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1、第七章 平稳时间序列模型预测,时间序列预测,定义：根据时间序列过去时刻的观测值，对序列在未来某个时刻的取值进行估计。 设平稳时间序列Xt 是一个ARMA(p,q)过程，即 设当前时刻为t，已知时刻t和以前时刻的观测值xt-1, xt-2, ，对观测值xt+l进行预测，用 表示时间序列Xt的第l步预测值(l0)。,最小均方误差预测,用et(l)衡量预测误差： 显然，预测误差越小，预测精度就越高。 最小均方误差预测原则：,说明,在预测方差最小原则下得到的估计值 是序列值Xt+1在Xt ,Xt-1,已知的情况下得到的条件无偏最小方差估计值。 预测方差只与预测步长 l 有关，而与预测起始点t无关。 预
2、测步长越大，预测值的方差也越大；因而为了保证预测的精度，时间序列数据通常只合适做短期预测。,AR(p)序列的预测,在AR(p)序列场合有： 预测值,AR(p)序列的预测,预测方差 95置信区间 -假设总体服从正态分布,例7.2,已知某超市月销售额近似服从AR(2)模型 (单位：万元/每月) 今年第一季度该超市月销售额分别为： 101，96，97.2万元 请确定该超市第二季度每月销售额的95的置信区间,解: (1) 预测值计算,四月份: 五月份: 六月份:,解: (2)预测方差的计算,计算Green函数: 根据递推公式 方差,解: (3)置信区间,步预测销售额的95%置信区间为： 估计结果,例:
3、北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合与预测图(预测1999-2003),MA(q)序列的预测,当预测步长l小于等于MA模型的阶数q即lq时，Xt+l可以分解为： 特别当 l=1时有 ，即,预测误差,预测值,MA(q)序列的预测,当预测步长l大于等于MA模型的阶数q，即l q时，Xt+l可以分解为：,预测值,预测误差,MA(q)序列的预测,l步的预测： 说明MA(q)序列理论上只能预测q步之内的序列走势，超过q步预测值恒等于序列均值。这是由MA(q)序列自相关q步截尾的性质决定的。 预测方差：,例7.3,已知某地区每年常驻人口数量近似服从MA(3)模型（单位：万人）： 最近3年的常驻人口数量及一步
4、预测数量如下： 预测未来5年该地区常住人口的95置信区间,解:,解：置信区间的计算,95%置信区间的计算： 估计结果：,ARMA(p,q)序列预测,ARMA(p,q)序列场合 : 预测,例7.4,已知ARMA(1,1)模型为： 且x100=0.3,100=0.01，预测未来3期序列值的95的置信区间。,x100=0.3,100=0.01 计算Green函数： 预测方差：,解:,解: 置信区间的计算,95%置信区间： 估计结果：,修正预测,定义 所谓的修正预测就是研究如何利用新的信息去获得精度更高的预测值 方法 在新的信息量比较大时把新信息加入到旧的信息中，重新拟合模型； 在新的信息量很小时不重
5、新拟合模型，只是将新的信息加入以修正预测值，提高预测精度。,修正预测原理,在旧信息的基础上，Xt+l的预测值为 假设新获得一个观察值Xt+1 ，则 Xt+1的修正预测值为 其中 是Xt+1的一步预测误差。 修正预测误差为,修正预测原理,预测方差为 即一期修正后第 步预测方差就等于修正前第 步预测方差。它比修正前的同期预测方差减少了 ，提高了预测精度。,一般情况,假设获得k个新的观察值 ，则 的修正预测值为 修正预测误差为 预测方差为,例7.2续,已知某超市月销售额近似服从AR(2)模型(单位：万元/每月) 今年第一季度该超市月销售额分别为：101，96，97.2万元。 （1）请确定该超市第二季度每月销售额的95的置信区间。 （2）假如一个月后知道4月份的真实销售额为100万元，求第二季度后两个月销售额的修正预测值。,例7.2续：假如四月份的真实销售额为100万元，求二季度后两个月销售额的修正预测值,计算四月份的一步预测误差 计算修正预测值,例7.2续:,计算修正方差： 步预测销售额的95%置信区间为：,修正预测,