《正则分布热力学.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《正则分布热力学.ppt（30页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、正则分布热力学现在学习的是第1页，共30页知识回顾：知识回顾：9.1 9.1 相空间相空间 刘维尔定理刘维尔定理Chap.9 Chap.9 系综理论系综理论研究研究互作用粒子互作用粒子组成的系统组成的系统统计系综统计系综:是指与原来的系统处在完全相同宏观条件下的，是指与原来的系统处在完全相同宏观条件下的，想象的大量结构完全相同的系统的集合这些系统具有完全相想象的大量结构完全相同的系统的集合这些系统具有完全相同的哈密顿，但处在各自不同的微观状态之中。同的哈密顿，但处在各自不同的微观状态之中。若系统包含多种粒子，第若系统包含多种粒子，第i 种粒子的自由度种粒子的自由度为为ri，粒子数为，粒子数为N
2、i，则系统的自由度为：，则系统的自由度为：iiirNf以以 共共2 2f个变量为坐标构成一个个变量为坐标构成一个2 2f 维空间维空间,称为相空间称为相空间(空间空间)ffpppqqq,;,2121系统在某一时刻的运动状态：系统在某一时刻的运动状态：ffpppqqq,;,2121可用相空间中的一点表示，称为系统运动状态的代表点。可用相空间中的一点表示，称为系统运动状态的代表点。相空间相空间现在学习的是第2页，共30页刘维尔定理刘维尔定理 (Liouvilles theorem)设想大量结构完全相同的系统，各自从其初态设想大量结构完全相同的系统，各自从其初态出发独立地沿着正则方程出发独立地沿着正
3、则方程(9.1.1)(9.1.1)所规定的轨道运动所规定的轨道运动.iipHqiiqHpfi,2,1（9.1.19.1.1）这些系统的运动状态的这些系统的运动状态的代表点代表点将在相空间中形成一个将在相空间中形成一个分布分布2 2、刘维尔定理、刘维尔定理0dtd 如果一个代表点沿着正则方程所确定的轨道如果一个代表点沿着正则方程所确定的轨道在相空间中运动，其邻域的代表点密度是不随时在相空间中运动，其邻域的代表点密度是不随时间改变的常数。间改变的常数。d表示时刻表示时刻t，运动状态运动状态在在d内的代表点数内的代表点数知识回顾：知识回顾：9.1 9.1 相空间相空间 刘维尔定理刘维尔定理现在学习的
4、是第3页，共30页微正则分布微正则分布 处于平衡态的孤立系统，处于平衡态的孤立系统，假设假设E E 到到E+E E+E 内一切轨道的内一切轨道的常数概率密度都相等，则在常数概率密度都相等，则在E E 到到E+E E+E 能量范围的所有可能能量范围的所有可能的微观状态上概率密度就都相等，是不随时间改变的常数。这的微观状态上概率密度就都相等，是不随时间改变的常数。这就是就是等概率原理等概率原理，也称为，也称为微正则分布微正则分布 。等概率原理是平衡态统计物理的基本假设等概率原理是平衡态统计物理的基本假设经典表达式经典表达式量子表达式量子表达式EEpqHEpqHpqEEpqHEtconspq),(,
5、),(,0),(),(,tan),(1s基本假设！基本假设！知识回顾：知识回顾：9.29.2微正则分布微正则分布现在学习的是第4页，共30页知识回顾：9.3 9.3 微正则分布的热力学公式微正则分布的热力学公式一、微观态数与热力学几率一、微观态数与热力学几率1.1.微观态数微观态数孤立系统孤立系统A(0)A(1)A(2)A(1)和和A(2)有微弱相互作用有微弱相互作用A(1)：1(N1,E1,V1)；A(2)：2(N2,E2,V2)系统总的微观状态数：系统总的微观状态数：(0)=1(E 1)2(E2)2211,222,111)(ln)(lnVNVNEEEE 是是A(1)和和A(2)达到热平衡时
6、分别具有的内能，达到热平衡时分别具有的内能，由下式确定：由下式确定：21,EE2.2.确定内能确定内能 的条件的条件21,EE现在学习的是第5页，共30页3 3 玻耳兹曼关系玻耳兹曼关系lnkS适用于有适用于有相互作用相互作用的粒子组成的系统！的粒子组成的系统！2211,222,111)(ln)(lnVNVNEEEEENVVEN,),(lnVENVEN,),(ln2211,222,111)(ln)(lnENENVEVE2211,222,111)(ln)(lnVEVENENE212121VNEVEN,),(ln定义：定义：4 4 平衡条件平衡条件kT1kTpkT热动平衡条件：热动平衡条件：21T
7、T 21pp 21k的确定：的确定：将理论用到经典理想气体可知，将理论用到经典理想气体可知，k等于玻耳兹曼常数等于玻耳兹曼常数!知识回顾：9.3 9.3 微正则分布的热力学公式微正则分布的热力学公式现在学习的是第6页，共30页二、利用微正则分布求解孤立系统基本问题的方法和步骤二、利用微正则分布求解孤立系统基本问题的方法和步骤EEpqHENrdhNE,!1VENkVENS,ln,NVSET,NSVEp,dNpdVTdSdETSUFpVUHTSpVUGNVTENVSE,内能、熵、物态方程都表为内能、熵、物态方程都表为T T、V V、N N的函数。的函数。知识回顾：9.3 9.3 微正则分布的热力学
8、公式微正则分布的热力学公式现在学习的是第7页，共30页三、应用：利用微正则分布处理单原子分子理想气体三、应用：利用微正则分布处理单原子分子理想气体以单原子经典理想气体为例：设气体含有以单原子经典理想气体为例：设气体含有N N个单个单原子分子原子分子NiimpH3122 EEpqHENNNdpdpdqdqhNE,31313!1首先计算能量不大于某一数值首先计算能量不大于某一数值E的微观状态数的微观状态数EpqHNNNdpdpdqdqhNE,31313!1EpqHNNNdpdphNV,313!2/3!22/33NNmEhVNN知识回顾：9.3 9.3 微正则分布的热力学公式微正则分布的热力学公式现
9、在学习的是第8页，共30页 EENNNmhVEEENNN12/32/3323!2/3!2 EEEN23lnkS2534ln2/33NKNmENhVNk35323/23/5243,NkSemVNhNVSENVSET,NkTE23NSVEp,NkTpV 知识回顾：9.3 9.3 微正则分布的热力学公式微正则分布的热力学公式现在学习的是第9页，共30页9.49.4正则分布正则分布 正则系综的定义及研究对象；正则系综的定义及研究对象；内容提要内容提要 正则系综的配分函数和几率分布；正则系综的配分函数和几率分布；经典近似下正则系综的配分函数和几率分布经典近似下正则系综的配分函数和几率分布一、正则系综的定
10、义及研究对象一、正则系综的定义及研究对象 在实际问题中往往需要研究具有确定粒子数在实际问题中往往需要研究具有确定粒子数N、体积体积V 和温度和温度T 的系统本节讨论具有确定的的系统本节讨论具有确定的N,V,T 值的系统的分布函数这个分布称为正则分布值的系统的分布函数这个分布称为正则分布 正则系综研究的对象是具有确定粒子数正则系综研究的对象是具有确定粒子数N、体、体积积V 和温度和温度T 的系统。的系统。9.4 9.4 正则分布正则分布现在学习的是第10页，共30页9.49.4正则分布正则分布说明：说明：1 1）能量的交换：具有确定的）能量的交换：具有确定的N,V,T 值的系统可值的系统可设想为
11、与大热源接触而达到平衡的系统设想为与大热源接触而达到平衡的系统.由于系统与由于系统与热源间存在热接触热源间存在热接触,二者可以交换能量；二者可以交换能量；系统可能的微观状态可具有系统可能的微观状态可具有不同的能量值不同的能量值；2)2)不变的温度：由于热源很大不变的温度：由于热源很大,交换能量不会改变热源的交换能量不会改变热源的温度温度.在两者建立平衡以后在两者建立平衡以后,系统将与热源具有相同的温度系统将与热源具有相同的温度.现在学习的是第11页，共30页9.49.4正则分布正则分布二、正则系综的分布函数和配分函数二、正则系综的分布函数和配分函数系统与热源合起来构成系统与热源合起来构成一个复
12、合系统这复合系统一个复合系统这复合系统是一个孤立系统，具有确定是一个孤立系统，具有确定的能量的能量假设系统和热源的作用假设系统和热源的作用很弱，复合系统的总能量很弱，复合系统的总能量E+Er r=E(0)热源很大，必有热源很大，必有E E(0)现在学习的是第12页，共30页9.49.4正则分布正则分布当系统处在能量为当系统处在能量为Es s的的(一个一个)状态状态s s 时，时，热源可处在能量为热源可处在能量为E(0)-Es s的任何一个微观状态的任何一个微观状态r r(E(0)-Es s)表示能量为表示能量为E(0)-Es s的热源的微观状态数的热源的微观状态数复合系统的可能的微观状态数为复
13、合系统的可能的微观状态数为r r(E(0)-Es s)复合系统是一个孤立系统，在平衡状态下，它复合系统是一个孤立系统，在平衡状态下，它的每一个可能的微观状态出现的概率是相等的的每一个可能的微观状态出现的概率是相等的s s r r(E(0)-Es s)现在学习的是第13页，共30页9.49.4正则分布正则分布Es s/E(0)1kTEEVN1)(ln,sEErrrrsrEEEEEEr0)(lnlnln00 srEE0lns s r r(E(0)-Es s)sEse归一化sEseZ1具有确定的粒子数具有确定的粒子数N、体、体积积V 和温度和温度T 的系统处在的系统处在微观状态微观状态s上的概率上的
14、概率归一化因子归一化因子sEseZ现在学习的是第14页，共30页9.49.4正则分布正则分布配分函数配分函数:表示对粒子数为表示对粒子数为N 和体积为和体积为V的系统的所有微观状态求和的系统的所有微观状态求和.sEseZsEseZ1lElleZ1lElleZl 能级能级三、正则分布的经典表达式三、正则分布的经典表达式dZehNdpqpqENr,!1,dehNZpqENr,!1现在学习的是第15页，共30页9.59.5正则分布的热力学公式正则分布的热力学公式9.5 9.5 正则分布的热力学公式正则分布的热力学公式 本节讨论正则分布中热力学量的统计表达式和能本节讨论正则分布中热力学量的统计表达式和
15、能量的涨落量的涨落一、正则分布的热力学公式一、正则分布的热力学公式1 1、系统的内能、系统的内能系统的能量在一切可能的微系统的能量在一切可能的微观状态上的平均值观状态上的平均值sEseZ1ssEssEseZeEZEU11ZZeZsEs11ZUln现在学习的是第16页，共30页2 2、广义力：、广义力：的统计平均值的统计平均值yEs/sEsEssseyZeyEZY111ZyZ11ZyYln1特例特例ZVpln19.59.5正则分布的热力学公式正则分布的热力学公式现在学习的是第17页，共30页3 3、熵、熵ZyYln1ZUlnYdydU dyZyZdlnlnZZdYdydUlnlndyyZdZZZ
16、dlnlnlnlnZddZlnln9.59.5正则分布的热力学公式正则分布的热力学公式现在学习的是第18页，共30页ZZdYdydUlnlndSYdydUT1kT1ZZkSlnln二、正则系统的能量涨落二、正则系统的能量涨落当系统处在状态当系统处在状态 s 时，其能量为时，其能量为 与与 的偏差为的偏差为称为能量涨落称为能量涨落EEEs2EEssEsE9.59.5正则分布的热力学公式正则分布的热力学公式现在学习的是第19页，共30页sssEEEE22ssssEEEE222ssssssssEEEE222222EEEE22EE sEseZ1sEseZsEsEsssssseeEEE对于正则分布对于正
17、则分布9.59.5正则分布的热力学公式正则分布的热力学公式现在学习的是第20页，共30页sEsEsssssseeEEE2sEsEssEssEsEssssssseeEeEeeEE222sEsEssEsEssssseeEeeE 22EE 9.59.5正则分布的热力学公式正则分布的热力学公式现在学习的是第21页，共30页222EEEE 22EEETTEEEE221kTTkT1VCkTEE22TEkT2对于具有确定的对于具有确定的N,V,T值的系统的分布函值的系统的分布函数数-正则分布正则分布9.59.5正则分布的热力学公式正则分布的热力学公式现在学习的是第22页，共30页能量的相对涨落能量的相对涨落
18、 2222ECkTEEEV和和 都是广延量，都是广延量，NVC NEEE122E讨论：这个事实说明，与热源接触达到平衡的系统，虽讨论：这个事实说明，与热源接触达到平衡的系统，虽然由于它与热源交换能量而可具有不同的能量值，但对然由于它与热源交换能量而可具有不同的能量值，但对于宏观的系统，其能量于宏观的系统，其能量E与与 有显著偏差的概率极小有显著偏差的概率极小E9.59.5正则分布的热力学公式正则分布的热力学公式现在学习的是第23页，共30页说明说明sEseZsEseZ1e-E 随着随着E 的增加而迅速减少；的增加而迅速减少；(E)随着随着E 的增加而迅速增加；的增加而迅速增加；EeEE9.59
19、.5正则分布的热力学公式正则分布的热力学公式现在学习的是第24页，共30页 正则系综与微正系综是等价的正则系综与微正系综是等价的 用微正则分布和正则分布求得用微正则分布和正则分布求得的热力学量实际上相同的热力学量实际上相同用这两个分布求热力学量实质上相当于选取不同的特用这两个分布求热力学量实质上相当于选取不同的特性函数：性函数：自变量为自变量为N,V,S 的内能的内能U自变量为自变量为N,V,T 的自由能的自由能F9.59.5正则分布的热力学公式正则分布的热力学公式现在学习的是第25页，共30页例例1 1：9.29.2，利用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程、内，利用正则分布求单原子分子理
20、想气体的物态方程、内能和熵。能和熵。单原子分子只考虑平动平动能连续，经典统计。单原子分子只考虑平动平动能连续，经典统计。NiimpE3122)9.4.9(!13131),(NNpqENrdpdpdqdqehNZ NiimpNNdpehNVi31232!NNmNrdpdpdqdqehNNiip31312312!1设气体含有设气体含有N N个单原子分子个单原子分子2/322!NNhmNV9.59.5正则分布的热力学公式正则分布的热力学公式现在学习的是第26页，共30页UZkZZkSlnlnlnNkTpV VNkTVVNZVplnln1kTNNZU231ln23ln252lnlnln232/32hm
21、kNkNVNkTNk比较比较P207P207（7.5.57.5.5）比较比较P195P195（7.2.57.2.5）比较比较P213P213（7.6.27.6.2）9.59.5正则分布的热力学公式正则分布的热力学公式现在学习的是第27页，共30页例例2 2：9.39.3，利用正则系综理论的涨落公式求单原子分子和双原子分，利用正则系综理论的涨落公式求单原子分子和双原子分子理想气体的能量相对涨落。子理想气体的能量相对涨落。NkCV23 2222ECkTEEEV对于单原子分子理想气体，有对于单原子分子理想气体，有 NNkkTNkTEEE3223232222 NNkkTNkTEEE5225252222
22、kTNUE23对于双原子分子理想气体，有对于双原子分子理想气体，有NkCV25kTNUE259.59.5正则分布的热力学公式正则分布的热力学公式解：能量相对涨落公式：解：能量相对涨落公式：现在学习的是第28页，共30页9.49.4正则分布的热力学公式正则分布的热力学公式小结小结ZyYln1ZUlnZZkSlnlnZVpln1特例特例sEseZ一、正则分布的热力学公式一、正则分布的热力学公式现在学习的是第29页，共30页9.49.4正则分布的热力学公式正则分布的热力学公式小结小结二、系统的能量涨落二、系统的能量涨落当系统处在状态当系统处在状态 s 时，其能量为时，其能量为 ，与与 的偏差为的偏差为 。称为能量涨落。称为能量涨落。EEEssEsE能量的相对涨落：能量的相对涨落：2222ECkTEEEV和和 都是广延量，都是广延量，NVC NEEE122E讨论：这个事实说明，与热源接触达到平衡的系统，虽讨论：这个事实说明，与热源接触达到平衡的系统，虽然由于它与热源交换能量而可具有不同的能量值，但对然由于它与热源交换能量而可具有不同的能量值，但对于宏观的系统，其能量于宏观的系统，其能量E与与 有显著偏差的概率极小有显著偏差的概率极小2EEs作业作业:9.1,9.4:9.1,9.4E现在学习的是第30页，共30页