情况下对实际流动的简化和抽象，以便分析处理。一些特定情况下对实际流动的简化和抽象，以便分析处理。现在学习的是第18页，共47页流动要素只取决于一个空间坐标变量的流动流动要素只取决于一个空间坐标变量的流动在实际问题中，常把总流简化为一维流动。在实际问题中，常把总流简化为一维流动。s 一维流动其流场为其流场为s 空间曲线坐标空间曲线坐标),(tsuu 元流是严格的一维流动，空间曲线坐标元流是严格的一维流动，空间曲线坐标s 沿着流线。沿着流线。现在学习的是第19页，共47页uu x y tuux y tuxxyyz(,)(,)0 直角系中的直角系中的平面流动平面
17、流动：流场与某一空间坐流场与某一空间坐标变量无关，且沿该坐标方向标变量无关，且沿该坐标方向无速度分量的流动。无速度分量的流动。xyoxyzou0u0大展弦比机翼绕流 二维流动现在学习的是第20页，共47页3.2物质导数 速度是同一流体质点的位移对时间的变化率，加速度则是同一流体速度是同一流体质点的位移对时间的变化率，加速度则是同一流体质点的速度对时间的变化率。质点的速度对时间的变化率。通过位移求速度或通过速度求加速度，必须跟定流体质点，应该通过位移求速度或通过速度求加速度，必须跟定流体质点，应该在拉格朗日观点下进行。在拉格朗日观点下进行。现在学习的是第21页，共47页拉格朗日法拉格朗日法3.2
18、物质导数 拉格朗日方法中，某一时刻，任一流体质点的位置可表示为：式中a、b、c为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的a、b、c代表不同的流体质点。对于某个确定的流体质点，a、b、c为常数，而t为变量，则得到流体质点的运动规律。对于某个确定的时刻，t为常数，而a、b、c为变量，得到某一时刻不同流体质点的位置分布。通常称a、b、c为拉格朗日变量，它不是空间坐标的函数，而是流体质点标号。123(,)(,)(,)xf a b c tyfa b c tzf a b c t现在学习的是第22页，共47页221222222222322(,)(,)(,)xyzfa b c txattfa b c tyattf
19、a b c tzatt123(,)(,)(,)fa b c txuttfa b c tyvttfa b c tzwtt质点（质点（a,b,ca,b,c）的速度和加速度为：）的速度和加速度为：拉格朗日法拉格朗日法注意，流体的密度、压强和温度也可写成类似的函数形式。注意，流体的密度、压强和温度也可写成类似的函数形式。求导时求导时a,b,c 作为参数不变，作为参数不变，意即跟定流体质意即跟定流体质点点现在学习的是第23页，共47页欧拉法欧拉法欧拉法中，任一空间点处速度场可表示为：(,)(,)(,)uu x y z tvv x y z tww x y z t 其中变量其中变量x,y,z,t称为欧拉变量
20、，其中称为欧拉变量，其中 x，y，z有双重意义，一方有双重意义，一方面它代表流场的空间坐标，另一方面它代表流体质点在空间的位移。面它代表流场的空间坐标，另一方面它代表流体质点在空间的位移。当参数当参数x，y，z不变而改变时间不变而改变时间t，则表示空间某固定点的速度随时，则表示空间某固定点的速度随时间的变化规律。当参数间的变化规律。当参数t不变，而改变不变，而改变x，y，z，则代表某一时刻，则代表某一时刻，空间各点的速度分布。空间各点的速度分布。(1)现在学习的是第24页，共47页欧拉法欧拉法 根据流体连续介质假设，每一个空间点上都有流体质点所根据流体连续介质假设，每一个空间点上都有流体质点所
21、占据。而占据每一个空间点上的流体质点都有自己的速度，有占据。而占据每一个空间点上的流体质点都有自己的速度，有速度必然产生位移。也就是说，空间坐标速度必然产生位移。也就是说，空间坐标x，y，z也是流体质也是流体质点位移的变量，它也是时间点位移的变量，它也是时间t的函数：的函数：x=x(t)y=y(t)z=z(t)流体质点的运动流体质点的运动轨迹方程轨迹方程txuddtvddytwddz 上式对时间求导就流体质点沿运动上式对时间求导就流体质点沿运动轨迹的三个速度分量：轨迹的三个速度分量：(2)现在学习的是第25页，共47页欧拉法欧拉法 加速度定义为在加速度定义为在dt时刻内，流体质点流经某空间点附
22、近运动轨迹上时刻内，流体质点流经某空间点附近运动轨迹上一段微小距离时的速度变化率，于是可按复合函数的求导法则，分别将一段微小距离时的速度变化率，于是可按复合函数的求导法则，分别将(1)式中三个速度分量对时间取全导数，并将式中三个速度分量对时间取全导数，并将(2)式代入，即可得流式代入，即可得流体质点在某一时刻经过某空间点时的三个加速度分量：体质点在某一时刻经过某空间点时的三个加速度分量：zD wwwwwauvwD ttxyzxD uuuuuauvwD ttxyzyDvvvvvauvwDttxyz用欧拉法描述，处理拉格朗日观点的问题。用欧拉法描述，处理拉格朗日观点的问题。(3)现在学习的是第26
23、页，共47页DVDtVt()VV=+质点加速度位变加速度由流速非均由流速非均匀性引起匀性引起局部加速度由流速由流速非恒定非恒定性引起性引起欧拉法欧拉法V也可为流体密度、压强和温度等任一物理量（矢、标）。也可为流体密度、压强和温度等任一物理量（矢、标）。现在学习的是第27页，共47页 物质导数是反映流体质点某一物理量对时间的变化率，即观察者随物质导数是反映流体质点某一物理量对时间的变化率，即观察者随流体质点一起运动时看到的物理量变化率。也可称为质点导数或随体导流体质点一起运动时看到的物理量变化率。也可称为质点导数或随体导数。物质导数本质上是拉格朗日观点下的概念。数。物质导数本质上是拉格朗日观点下
24、的概念。例子()DVDttuvwtxyz流体不可压是指流体质点的密度运动过程中不变，即流体不可压是指流体质点的密度运动过程中不变，即const流体均质，则流体均质，则若流体既均质，同时不可压，则若流体既均质，同时不可压，则00DDt0DDt0t流体密度场定常，其不是空间坐标和时间的函数，即流体密度场定常，其不是空间坐标和时间的函数，即0现在学习的是第28页，共47页 【例】【例】已知用拉格朗日变量表示得速度分布为已知用拉格朗日变量表示得速度分布为 u=(a+2)et-2，v=(b+2)et-2，且，且t=0时，时，x=a，y=b。求（。求（1）t=3时质点分时质点分布；（布；（2）a=2，b=
25、2质点的运动规律；（质点的运动规律；（3）质点加速度。）质点加速度。【解】【解】根据根据(2)式得式得 将上式积分，得将上式积分，得 上式中上式中c1、c2为积分常数，它仍是拉格朗日变量的函数。为积分常数，它仍是拉格朗日变量的函数。利用利用t=0时，时，x=a，y=b得得c1=-2，c2=-22)2(tebty12)2(cteaxt22)2(ctebyt现在学习的是第29页，共47页 X=(a+2)et-2t-2 y=(b+2)et-2t-2 （1）将t=3代入上式 得 X=(a+2)e3-8 y=(b+2)e3-8 （2）a=2，b=2时 x=4et-2t-2 y=4et-2t-2 (3)t
26、eatu)2(tebtv)2(现在学习的是第30页，共47页 【例】【例】在任意时刻，流体质点的位置是在任意时刻，流体质点的位置是x=5t2，其迹线为双，其迹线为双曲线曲线xy=25。质点速度和加速度在。质点速度和加速度在x和和y方向的分量为多少？方向的分量为多少？【解】【解】根据式根据式(2)得得 由式由式(3)得得ttttxu10)5(dddd2txxxttvdd12525ddddy23221010)5(125ttt10tuax430ttvay现在学习的是第31页，共47页迹线是流体质迹线是流体质点运动的轨迹点运动的轨迹，是与拉格朗是与拉格朗日观点相对应日观点相对应的概念。的概念。),(t
27、cbaxx 拉格朗日法中位移表拉格朗日法中位移表达式达式即为迹线的参数方程。即为迹线的参数方程。t 是变数，是变数，a,b,c 是参数。是参数。3.3迹线、流线和染色线，流管迹线迹线现在学习的是第32页，共47页(),(),(),dru x ty tz tt dt(,)(,)(,)xyzdxdydzdtu x y z tux y z tu x y z t现在学习的是第33页，共47页dldxidyjdzk0ud l0 xyzijkdxdydzuuu(,)(,)(,)xyzdxdydzu x y z tu x y z tu x y z t其中现在学习的是第34页，共47页在非定常流情况下，流线一
28、在非定常流情况下，流线一般会随时间变化。在定常流情般会随时间变化。在定常流情况下，流线不随时间变，流体况下，流线不随时间变，流体质点将沿着流线走，迹线与流质点将沿着流线走，迹线与流线重合。线重合。迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流体质迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观点对应，点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观点对应，而流线是同一时刻、不同流体质点速度矢量与之相而流线是同一时刻、不同流体质点速度矢量与之相切的曲线，与欧拉观点相对应。即使是在定常流中切的曲线，与欧拉观点相对应。即使是在定常流中，迹线与流线重合，两者仍是完全不同的概念。，迹线与流线重
29、合，两者仍是完全不同的概念。根据流线的定义，可根据流线的定义，可以推断：除非流速为零以推断：除非流速为零或无穷大处，流线不能或无穷大处，流线不能相交，也不能转折。相交，也不能转折。现在学习的是第35页，共47页染色线染色线染色线是指试验中，利用流场显示技术通过在流场中固定点连续不断染色线是指试验中，利用流场显示技术通过在流场中固定点连续不断注入有色物质所形成的色线（或烟线）。它实际是一段时间内相继经过注入有色物质所形成的色线（或烟线）。它实际是一段时间内相继经过流场中同一空间点流场中同一空间点的流体质点在某瞬时连接起来得到的一条曲线，其形的流体质点在某瞬时连接起来得到的一条曲线，其形状和结构可
30、反映流场结构和流动特点，也称之为脉线。状和结构可反映流场结构和流动特点，也称之为脉线。染色线既不是流线，也不染色线既不是流线，也不是迹线。是迹线。非定常流动条件下：染色线非定常流动条件下：染色线、流线、迹线互不重合。、流线、迹线互不重合。定常流动条件下：染色线定常流动条件下：染色线与流线、迹线重合。与流线、迹线重合。现在学习的是第36页，共47页3.4流体微团的运动和变形考察和分析流体考察和分析流体质点之间的相对运质点之间的相对运动动谈及相对运动就必谈及相对运动就必须把讨论问题的尺度须把讨论问题的尺度从流体质点扩大到流从流体质点扩大到流体微团体微团给出在同一时刻流体给出在同一时刻流体微团中任意
31、两点速度之微团中任意两点速度之间的关系间的关系分析流体微团分析流体微团的运动形式的运动形式现在学习的是第37页，共47页流体微团运动时，不像刚体那么简单，除了可以平动和转动外，还伴随流体微团运动时，不像刚体那么简单，除了可以平动和转动外，还伴随有变形运动。变形运动可分为体变形和角变形两种。有变形运动。变形运动可分为体变形和角变形两种。现在学习的是第38页，共47页所谓平动运动，是一个流体微团移动到另一个地方，微团内各质点的相所谓平动运动，是一个流体微团移动到另一个地方，微团内各质点的相对位置没有发生变化，微团的形状也没有发生变化，也称平移。对位置没有发生变化，微团的形状也没有发生变化，也称平移
32、。（1）平动）平动现在学习的是第39页，共47页流体微团的转动和刚体的转动不同，如果在流体微团中引出若干条流体微团的转动和刚体的转动不同，如果在流体微团中引出若干条直线，它们的旋转角速度可以各不相同。因此，要说流体微团的旋转，直线，它们的旋转角速度可以各不相同。因此，要说流体微团的旋转，只能是平均。只能是平均。（2）旋转）旋转现在学习的是第40页，共47页 可见，在一般情况下，流体微团的运动总是可以分解成：可见，在一般情况下，流体微团的运动总是可以分解成：整体整体平移运动、旋转运动、线变形运动及角变形运动平移运动、旋转运动、线变形运动及角变形运动，与此相对应的是，与此相对应的是平平移速度、旋转
33、角速度、线变形速率和剪切（角）变形速率移速度、旋转角速度、线变形速率和剪切（角）变形速率。平移速度 旋转角速度 线变形速率 剪切变形速率1()21()21()2yzxxzyyxzuuyzuuzxuuxyxxyyzzuuuuuuxxxyyyzzzuxuxux121212yxxyyxyzyzzyxzzxxzuuxyuuyzuuzx现在学习的是第41页，共47页流体微团的角速度矢量：流体微团的角速度矢量：111()()()222yyxxzzxyzuuuuuuijkijkyzzxxy1122rotVV依据场论的表示法：依据场论的表示法：SSdSndS涡量：涡量：涡通量：涡量在一截面上的面积分涡通量：涡
34、量在一截面上的面积分SLV dldS V 速度环量：速度矢量沿封闭曲线的线积分速度环量：速度矢量沿封闭曲线的线积分斯托克斯斯托克斯公式公式速度的旋度速度的旋度有旋流动和无旋流动有旋流动和无旋流动现在学习的是第42页，共47页沿沿封封闭闭曲曲线线的的速速度度环环量量在封闭曲线k上的速度矢量 速度 与该点上切线之间的夹角 V 速度环量的正负不仅与速度方向有关，而且与积分时所取的绕行方向有关。通常规速度环量的正负不仅与速度方向有关，而且与积分时所取的绕行方向有关。通常规定逆时针方向为定逆时针方向为K的正方向，即封闭曲线所包围的面积总在前进方向的左侧。的正方向，即封闭曲线所包围的面积总在前进方向的左侧
35、。现在学习的是第43页，共47页 由此可见，在流体流动中，如果涡量的三个分量中有一个不等于零，即为由此可见，在流体流动中，如果涡量的三个分量中有一个不等于零，即为有旋流动。如果在一个流动区域内各处的涡量或它的分量都等于零，也就是沿有旋流动。如果在一个流动区域内各处的涡量或它的分量都等于零，也就是沿任何封闭曲线的速度环量都等于零，则在这个区域内的流动一定是无旋流动。任何封闭曲线的速度环量都等于零，则在这个区域内的流动一定是无旋流动。旋度？0u 无旋流动无旋流动有势流动有势流动这个分类是 很重要的！现在学习的是第44页，共47页流体微团运动流体微团运动无旋流动有旋流动现在学习的是第45页，共47页 无旋流动无旋流动有势流动有势流动 等价0u0 xyzLLu dlu dxu dyu dz 称为 速度势函数u xyzuxuyuzxyzdu dxu dyu dz现在学习的是第46页，共47页本章作业3-3,3-9,3-11,3-13,3-17现在学习的是第47页，共47页