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1、平稳时间序列模型预测第一页，讲稿共三十页哦时间序列预测n定义：根据时间序列过去时刻的观测值，对序列在未来某个时刻的取值进行估计。n设平稳时间序列Xt 是一个ARMA(p,q)过程，即 设当前时刻为t，已知时刻t和以前时刻的观测值xt-1,xt-2,，对观测值xt+l进行预测，用 表示时间序列Xt的第l步预测值(l0)。11112,0,0ttptpttqt qtstXXXWNst E X tx l第二页，讲稿共三十页哦最小均方误差预测n用et(l)衡量预测误差：n显然，预测误差越小，预测精度就越高。n最小均方误差预测原则：1,tt lttx lE XXX tt lte lXx l 22mintt
2、tx lEelE el2222011()0,var()ttlE e le lGGG第三页，讲稿共三十页哦说明n在预测方差最小原则下得到的估计值 是序列值Xt+1在Xt,Xt-1,已知的情况下得到的条件无偏最小方差估计值。n预测方差只与预测步长 l 有关，而与预测起始点t无关。n预测步长越大，预测值的方差也越大；因而为了保证预测的精度，时间序列数据通常只合适做短期预测。12222011,()0,var()tt lttttlx lE XXXE e le lGGG tx l第四页，讲稿共三十页哦AR(p)序列的预测n在AR(p)序列场合有：n预测值1122tttptptXXXX-11122-112,
3、12tt lttt lt lpt lptttttptXlE XXXEXXXXXXlXlXlp ，第五页，讲稿共三十页哦AR(p)序列的预测n预测方差n95置信区间 -假设总体服从正态分布 111122211()var()(1)tt lt llttle lGGe lGG 12221112()1tlX lzGG第六页，讲稿共三十页哦例7.2n已知某超市月销售额近似服从AR(2)模型 (单位：万元/每月)今年第一季度该超市月销售额分别为：101，96，97.2万元 请确定该超市第二季度每月销售额的95的置信区间 12100.60.3,(0,36)tttttXXXN第七页，讲稿共三十页哦解:(1)预测
4、值计算n四月份:n五月份:n六月份:12.973.06.010)1(233xxx432.973.0)1(6.010)2(333xxx5952.97)1(3.0)2(6.010)3(333xxx12123100.60.3,(0,36)101,96,97.2tttttXXXNxxx第八页，讲稿共三十页哦解:(2)预测方差的计算n计算Green函数:根据递推公式n方差01102112010.60.360.30.66GGGGGG223022230122223012var(1)36var(2)()48.96var(3)()64.6416eGeGGeGGG第九页，讲稿共三十页哦解:(3)置信区间n 步预测
5、销售额的95%置信区间为：n估计结果3333()1.96 var(),()1.96 var()x le lx le l预测时期95置信区间预测值四月份（85.36，108.88）97.12五月份（83.72，111.15）97.432六月份（81.84，113.35）97.5952l第十页，讲稿共三十页哦例:北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合与预测图(预测1999-2003)第十一页，讲稿共三十页哦MA(q)序列的预测n当预测步长l小于等于MA模型的阶数q即lq时，Xt+l可以分解为：n特别当 l=1时有 ，即 11221111 t lt lt lt lqt l qt lltltltqt l
6、qttXe lx l 11 1tttXx预测误差预测误差预测值预测值 11 1tttXx1122ttttqt qX 第十二页，讲稿共三十页哦MA(q)序列的预测n当预测步长l大于等于MA模型的阶数q，即l q时，Xt+l可以分解为：112211220 t lt lt lt lqt l qt lt lt lqt l qttXe lXl 预测值预测值预测误差预测误差第十三页，讲稿共三十页哦MA(q)序列的预测nl步的预测：n说明MA(q)序列理论上只能预测q步之内的序列走势，超过q步预测值恒等于序列均值。这是由MA(q)序列自相关q步截尾的性质决定的。n预测方差：,()0,qit l ii ltl
7、qx llq 222112221(1),var()(1),ltqlqe llq第十四页，讲稿共三十页哦例7.3n已知某地区每年常驻人口数量近似服从MA(3)模型（单位：万人）：最近3年的常驻人口数量及一步预测数量如下：预测未来5年该地区常住人口的95置信区间21231000.80.60.2,25tttttX 年份统计人数预测人数200210411020031081002004105109第十五页，讲稿共三十页哦解:年份统计人数预测人数200210411020031081002004105109100)5(100)4(8.1002.0100)3(962.06.0100)2(2.1092.06.0
8、8.0100)1(121tttttttttttxxxxx22002200112003200220042003(1)104 1106(1)108 1008(1)105 1094tttxxxxxx 21231000.80.60.2,25tttttX第十六页，讲稿共三十页哦解：置信区间的计算2221222122222123var(1)25,var(2)(1)41var(3)(1)50var(4)var(5)(1)51ttttteeeee预测年份95置信区间预测人数 2005（99，119）109.22006（83，109）962007（87，115）100.82008（86，114）1002009（
9、86，114）100n95%置信区间的计算：n估计结果：1.96 varttx le l第十七页，讲稿共三十页哦ARMA(p,q)序列预测nARMA(p,q)序列场合:n预测1111ttptpttqt qXXX -11111-11212,12,12,tt lttt lpt lpt lt lqt l qttqttptit l ii lttptx lE XXXEXXXXXlXlXlplqXlXlXlplq ，第十八页，讲稿共三十页哦例7.4 已知ARMA(1,1)模型为：且x100=0.3,100=0.01，预测未来3期序列值的95的置信区间。2110.80.6,0.0025ttttXX 第十九页
10、，讲稿共三十页哦nx100=0.3,100=0.01n计算Green函数：n预测方差：解:10010010010010010010010.80.60.23420.810.1872,30.820.14976xXxxxx2110.80.6,0.0025ttttXX 0110121110.20.16GGGGG221000222100012222100012var(1)0.0025var(2)()0.0026var(3)()0.002664eGeGGeGGG第二十页，讲稿共三十页哦解:置信区间的计算时期95置信区间预测值101（0.136，0.332）0.234102（0.087，0.287）0.18
11、72103（0.049，0.251）0.14976n95%置信区间：n估计结果：1001001001001.96 var,1.96 varxlelxlel第二十一页，讲稿共三十页哦修正预测n定义n所谓的修正预测就是研究如何利用新的信息去获得精度更高的预测值 n方法n在新的信息量比较大时把新信息加入到旧的信息中，重新拟合模型；n在新的信息量很小时不重新拟合模型，只是将新的信息加入以修正预测值，提高预测精度。第二十二页，讲稿共三十页哦修正预测原理n在旧信息的基础上，Xt+l的预测值为n假设新获得一个观察值Xt+1，则nXt+1的修正预测值为其中 是Xt+1的一步预测误差。n修正预测误差为110()
12、tl it iltltix lGGG1111111(1)()tltltltlttxlGGGGx l2201)1(tllttGGle+11=1tttXX第二十三页，讲稿共三十页哦修正预测原理n预测方差为 即一期修正后第 步预测方差就等于修正前第 步预测方差。它比修正前的同期预测方差减少了 ，提高了预测精度。222102var(1)()var1tltelGGe ll1l 221lG第二十四页，讲稿共三十页哦一般情况n假设获得k个新的观察值 ，则 n 的修正预测值为n修正预测误差为n预测方差为1,1tt kXXklt lX-+1+111-+1+1()t kl kt kltltltl kt klttX
13、lkGGGGGGx l011()t kt ll kt kelkGG 22201var()()vartpl ktelpGGe lp 第二十五页，讲稿共三十页哦例7.2续n已知某超市月销售额近似服从AR(2)模型(单位：万元/每月)今年第一季度该超市月销售额分别为：101，96，97.2万元。（1）请确定该超市第二季度每月销售额的95的置信区间。（2）假如一个月后知道4月份的真实销售额为100万元，求第二季度后两个月销售额的修正预测值。12100.60.3,(0,36)tttttXXXN第二十六页，讲稿共三十页哦预测时期95置信区间预测值四月份（85.36，108.88）97.12 100五月份（
14、83.72，111.15）97.432六月份（81.84，113.35）97.5952第二十七页，讲稿共三十页哦例7.2续：假如四月份的真实销售额为100万元，求二季度后两个月销售额的修正预测值 n计算四月份的一步预测误差n计算修正预测值443(1)10097.122.88Xx 41431299.16XGx 42432399.50XGx月份 预测值新获得观察值 修正预测值 497.12100597.432697.5952 3Xl41Xl 第二十八页，讲稿共三十页哦例7.2续:n计算修正方差：n 步预测销售额的95%置信区间为：224302224301var(1)var(1)36var(2)var(2)()48.96eeGeeGGl 44441.96 var,1.96 varxlelxlel第二十九页，讲稿共三十页哦修正预测预测时期修正前置信区间修正后置信区间四月份（85.36，108.88）五月份（83.72，111.15）（87.40，110.92）六月份（81.84，113.35）（85.79，113.21）第三十页，讲稿共三十页哦