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1、微正则分布热力学第1页，本讲稿共19页一、相空间一、相空间若系统包含多种粒子，第若系统包含多种粒子，第i 种粒子的自由度种粒子的自由度为为ri，粒子数为，粒子数为Ni，则系统的自由度为：，则系统的自由度为：以以 共共2 2f个变量为坐标构成一个个变量为坐标构成一个2 2f 维空间维空间,称为相空间称为相空间(空间空间)系统在某一时刻的运动状态：系统在某一时刻的运动状态：可用相空间中的一点表示，称为系统运动状态的代表点。可用相空间中的一点表示，称为系统运动状态的代表点。（2 2）系统的运动状态随时间的演化）系统的运动状态随时间的演化 系统的运动状态随时间而变，遵从系统的运动状态随时间而变，遵从哈
2、密顿正则方程哈密顿正则方程（9.1.19.1.1）（1 1）相空间（）相空间（空间）空间）当系统的运动状态随时间变化时，代表点相应地在当系统的运动状态随时间变化时，代表点相应地在相空间中移动，其轨道由式相空间中移动，其轨道由式(9.1.1)(9.1.1)确定确定知识回顾：知识回顾：9.19.1相空间相空间 刘维尔定理刘维尔定理第2页，本讲稿共19页刘维尔定理刘维尔定理 (Liouvilles theorem)设想大量结构完全相同的系统，各自从其初态设想大量结构完全相同的系统，各自从其初态出发独立地沿着正则方程出发独立地沿着正则方程(9.1.1)(9.1.1)所规定的轨道运动所规定的轨道运动.（
3、9.1.19.1.1）这些系统的运动状态的这些系统的运动状态的代表点代表点将在相空间中形成一个将在相空间中形成一个分布分布2 2、刘维尔定理、刘维尔定理 如果一个代表点沿着正则方程所确定的轨道如果一个代表点沿着正则方程所确定的轨道在相空间中运动，其邻域的代表点密度是不随时在相空间中运动，其邻域的代表点密度是不随时间改变的常数。间改变的常数。d表示时刻表示时刻t，运动状态运动状态在在d内的代表点数内的代表点数知识回顾：知识回顾：9.19.1相空间相空间 刘维尔定理刘维尔定理第3页，本讲稿共19页9.2 9.2 微正则分布微正则分布9.2 9.2 微正则分布微正则分布宏观系统，表面分子数远小于总分
4、子宏观系统，表面分子数远小于总分子数，系统与外界的相互作用很弱。数，系统与外界的相互作用很弱。统计物理学统计物理学:研究系统在给定宏观条件下的宏观性质。研究系统在给定宏观条件下的宏观性质。例如例如:如果研究的是一个孤立系统，给定的宏观条件如果研究的是一个孤立系统，给定的宏观条件就是具有确定的粒子数就是具有确定的粒子数N、体积、体积V 和能量和能量E。1 1 统计系综统计系综1)1)关于孤立系统能量的讨论：关于孤立系统能量的讨论：实际上系统通过其表面分子不可避免地与外界发生实际上系统通过其表面分子不可避免地与外界发生作用，使孤立系统的能量不具有确定的数值作用，使孤立系统的能量不具有确定的数值E而
5、是而是在在E 附近的一个狭窄的范围内，或者说在附近的一个狭窄的范围内，或者说在E E到到E+E之间之间E/E1 1第4页，本讲稿共19页 这微弱的相互作用这微弱的相互作用E 对系统微观状态的变化却产对系统微观状态的变化却产生巨大的影响：生巨大的影响：在给定的宏观条件下，宏观量是相应微观量在一切在给定的宏观条件下，宏观量是相应微观量在一切可能的满足给定宏观条件的微观状态上的平均值。可能的满足给定宏观条件的微观状态上的平均值。系统从某一初态出发沿正则方程确定的轨道运动，系统从某一初态出发沿正则方程确定的轨道运动，经过一定的时间后，外界的作用使系统跃迁到经过一定的时间后，外界的作用使系统跃迁到E E
6、到到E EE内的另一状态而沿正则方程确定的另一轨道运动。内的另一状态而沿正则方程确定的另一轨道运动。这样的过程不断发生，使系统的微观状态发生极其复杂这样的过程不断发生，使系统的微观状态发生极其复杂的变化。的变化。2)2)宏观量与微观量的关系宏观量与微观量的关系9.2 9.2 微正则分布微正则分布第5页，本讲稿共19页表示表示(一个系统一个系统)微观状态微观状态处在相空间各区域的概率处在相空间各区域的概率总和为总和为1 1。经典理论中，取相空间中体积元经典理论中，取相空间中体积元将将简记为：简记为：t 时刻系统微观状态处在时刻系统微观状态处在d内的概率为内的概率为分布函数分布函数已经归一化已经归
7、一化！根据统计物理的观点，与微观量根据统计物理的观点，与微观量B(q,p)相应的宏观物理量相应的宏观物理量9.2 9.2 微正则分布微正则分布第6页，本讲稿共19页Gibbs Gibbs 提出：提出：“原来我们讨论的只是一个系统随时间原来我们讨论的只是一个系统随时间 的演化过程，现在我们改为同时讨论大量的结构的演化过程，现在我们改为同时讨论大量的结构 相同的相同的N 个系统，这个系统，这N 个系统虽然相似，但却处个系统虽然相似，但却处 在各个不同的微观状态之中，我们把这在各个不同的微观状态之中，我们把这N 个系统个系统 的集合叫作的集合叫作统计系综统计系综”。3)3)统计系综统计系综 定义定义
8、 统计系综是指与原来的系统处在完全相同宏观条统计系综是指与原来的系统处在完全相同宏观条件下的，想象的大量结构完全相同的系统的集合这些件下的，想象的大量结构完全相同的系统的集合这些系统具有完全相同的哈密顿，但处在各自不同的微观状系统具有完全相同的哈密顿，但处在各自不同的微观状态之中。态之中。上式中，追踪一个系统从时间上求平均十分困难。上式中，追踪一个系统从时间上求平均十分困难。9.2 9.2 微正则分布微正则分布第7页，本讲稿共19页9.2 9.2 微正则分布微正则分布吉布斯吉布斯(Josiah Willard Gibbs，1839-1903)，美国物美国物理学家。理学家。18581858年毕业
9、于耶鲁大学，年毕业于耶鲁大学，接着攻读该大学的研接着攻读该大学的研究生课程。究生课程。18631863年取得美国首批博士年取得美国首批博士学位，留校讲授拉学位，留校讲授拉丁文和自然哲学。丁文和自然哲学。18661866年至年至18691869年去欧洲进修，回国后一直在耶鲁年去欧洲进修，回国后一直在耶鲁(Yale)大学任教。大学任教。18711871年被任命为数理教授。年被任命为数理教授。第8页，本讲稿共19页9.2 9.2 微正则分布微正则分布19021902年吉布斯发表了巨著年吉布斯发表了巨著统计力学的基本原统计力学的基本原理理，创立了统计系综的方法，建立起经典平衡态，创立了统计系综的方法，
10、建立起经典平衡态统计力学的系统理论，对统计力学给出了适用任何统计力学的系统理论，对统计力学给出了适用任何宏观物体的最彻底、最完整的形式。吉布斯在宏观物体的最彻底、最完整的形式。吉布斯在光学光学和电磁理论和电磁理论的研究上也有建树，并为此建立了的研究上也有建树，并为此建立了矢量分析的方法。矢量分析的方法。吉布斯被美国科学院以及欧洲吉布斯被美国科学院以及欧洲1414个科学机构选为院个科学机构选为院士或通讯院士，并接受过一些名誉学衔和奖赏。士或通讯院士，并接受过一些名誉学衔和奖赏。18801880年年他荣获美国最高科学奖他荣获美国最高科学奖-冉福特奖冉福特奖(Rumford Prize)。Gibbs
11、 scientific career can be divided into four phases.Up until1879,he worked on the theory of thermodynamics.From 1880 to 1884,he worked on the field of vector analysis.From 1882 to 1889,he workedon Optics and the theory of light.After 1889,he worked on textbooks onstatistical mechanics.第9页，本讲稿共19页9.2
12、9.2 微正则分布微正则分布统计系综所包含的大量的系统中，在时刻统计系综所包含的大量的系统中，在时刻t 运动状态运动状态处在处在d范围范围内的系统数将与内的系统数将与 成正比。成正比。如果在时刻如果在时刻t t，从统计系综中任意选取一个系统，这个，从统计系综中任意选取一个系统，这个系统的状态处在系统的状态处在d 范围的概率为范围的概率为的系综理解：的系综理解：微观量微观量B在统计系综上的平均值在统计系综上的平均值-系综平均值。系综平均值。相应地，对于量子系统，有：相应地，对于量子系统，有：第10页，本讲稿共19页9.2 9.2 微正则分布微正则分布系综平均值系综平均值B(t)根本问题是确定系综
13、分布函数根本问题是确定系综分布函数 第11页，本讲稿共19页9.2 9.2 微正则分布微正则分布二、统计系综研究孤立系统的讨论二、统计系综研究孤立系统的讨论1 1 研究对象研究对象:孤立系统孤立系统(N,V,E)为参量的系统。为参量的系统。2 2 系综的分布函数系综的分布函数 平衡状态下系统的宏观量不随时间改变平衡状态下系统的宏观量不随时间改变 必不显含时间必不显含时间第12页，本讲稿共19页9.2 9.2 微正则分布微正则分布刘维尔定理刘维尔定理系统从初态出发沿正则方程确系统从初态出发沿正则方程确定的轨道运动，概率密度是不定的轨道运动，概率密度是不随时间改变的常数随时间改变的常数受外界作用发
14、生跃迁后受外界作用发生跃迁后,系统沿系统沿E 到到E+E内的另一轨道运动，概率密度仍然是不随时内的另一轨道运动，概率密度仍然是不随时间改变的常数间改变的常数不同轨道的常数概率密不同轨道的常数概率密度是否相同度是否相同?-刘维尔定理不能回答刘维尔定理不能回答!第13页，本讲稿共19页9.2 9.2 微正则分布微正则分布3 3 微正则分布微正则分布 假设假设E 到到E+E 内一切轨道的常数概率密度都相内一切轨道的常数概率密度都相等，则在等，则在E 到到E+E 能量范围的所有可能的微观状态能量范围的所有可能的微观状态上概率密度就都相等，是不随时间改变的常数。这就上概率密度就都相等，是不随时间改变的常
15、数。这就是是等概率原理等概率原理，也称为，也称为微正则分布微正则分布 。等概率原理是平衡态统计物理的基本假设等概率原理是平衡态统计物理的基本假设经典表达式经典表达式量子表达式量子表达式第14页，本讲稿共19页9.2 9.2 微正则分布微正则分布三、微正则分布的微观态数三、微正则分布的微观态数1 1 把经典统计理解为量子统计的经典极限把经典统计理解为量子统计的经典极限,那么那么对于对于N 个自由度为个自由度为r 的全同粒子组成的系统，的全同粒子组成的系统，在能量范围在能量范围EE+E 范围内的系统的微观态数范围内的系统的微观态数2 2 对于多种粒子的系统对于多种粒子的系统i 种粒子种粒子:自由度
16、为自由度为ri;粒子数粒子数Ni第15页，本讲稿共19页9.2 9.2 微正则分布微正则分布3 3 系综理论的宏观量计算与以前方法的区别系综理论的宏观量计算与以前方法的区别以前方法：以前方法：最概然分布最概然分布下的统计结果下的统计结果系综理论：系综理论：所有可能的微观状态所有可能的微观状态上的平均值上的平均值说明：二者差别很小说明：二者差别很小!当相对涨落很小时，即当相对涨落很小时，即概率分布必然是具有非常概率分布必然是具有非常陡的极大值的分布函数，陡的极大值的分布函数，微观量的最概然值和平均微观量的最概然值和平均值是相等的。值是相等的。第16页，本讲稿共19页9.1&9.1&9.2 9.2
17、 小结小结9.19.1相空间相空间 刘维尔定理刘维尔定理9.29.2微正则分布微正则分布小结小结Chap.9 Chap.9 系综理论系综理论研究研究互作用粒子互作用粒子组成的系统组成的系统统计系综统计系综:是指与原来的系统处在完全相同宏观条件下的，是指与原来的系统处在完全相同宏观条件下的，想象的大量结构完全相同的系统的集合这些系统具有完想象的大量结构完全相同的系统的集合这些系统具有完全相同的哈密顿，但处在各自不同的微观状态之中。全相同的哈密顿，但处在各自不同的微观状态之中。第17页，本讲稿共19页刘维尔定理刘维尔定理 (Liouvilles theorem)设想大量结构完全相同的系统，各自从其
18、初态设想大量结构完全相同的系统，各自从其初态出发独立地沿着正则方程出发独立地沿着正则方程(9.1.1)(9.1.1)所规定的轨道运动所规定的轨道运动.（9.1.19.1.1）这些系统的运动状态的这些系统的运动状态的代表点代表点将在相空间中形成一个将在相空间中形成一个分布分布9.1&9.1&9.2 9.2 小结小结2 2、刘维尔定理、刘维尔定理 如果一个代表点沿着正则方程所确定的轨道如果一个代表点沿着正则方程所确定的轨道在相空间中运动，其邻域的代表点密度是不随时在相空间中运动，其邻域的代表点密度是不随时间改变的常数。间改变的常数。d表示时刻表示时刻t，运动状态运动状态在在d内的代表点数内的代表点
19、数第18页，本讲稿共19页9.1&9.1&9.2 9.2 小结小结微正则分布微正则分布 处于平衡态的孤立系统，处于平衡态的孤立系统，假设假设E E 到到E+E E+E 内一切轨道内一切轨道的常数概率密度都相等，则在的常数概率密度都相等，则在E E 到到E+E E+E 能量范围的所有能量范围的所有可能的微观状态上概率密度就都相等，是不随时间改变的常数。可能的微观状态上概率密度就都相等，是不随时间改变的常数。这就是这就是等概率原理等概率原理，也称为，也称为微正则分布微正则分布 。等概率原理是平衡态统计物理的基本假设等概率原理是平衡态统计物理的基本假设经典表达式经典表达式量子表达式量子表达式基本假设基本假设！第19页，本讲稿共19页