流体运动学ppt课件.ppt

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1、高等流体力学高等流体力学3 流体运动学 3 流体运动学流体运动学 流体运动学研究流体的运动规律，研究流体在运动中其流动参数之间的相互关系，不涉及运动产生的原因。研究的内容包括流体运动方式以及速度、加速度、位移、转角等随时间、空间的变化。 流场的概念流场的概念：在流动空间中，流体质点是连续不断的，表征其流动特征的各种流动参数必然是连续分布的，形成了速度场、密度场、压力场、应力场等，这些向量场、标量场、张量场的总和，称为流场。 3.1 研究流体运动的两种方法研究流体运动的两种方法 流体力学中通常采用下列两种方法： (1)拉格朗日法拉格朗日法：以流场中个别质点的运动作为研究的出发点，从而进一步研究整

2、个流体的运动。这种方法是质点系力学研究方法的自然延续。 (2)欧拉法欧拉法：它不着眼于研究个别质点的运动特性，而是以流体流过空间某点时的运动特性作为研究的出发点，从而研究流体在整个空间里的运动情况。3.1.1 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)法法 拉格朗日法是通过下列两个方面来描述整个流动情况的： (1)某一运动的流体质点的各种物理量(如密度、速度等)随时间的变化； (2)相邻质点间这些物理量的变化。 3.1.1 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)法法 由于流体质点是连续分布的，要研究某个确定的质点的运动，首先必须有一个表征这个质点的办法，以便识别、区分不同的流体质点。因为在每一时刻，每

3、一质点都占有唯一确定的空间位置，因此通常采用的办法是以某时刻tt0各质点的空间座标(a,b,c)来表征它们。显然，不同的质点将有不同的(a,b,c)值，(a,b,c)是流体质点标号的函数，而且是连续存在的。 3.1.1 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)法法 (1) 流体质点的空间位置 当研究任意流体质点的位置时，由于各个质点在tt0时刻的坐标值(a,b,c)不样，因此各质点在任意时刻的空间位置，将是a,b,c,t这四个量的函数。 当a,b,c固定时，此式代表确定的某个质点的运动轨迹；当t固定时，上式代表某特定时刻各质点所处的位置，即质点的位置分布。所以上式可以描述所有质点的运动。tcbaz

4、ztcbayytcbaxx,3.1.1 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)法法 (1) 流体质点的空间位置 若用向径rxiyjzk表示质点的位置，则上式可写成 这里用来识别、区分不同流体质点的标志a,b,c，都应看作是自变量，它们和时间t一起被称作拉格朗日(Lagrange)变数。显然，在tt0时刻，各质点的坐标值等于a,b,c，即tcba,rr ctcbazzbtcbayyatcbaxx000000,拉格朗日变量不是空间坐标的函数，而是流体质点标志的函数流体质点标志的函数3.1.1 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)法法 (2) 流体质点的速度、加速度 按照速度的定义，流体质点的速度可以

5、表示成 由于rr(a,b,c,t)，且流体质点标号函数流体质点标号函数(a,b,c)不随时间不随时间t变化变化，因此，上式中的全导数r与对时间t的偏导数相等，即 采用速度分量的形式 uux iuy juz k，有tcbat,uruddt rutcbautzutcbautyutcbautxuzzyyxx,txtxtccxtbbxtaaxdtdx3.1.1 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)法法 (2) 流体质点的速度、加速度 同样，流体质点的加速度可表示为 它在直角坐标系中的分量为 tcbatt,arua22tcbaatztuatcbaatytuatcbaatxtuazzzyyyxxx,222

6、2223.1.1 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)法法 同样，其它物理量也应该是拉格朗日变数a,b,c,t的函数。例如： 流体密度 流体压强 流体温度 tcba,tcbapp,tcbaTT, 拉格朗日法可以描述各个质点不同时刻的参量变化。 由于是连续追踪个别质点的描述，拉格朗日法可以研究流体运动轨迹以及轨迹上流动参量的变化，但研究整个流场的特性时并不方便，除去个别情况（如研究流体的波动、振荡）以外，很少采用拉格朗日法。3.1.2 欧拉欧拉(Euler)法法 欧拉法是通过下列两个方面来描述整个流场情况的： (1)在空间固定点上流体的各种物理量(如速度、压力等)随时间的变化； (2)在相邻的空

7、间点上这些物理置的变化。 3.1.2 欧拉欧拉(Euler)法法 需要指出的是，不能把空间点与流体质点相混淆。流体运动时同一个空间点在不同的时刻由不同的流体质点所占据。所谓空间各点上的物理量是指占据这些位置的各个流体质点的物理量，在欧拉法中，各物理量将是时间t和空间点坐标x,y,z的函数，例如流体的密度、压强、温度可表示为 流体密度 流体压强 流体温度 通常把用以识别空间点的坐标值(x,y,z)及时间t称作欧拉欧拉变数变数。tzyx,tzyxpp,tzyxTT,3.1.2 欧拉欧拉(Euler)法法 (1) 空间点上流体质点的速度 在直角坐标系中，流体运动的速度场可表示成 由于uuxiuyju

8、zk，故其分量形式为 不同时刻在不同空间点上流体质点的速度也不同。 tzyx,uu tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx,3.1.2 欧拉欧拉(Euler)法法 (2) 质点导数与流体质点的加速度 流体质点的物理量对于时间的变化率称做该物理量的质点导数质点导数，通常用D/Dt表示。质点的加速度a是该质点的速度u对时间t的变化率，也就是速度的质点导数。 在欧拉法中，流体质点的速度既是时间的函数，又是空间坐标(质点所处的位置)的函数。质点的位置将随时间变化，在这个意义上，(x,y,z,t)不是相互独立的，即： tzztyytxx3.1.2 欧拉欧拉(Euler)法法 (2) 质点导数与

9、流体质点的加速度 质点的加速度a可写成 或者tzztyytxxttddddddDDuuuuuazuyuxutzyxuuuuuuuuuuatttDD3.1.2 欧拉欧拉(Euler)法法 (2) 质点导数与流体质点的加速度 由此式可见，在欧拉法中质点加速度由两部分组成。其中u/t称作当地加速度当地加速度，或称局部加速度局部加速度，它表示在同一个位置上，流体速度对于时间的变化率，它是由流场的不定常性引起的，对于定常流动，u/t0。式中的(u)u这一项称作对流加速度对流加速度或迁移加速度迁移加速度，它是由流场的不均匀性引起的。3.1.2 欧拉欧拉(Euler)法法 (2) 质点导数与流体质点的加速度

10、 对于流场中的其它物理量也可以用类似的方法求得它们的质点导数，例如密度、压强、温度的质点导数为uutttDDptptptpuuDDTtTtTtTuuDD3.1.2 欧拉欧拉(Euler)法法 (2) 质点导数与流体质点的加速度 总之，任意物理量B的质点导数都可写成通常称为质点导数算子质点导数算子。BuBttDDuttDD可以是标量、矢量、张量可以是标量、矢量、张量3.1.2 欧拉欧拉(Euler)法法 (2) 质点导数与流体质点的加速度 以下分别是在直角坐标、柱坐标、球坐标系中的质点导数算子表达式。 直角坐标系中 柱坐标系中 球坐标系中 zuyuxuttzyxDDzururuttzrDDsin

11、DDrururuttr3.1.2 欧拉欧拉(Euler)法法 通常情况下，采用欧拉法研究流体力学问题具有一定的优越性： 采用欧拉法研究流体运动得到的是场，便于利用场论这一有力的数学工具； 采用欧拉法时，所得的流体运动方程是一阶偏微分方程组，求解相对容易(相对于采用拉格朗日时所得运动方程是二阶偏微分方程组而言)； 工程上解决实际问题时并无必要知道每一质点的运动情况，只需了解空间上的参数特征。例例. 已知用拉格朗日变量表示的速度分布2)2(teau2)2(tebv且 时， ， ，求：0tax by （1） 时的质点分布3t（2） 质点的运动规律2, 2ba（3）质点加速度解：根据速度公式2)2(t

12、eautx2)2(tebvty将上式积分),(2)2(1baCteaxt),(2)2(2baCtebyt其中， 为积分常数，是拉格朗日变量 的函数21,CCba,利用初始条件，确定积分常数 时， ， ，可得 ，0tax by 21C22C故22)2(teaxt22)2(tebyt（1）将 代入上式，可得3t8)2(3eax8)2(3eby（2） 时，2, 2ba224text224teyt（3）质点加速度teatu)2( tebtv)2( 拉格朗日法、欧拉法两种表达式互相转换拉格朗日法、欧拉法两种表达式互相转换拉格朗日法质点位置坐标公式拉格朗日法质点位置坐标公式欧拉法运动速度表达式欧拉法运动速

13、度表达式由拉格朗日法位置坐标表达式由拉格朗日法位置坐标表达式),(tcbaxx ),(tcbayy ),(tcbazz 可以求出用可以求出用 表示的拉格朗日变量表示的拉格朗日变量 的关系式的关系式tzyx,cba,),(1tzyxfa ),(2tzyxfb ),(3tzyxfc 代入拉格朗日法质点运动速度公式代入拉格朗日法质点运动速度公式),(tcbaxtxdtdxu),(tcbaytydtdyv),(tcbaztzdtdzw可得欧拉法运动速度公式可得欧拉法运动速度公式),(tzyxuu ),(tzyxvv ),(tzyxww 将欧拉法运动速度表达式将欧拉法运动速度表达式拉格朗日法质点位置坐标

14、公式拉格朗日法质点位置坐标公式由欧拉法运动速度表达式由欧拉法运动速度表达式),(tzyxutxdtdxu),(tzyxvtydtdyv),(tzyxwtzdtdzw积分可得积分可得),(3211tCCCFx ),(3212tCCCFy ),(3213tCCCFz 其中，其中， 为积分常数为积分常数321,CCC按照拉格朗日法，按照拉格朗日法， 时，时，0tt czbyax,),(03211tCCCFa ),(03212tCCCFb ),(03213tCCCFc 由此可得以由此可得以 表示的表示的 的表达式的表达式321,CCCcba,),(011tcbaC),(022tcbaC),(033tc

15、baC代入上式，即可得到拉格朗日表达式代入上式，即可得到拉格朗日表达式以欧拉法表示流体运动特性时，可以利用欧拉法与拉格朗以欧拉法表示流体运动特性时，可以利用欧拉法与拉格朗日法的互换关系求出迹线方程日法的互换关系求出迹线方程流场的欧拉表达式流场的欧拉表达式),(tzyxudtdxu),(tzyxvdtdyv),(tzyxwdtdzw根据以上各式根据以上各式dtwdzvdyudx即质点轨迹微分方程式（迹线微分方程式），其中即质点轨迹微分方程式（迹线微分方程式），其中t是独立变量是独立变量例例. 有一流场，其欧拉表达式为有一流场，其欧拉表达式为txdtdxutydtdyv0dtdzw积分可得积分可得

16、1tAext1tBeytCz 当当 时，时， ， ， ，代入上式，解出，代入上式，解出A、B、C0tt ax by cz 010tetaA010tetaBcC 代入上式代入上式1100teetaxtt1100teetayttcz 求迹线稳定流动和不稳定流动稳定流动和不稳定流动zvwyvvxvutvdtdv流体质点加速度包括时变加速度和位变加速度两项流体质点加速度包括时变加速度和位变加速度两项稳定流动稳定流动时变加速度为零，流场中任何质点的流时变加速度为零，流场中任何质点的流动参量不随时间改变，但不同质点流动参量可以不同动参量不随时间改变，但不同质点流动参量可以不同不稳定流动不稳定流动时变加速度

17、和位变加速度都不为零，时变加速度和位变加速度都不为零，流动参量不仅随位置而改变，而且随时间而改变流动参量不仅随位置而改变，而且随时间而改变),(zyxuu 0tu，),(zyxvv ，0tv),(zyxww 0tw，),(zyxpp ，0tp流线和迹线流线和迹线流线研究法流线研究法同一瞬时，质点与质点间流动参量的关系同一瞬时，质点与质点间流动参量的关系迹线研究法迹线研究法同一质点在不同时间流动参量的关系同一质点在不同时间流动参量的关系迹线迹线流体质点运动的轨迹线流体质点运动的轨迹线一般情况下，只有以拉格朗日法表示流体质点运动一般情况下，只有以拉格朗日法表示流体质点运动时，才能做出迹线时，才能做

18、出迹线特点特点：对于每一个质点，都有一个运动轨迹，所以：对于每一个质点，都有一个运动轨迹，所以迹线是一族曲线，只随质点而异，而与时间无关迹线是一族曲线，只随质点而异，而与时间无关（因为拉格朗日变量是与时间无关的）（因为拉格朗日变量是与时间无关的）流线流线不是某一质点经过一段时间走过的轨迹，而是不是某一质点经过一段时间走过的轨迹，而是在同一瞬时流场中连续的不同位置质点的流动方向线在同一瞬时流场中连续的不同位置质点的流动方向线特点特点：首先，流线上各点流速都与流线相切首先，流线上各点流速都与流线相切其次，通过空间的一个点，在同一时刻只能有一条流线其次，通过空间的一个点，在同一时刻只能有一条流线另外

19、，流线形状与时间有关，通过空间一点，不同时间另外，流线形状与时间有关，通过空间一点，不同时间可以有不同的流线可以有不同的流线流线和迹线流线和迹线流线和迹线流线和迹线设流线上任一点设流线上任一点 ，流速为，流速为 ，),(zyxMkvjvivvzyx速度分量与坐标轴之间的夹角余弦分别为速度分量与坐标轴之间的夹角余弦分别为vvxvx),cos(vvyvy),cos(vvzvz),cos(，而而M点的的切线与坐标轴之间的夹角余弦分别为点的的切线与坐标轴之间的夹角余弦分别为dsdxxT),cos(dsdyyT),cos(dsdzzT),cos(，其中，其中， 为点为点M流线微元弧长流线微元弧长ds 为

20、为 在在 坐标轴方向上的分量坐标轴方向上的分量dzdydx,ds由于流线上每一点的速度向量均与流线相切，过M点的速度向量 (在坐标轴方向的投影为 、 )可以看作与ds重合，故二者与坐标轴夹角余弦应相等vdsdxvvxdsdyvvydsdzvvz，变形可得zyxvdzvdyvdxvds即为流线微分方程式，t应为给定值zyxvvv,例. 流场欧拉表达式txutyv0w，则此时，流场中流线微分方程式为 ，其中t为定值，0dztydytxdx由上式解两个微分方程式tydytxdx0dztxdx可得Atytx)(Bz 即为流线方程式族，其中A、B为积分常数若取流场中一点 ，且 时，可求积分常数 ，则流线

21、方程式为3, 2, 1zyx1t3, 2BA2)(tytx3z3z若取另一点 ，且 时，可求积分常数3, 5 . 1, 1zyx1t3, 1BA1)(tytx 迹线和流线都是流场中的曲线族，都与流体运动有关，但代表了不同的概念迹线是某个流体质点在一定时间内经过的路径流线表示某一瞬时流场中各流体质点的运动倾向，流速矢量，随时间而变迹线以时间t为自变量，由此决定其运动轨迹流线中时间t是给定量，随t不同，流线方程式也不同流体质点是沿迹线运动的，不是沿流线运动对于稳定流动，流线和迹线是一致的，没有区别流管、流束、流量流管、流束、流量流管流场中取任意封闭曲线，通过曲线上每一点连续作流线则流线族构成一个管

22、形表面流束流管内取一微小曲面dA，通过dA内每一点作流线，这族流线称为流束 若dA与流束中每一根流线正交，则称dA为有效流通截面，简称流通截面，若所有流线在同一个流通截面上流动参量都相同，则流束称微小流束流量通过微小流束流量dQ=vdA通过流管的流量AvdAQ流体微团运动的分析流体微团运动的分析一、环量和旋度一、环量和旋度1、定义、定义 流场内取任意曲线S，曲线上任一点A的速度 ，沿曲线切线方向的分量 ，靠近A取微元弧长ds，则称 为速度 沿曲线S的环量vsvssdsv大小大小ssdsv方向方向环量的积分方向按逆时针为正，因此环量可按右手螺旋法则确定其正负，若以矢量表示，ssdsvsdvcos

23、其中其中kvjvivvzyxkdzjdyidxsd，所以，投影分量形式szyxdzvdyvdxv)( 流场中任取一点A，曲面a包围A点， 为曲面a在A点处的单位法向矢量，曲面周线为S，则环量与速度矢量的旋度有如下关系nnvrotadsvSsa0lim当 与 方向一致时，nv|lim0vrotadsvSsa 流场中一点，取与该点速度旋度方向一致的微元曲面,则单位面积的速度环量大小与曲面趋近点的速度旋度的模相等。2、物理意义、物理意义 若P为曲面a的周线S上一点，沿S走过微元弧长ds到达Q点，其瞬时中心为O，转动半径为r，则扇形面积为POQ，当a0时，点P沿S走过微元弧长ds对瞬时中心为O在曲面a

24、上扫过的面积rdsOQ21P当a0时，曲面趋近于平面，则nsssSsrvrdsdsvPOQdsvadsv2221其中，为角速度，也是按照右手螺旋法则确定方向， 表示沿S的平均角速度。n 当a0时，A点与O点重合，A点旋度大小即等于周线S上各点对点A角速度平均值的二倍，或者说某一点的角速度等于该点旋度的模的一半。3、解析式、解析式旋度写成分量形式kvrotjvrotivrotvvrotzyx 等式右侧可以看作空间曲面a在三个坐标平面上的投影面的环量 例 为曲面a在xy坐标平面上投影面的环量，由于a0，投影面可以看作任意形状，取为微元矩形dxdy，沿周界的环量为zvrot dxdyyvxvdydx

25、xvvvdxdyyvvvxyyyyxxxz)()(xyz所以yvxvdxdydxdyyvxvavrotxyxyzzz同理zvyvvrotyzxxvzvvrotzxy故kyvxvjxvzvizvyvvrotxyzxyz)()()( 讨论A点的旋度时，只要求a0，并没有限定a的形状、方位，推导时，也没有限定坐标系的方向，所以旋度只与A点在流场中的位置有关，即旋度只是空间坐标（x,y,z）的函数，而与a的形状及其趋近于零的方式无关。4、斯托克斯公式、斯托克斯公式aSsdavrotdsv| 将曲面a分成微小的da之后，每一块微小面积与其旋度乘积的总和等于沿曲面a的周界S的环量，因为在相邻两个微小曲面d

26、a的交界上环量是互相抵消的。 速度分量速度分量 在闭合曲线在闭合曲线S上的环流量等于其旋度上的环流量等于其旋度经由此闭合曲线所围曲面上的通量经由此闭合曲线所围曲面上的通量sv二、通量和散度二、通量和散度1、定义、定义 在流场中取任意曲面a， 为其法线，单位时间内通过a的流体体积叫做曲面a的通量或流量，以Q表示，通量Q可以通过a上的微小曲面da上的微元通量得到nanadavdanvvQ),cos(由于),cos(),cos(),cos(znvynvxnvvzyxn所以azyxdaznvynvxnvQ),cos(),cos(),cos(且dxdydazndzdxdayndydzdaxn),cos(

27、,),cos(,),cos(因此azyxdxdyvdzdxvdydzvQ 如果在流场中包含A点取封闭曲面a，a所包含的体积为v，则当v0时，单位体积的通量叫做A点的散度，vdavvvdivanv0lim 由封闭曲面a流出的通量可以看作是体积的膨胀量（或收缩量），所以散度也就是A点的体积膨胀（收缩）率2、解析式、解析式流场中包围A点取微小六面体，微元通量dxdydzzvyvxvdzdxvdzzvvdzdxvdyyvvdydzvdxxvvdQzyxzzzyyyxxx)()()(根据散度定义zvyvxvdxdydzdxdydzzvyvxvdvdQvdivzyxzyx 包围A点的封闭曲面形状是任意的，

28、推导中包围A点的微小六面体的方位也是任意的，因此，散度只与A点的位置有关，即是空间坐标（x,y,z）的函数，与v的形状及其趋近于零的方式无关。3、高斯公式、高斯公式通过散度可计算流场中某一点的体积膨胀量vandvvdivdav三、移动和转动三、移动和转动1、移动、移动 流场中任取一点O，其坐标为（ ），包围点O取一流体微团v，点O称为微团v的极点，点O的速度 即微团v的移动速度， 是（ ）的函数，所以微团的移动速度也是点O空间坐标 及时间t的函数，如果微团内另外任意一点A的速度也是 ，那么微团只有移动，不发生其他运动，如果点A的速度与 不同，则微团除去移动外还有其他运动。ooozyx,vooo

29、zyx,tzyxooo,vv2、转动、转动 通过微团极点O，在微团上作三个与 平行的坐标轴 ，使其与微团一起运动，将微团及其坐标轴投影到原坐标系统 的三个平面上，以 平面进行分析，取 的平分线od，将其对于z轴的角速度定义为微团旋转速度分量 。000,OzOyOxOzOyOx,000zyOx00yxxoyz 经过dt时间后，微团由v运动到v，极点O因没有转动仍用O表示，Oxy坐标轴变为Oxy，xOy的平分线为Od,自O点沿Ox,Oy方向取dxdy距离，则y轴转角yOydtyvdydydtyvyyoxxddyxoyxdxdtxvydydtyvxdydxx轴转角xOxdtxvdxdxdtxvxxo

30、yyOd线转角dOddtyvxvdtxvdtxvdtyvxodxxoxxoyyoxodxxodoxddoxyyyx21221221221Od线绕Oz轴的旋转角速度21yvxvdtddoxyz 也就是微团绕Oz轴的旋转角速度，即微团旋转速度在Oz轴方向上的分量 同理可得微团绕Ox轴、Oy轴的旋转角速度，即微团旋转速度在Ox轴、Oy轴方向上的分量21zvyvyzx21xvzvzxy则微团旋转速度vrotkyvxvjxvzvizvyvxyzxyz21212121 由于旋度只是流场中某点（微团极点）的空间坐标和时间的函数，所以微团的旋转速度也只是空间坐标和时间的函数，其数值等于极点O附近的点对O的旋转

31、速度的平均值。 如果微团内各点的旋转速度都等于 ，则微团只有旋转，不发生变形，否则，微团除去转动以外，还将发生变形，即切变运动。vrot21四、角变形和体变形四、角变形和体变形1、角变形、角变形 微团的变形是由于微团内各点对O点的旋转角速度不均匀引起的Od线在dt时间内在xy平面内旋转角为dOdOx线在dt时间内在xy平面内旋转角为xOxOy线在dt时间内在xy平面内旋转角为yOy与Od线的转动相比较Ox轴旋转角的不均匀程度xOx-dOddtyvxvdtyvxvdtxvddoxxoxyxyy2121Oy轴旋转角的不均匀程度yOy-dOddtyvxvdtyvxvdtyvddoyyoxyxyx21

32、21 Ox、Oy轴旋转角的不均匀程度大小相等而方向相反，微团发生变形角变形单位时间内旋转角的不均匀程度叫做切变速度，记为Oz方向的微团切变速度为21yvxvxyz同理Ox方向的微团切变速度为21zvyvyzxOy方向的微团切变速度为21xvzvzxy于是微团切变速度kyvxvjxvzvizvyvxyzxyz212121若为正，微团角变形减小，收缩切变若为负，微团角变形增大，扩展切变 与旋转速度相同，微团切变速度也只是O点坐标 及时间t的函数，切变速度也是微团内极点O附近各点对O点旋转不均匀程度的平均值ooozyx,2、体变形、体变形(线变形线变形) 微团极点O移动速度 ，x轴分速度 ，A点与O

33、点速度不同，两点距离在x轴方向上投影为dx，A点在x轴方向分速度 ，则 为A点对O点在x轴方向上的相对速度，由于相对速度的存在，将造成微团在x轴方向上的伸长（收缩），vxvdxxvvxxdxxvxdxdtxvx微团在x轴方向上dt时间内伸长（收缩）量dtxvdxdxdtxvxx微团在x轴方向上的伸长（收缩）率xvdtdtxvxx单位时间内的伸长（收缩）率叫做微团在x轴方向上的膨胀（收缩）速度xvxx体变形同理同理yvyyzvzz微团膨胀速度微团膨胀速度vdivzvyvxvzyx例例.求平面流场求平面流场 的的，xvyvyx2,2旋转速度：0222121yvxvxy切变速度：2222121yvx

34、vxy膨胀速度：0yvxvyx该流场为稳定流场，无旋流动，收缩切变，无体变形3.2 流体微团运动分解流体微团运动分解 流体微团与流体质点是两个不同的概念。在连续介质的概念中，流体质点流体质点是可以忽略线性尺度效应(如膨胀、变形、转动等)的最小单元，而流体微团流体微团则是由大量流体质点所组成的具有线性尺度效应的微小流体团。 由理论力学可知，在一般情况下，固体质点或质点系的运动是由平移运动及绕某一瞬时轴的旋转运动所组成。对于流体运动，由于质点间没有刚性联系，所以流体运动要比固体运动复杂得多。流体微团运动可以归结为三种基本形式的组合，即平移运动平移运动、旋转运动旋转运动和变形运动变形运动。其中变形运

35、动又分为线变形线变形和角变形角变形(又称剪切变形)。3.2 流体微团运动分解流体微团运动分解 根据海姆霍兹(Helmholtz)速度分解定理，在运动流体微团中任意点的速度，可分解为三部分：在流体微团上所选取的参考点的平均速度；绕过这个参考点的瞬时轴的旋转速度；以及变形运动速度。3.2 流体微团运动分解流体微团运动分解 如下图所示，若以流体微团上的D点为参考点，则A点的速度可按以下表达式表示。 DAxrArD ruxDuzDuyDuzAuxAuyAzxyoyz流体微团运动分解示意图3.2 流体微团运动分解流体微团运动分解 令参考点的平移速度分别为：uxDux；uyDuy；uzDuz 。则即同理，

36、可得zzuyyuxxuuuxxxxxAzxuzuyyuxuxxuuzxxyxx2121zxuzuyyuxuzxxy2121xyzyxuuzxzyxuuyzzyxuuyxzzzyzxzzAxzyzyyxyyyAzyzxxyxxxxA3.2 流体微团运动分解流体微团运动分解 其中位移向量：流体微团旋转角速度分量：kjirzyxDADADAzzzyyyxxxyuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx2121213.2 流体微团运动分解流体微团运动分解 流体微团相对线变形线变形速度分量速度分量：流体微团剪切变形剪切变形(或称变形)速度分量速度分量：zuyuxuzzzyyyxxxyuxuxuzuzuyu

37、xyyxxyzxxzzxyzzyyz2121213.2 流体微团运动分解流体微团运动分解 由于uAuxAiuyAjuzAk，uDuuxiuyjuzk，因此 考虑到xiyjzk，rxiyjzk，而r(yz-zy)i(zx-xz)j(xy-yx)k，所以iuuyzzyxzyzxxyxxAjzxzyxxzyzyyxykxyzyxyxzzzyzxiruuzyxzxxyxxAjzyxyzyyxykzyxzzzyzx3.2 流体微团运动分解流体微团运动分解 若采用变形速度张量则 由于 rrA- rD，所以 这就是海姆霍兹速度分解定理的一般形式，它描述了流体微团上任意一点与参考点之间的速度关系。 zzzyz

38、xyzyyyxxzxyxxrruuA)()(DADAArrrruu3.2 流体微团运动分解流体微团运动分解 海姆霍兹速度分解定理将旋转运动和变形运动从流体的一般运动中分离出来，对研究流体运动问题极为重要。考虑流体微团有无旋转运动，可将流体运动分为有旋流动和无旋流动来研究。对于粘性流体运动问题，必须研究变形速度与流体所受应力之间的关系，海姆霍兹定理中很好地体现出了流体变形速度张量。 在不同的坐标系中，流体变形速度张量和旋转角速度向量的表达式也不同。3.2 流体微团运动分解流体微团运动分解 正交曲线坐标系正交曲线坐标系沿曲线坐标q1 、 q2 、 q3方向的直线相对变形速度:)(111131111

39、hVqqhhhViiii)(222231222hVqqhhhViiii)(333331333hVqqhhhViiii与坐标线q1 与q2 相切的平面内的剪切变形速度:)()(21221121122112hVqhhhVqhh)()(21332232233223hVqhhhVqhh)()(21113313311331hVqhhhVqhh3.2 流体微团运动分解流体微团运动分解 用正交曲线坐标表达的旋转角速度分量为)()(21112221213hVqhVqhh)()(21223332321hVqhVqhh)()(21331113312hVqhVqhh在圆柱坐标系在圆柱坐标系 中中zruVuVuVhr

40、hh321321, 1, 1),(zr在圆球坐标系在圆球坐标系 中中uVuVuVrhrhhr321321,sin, 1),(r在直角坐标系在直角坐标系 中中zyxuVuVuVhhh321321, 1, 1, 1),(zyx直角坐标系条件下直角坐标系条件下旋转角速度21zvyvyzx21xvzvzxy21yvxvxyz体变形速度xxxxxvyyyyyvzzzzzv切变速度zyyzyzxzvyv21xzzxzxyxvzv21yxxyxyzyvxv21变形速度张量 zzzyzxyzyyyxxzxyxxs主对角线直线变形速度分量其他剪切变形速度分量3.2 流体微团运动分解流体微团运动分解 在圆柱坐标系

41、柱坐标系(r,z)中，流体变形速度张量为各分量为 zzzzrzrrzrrrzuruurzururrurzuruurrurzrzzrzzzrrrzzzrrrr211211211体变形速度切变速度3.2 流体微团运动分解流体微团运动分解 在柱坐标系柱坐标系中，旋转角速度向量的分量为rzzrzrururrruzuruzur212121zyxzrAAAAAA1000cossin0sincoszzyxyxrAAAAAAAAcossinsincoszvrvzvrvrvzvvxvyvzvzvxvyvxvzvzvyvzzzyxzzyxzzzxyzyxr21121)(21sin)sin1(coscos121)c

42、ossin(21sincos21cossin21sincos21sin21cos21sincoscossinyxvvv3.2 流体微团运动分解流体微团运动分解 在球坐标系球坐标系(r,)中，流体变形速度张量为变形速度张量各分量为 rrrrrrruururruurrururrurruurruruurrurrrrrrrrrrrctg1sin121sin1211211ctgsin1体变形速度切变速度3.2 流体微团运动分解流体微团运动分解 在球坐标系球坐标系中，旋转角速度向量的分量为rrrururrrururrurur21sinsin21sinsin2123.3 有旋流动和无旋流动有旋流动和无旋流动

43、 海姆霍兹速度分解定理将旋转运动从流体的一般运动中分离出来，因而可将流体运动分为有旋流动和无旋流动。0为无旋流动，0为有旋流动。判断流体运动是无旋流动还是有旋流动，应根据流体微团本身是否旋转来考虑，而与流体微团运动的轨迹并无必然的关系。下图a)中虽然流体微团作圆周运动，但流体微团本身并不旋转，故为无旋流动；图b)中虽然流体微团的运动轨迹为直线，但由于微团本身在旋转，故为有旋流动。 3.3 有旋流动和无旋流动有旋流动和无旋流动 无旋流动无旋流动(圆周运动)有旋流动有旋流动(剪切直线运动)由流体微团旋转速度公式vrotkyvxvjxvzvizvyvxyzxyz21212121可知无旋流动条件0 x

44、0y0zzvyvyzxvzvzxyvxvxy，例：圆管层流，轴线Oz，流速0yv0 xv)(220yxkvvz其中 管心流速，k为常数 0v（1）求涡旋速度旋转角速度：kykyzvyvyzx022121kxkxxvzvzxy)2(021210002121yvxvxyz因此，流场为有旋流动（2）求涡线yxdydxkxdykydxkydykxdxCydyxdxCyx22涡线方程 圆管内层流，涡线是截面内一系列直径不等的圆环；而流线则垂直于横截面，与管轴平行。 只有平面或轴对称流动时，涡线与流线正交空间流动，只有在固体壁面上，流线才与涡线正交3.3.1 有旋流动的基本性质有旋流动的基本性质 设所考虑

45、的流动区域是有旋流动。按照欧拉法，任意固定一个时刻t，则流动区域内各点均有一个确定的向量rotuu，从而组成一向量场称为涡量场，记作 rot u称为涡量，它不仅依赖于流体质点的空间位置r，而且还依赖于时间t，即是空间坐标与时间的函数。 (r,t)3.3.1 有旋流动的基本性质有旋流动的基本性质 涡量场有一个重要特性，即涡量的散度为零。 0 （涡流场为一无源场涡流场为一无源场） 上式也称作涡量连续性方程。这一特性是由的定义所决定的，因为u，所以可得 (u)0 既然涡量场是向量场，类似于速度场的几何表示形式，可引进几何上表征涡量场的一些概念。3.3.1 有旋流动的基本性质有旋流动的基本性质 (1)

46、 涡线 涡线是这样一条曲线，曲线上任意一点的切线方向与在该点的流体的涡量方向一致。因为2，所以涡线也可看作流体微团的瞬时转动轴线。涡线是对同一时刻而言的，不同时刻涡线可能不同。 涡线的方程由其定义可知为 dr0 其中dr为涡线切线方向的向量元素。展开上式可得涡线微分方程0dddzyxzyx3.3.1 有旋流动的基本性质有旋流动的基本性质 (1) 涡线 对于非定常流动，在涡线方程中会出现自变量时间t，但这个t是作为参数形式出现的，所以涡线的形状可以随时间变化。对于定常流动，涡线将不随时间变化。 根据涡线的定义，过一点只能作一条涡线。 涡线321312 象流线一样，一般本身不能相交，除非在 处，类

47、似于驻点处流线相交的情况；涡线一般不与流线重合，如圆管内的流动，流线垂直于横截面，涡线为横截面内直径不等的一族圆环，事实上，在平面流动和轴对称流动中，涡线与流线是正交的，在空间流动中，只有固体壁面上的流线才与涡线正交。(1) 涡线03.3.1 有旋流动的基本性质有旋流动的基本性质 (2) 涡管 在涡量场中任取一条非涡线的可缩封闭曲线，在同一时刻过该曲线的每一点作涡线，这些涡线形成的管状曲面称作涡管。 可缩封闭曲线是指此曲线可收缩到一点而不越过流场的边界。 涡管涡线3.3.1 有旋流动的基本性质有旋流动的基本性质 (3) 涡通量(旋涡强度) 旋转角速度与垂直于的微小断面面积dA的乘积称为旋转角速

48、度的通量，它的两倍定义为旋涡强度，或称涡通量。ndA涡通量(旋涡强度)AId2d3.3.1 有旋流动的基本性质有旋流动的基本性质 (3) 涡通量(旋涡强度) 如果与dA不正交，则通过曲面A的旋涡强度可用如下积分表示。或式中n为微元面积dA的外法线方向单位向量。 可以证明，在任一瞬时，沿涡管长度各断面上的旋涡强度不变。 AAId2nAAIdn3.3.1 有旋流动的基本性质有旋流动的基本性质 (4) 速度环量 在流场中任取一条封闭曲线L，速度沿该封闭曲线的线积分称为曲线L的速度环量 LddddzuyuxuzyxLlu速度环量Ldlu3.3.1 有旋流动的基本性质有旋流动的基本性质 (4) 速度环量

49、 速度环量是标量,其符号不仅与流场的速度方向有关，而且与积分时所取的绕行方向有关，为统一起见，规定积分时的绕行方向是逆时针方向，即封闭曲线所包围的区域总在行进方向的左侧，如下图所示。当沿顺时针方向绕行时，速度环量公式前应加负号。被包围面积的法线的正方向应与绕行的正方向成右手螺旋系统。3.3.1 有旋流动的基本性质有旋流动的基本性质 (5) 斯托克斯定理 斯托克斯定理：沿包围单连通域单连通域的有限封闭曲线的速度环量，等于穿过此单连通域的旋转角速度通量(即穿过此区域的旋涡强度)的两倍。或者斯托克斯定理将速度环量和旋涡强度联系起来。AAd2nAAdn 对于任意一个以L为周界的曲面A，沿封闭曲线L的速

50、度环量等于所围曲面上的涡旋强度（旋转角速度通量的2倍） 旋度等于垂直于旋度矢量横截面上单位面积上的速度环量旋度投影分量xxyzxzuyuurot2xxxxxdAdAd2yyzxyxuzuurot2yyyyydAdAd2zzxyzyuxuurot2zzzzzdAdAd2对于总的涡道AdAn2AdAn (6) 加速度环量加速度环量 封闭流体质点线的速度环量对时间的变化率等于此封闭流体质点线的加速度环量 时刻和 时刻的封闭流体质点线dtt t 时刻取微元流体质点线段tsd 时刻取微元流体质点线段dtt tsdDtDsd由矢量四边形tsdDtDsdtutudusd)(化简tsdDtDtud sdDtD