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1、平稳时间序列模型预测第一页，讲稿共二十七页哦考虑预测问题首先要确定衡量预测效果的标准，一个很自然的思想就是预测值 与真值 的均方误差达到最小，即设 预测值 与真值 的均方误差 我们的工作就是寻找 ，使上式达到最小。下面我们证明最小均方误差预测就是 上海财经大学 统计与管理学院 2 tx lt lx tt lte lXx l tx lt lx 22tt ltE elE Xx l tx l1,t lttE XXX第二页，讲稿共二十七页哦 设随机序列 ，满足 ，则 如果随机变量 使得 达到最小值，则如果随机变量 使得 达到最小值，则 上海财经大学 统计与管理学院 312,X X 2,ttEXEX1,
2、nfXX2111,nnnEXfXXXX111,nnnf XXE XXX 1,nfXX211,nnE XfXX111,nnnfXXE XXX第三页，讲稿共二十七页哦因为 可以看作为当前样本和历史样本 的函数，根据上述结论，我们得到，当 时，使得 达到最小。对于ARMA模型，下列等式成立：上海财经大学 统计与管理学院 4 tx l1,ttXX 1,tt lttx lE XXX 22tt ltE elE Xx l 1,kttkE XXXxkt 1,0t ltttE XXXx ll1,kttkEXXkt1,0,kttEXXkt第四页，讲稿共二十七页哦如果ARMA模型满足因果性，则有所以，预测误差为 上
3、海财经大学 统计与管理学院 5 0tttjtjjBXG BBG 00tt ltjt ljljtjjje lXx lGG 01111t lt lltGGG 0tE e l 222222011varttt ltlE ele lE Xx lGGG 第五页，讲稿共二十七页哦由此，我们可以看到在预测方差最小的原则下，是 当前样本 和历史样本 已知条件下得到的条件最小方差预测值。其预测方差只与预测步长 有关，而与预测起始点t无关。当预测步长 的值越大时，预测值的方差也越大，因此为了预测精度，ARMA模型的预测步长 不宜过大，也就是说使用ARMA模型进行时间序列分析只适合做短期预测。上海财经大学 统计与管理
4、学院 6 2112var,vart lttt lt lttt lttXXXEXE XXXE Xx le l2222011lGGG tx lt lXtX1,ttXXlll第六页，讲稿共二十七页哦进一步地，在正态分布假定下，有 由此可以得到 预测值的95%的置信区间为 或者 上海财经大学 统计与管理学院 7 22221011,t ltttlXXXN x lGGGt lX 1.96 var,1.96 varttttx le lx le l 1 21 22222220110111.96,1.96tltlx lGGGx lGGG第七页，讲稿共二十七页哦首先考虑AR(1)模型 当 时，即当前时刻为t的一步
5、预测为 当 ，当前时刻为t的 步预测 上海财经大学 统计与管理学院 81t lt lt lXX 1l 1111 1,tttttttttxE XXXEXXXx1l l 111,1tt lttt lt lttlttx lE XX XEXX Xx lx 第八页，讲稿共二十七页哦对于AR(p)模型 当 时，当前时刻为t的一步预测为 当 ，当前时刻为t的 步预测 上海财经大学 统计与管理学院 911t lt lpt lpt lXXX 1l 1111111 1,tttttptpt ltttp t pxE X X XEXXX Xxx 1111,tt lttt lp t l pt lttx lE X X XE
6、XXX X lpl11tptx lx lp第九页，讲稿共二十七页哦设平稳时间序列 来自AR(2)模型 已知 ，求 和 以及95%的置信区间。解：上海财经大学 统计与管理学院 10tX121.10.3ttttXXX254550.8,1.2,1.21xx 551x 552x 5556555455545655545554 1,1.10.3,1.10.31.1 1.2 0.3 0.81.08xE X X XEXXX Xxx第十页，讲稿共二十七页哦根据第三章，可以计算模型的格林函数为 所以 的95%的置信区间为（1.076，3.236）的95%的置信区间为（2.296，3.952）上海财经大学 统计与管
7、理学院 11 55575554565557555455552,1.10.3,1.110.31.1 1.08 0.3 1.20.828xE XXXEXXXXxx01101,1.1GGG56X57X第十一页，讲稿共二十七页哦已知某商场月销售额来自AR(2)模型(单位：万元/月)2006年第一季度该商场月销售额分别为：101万元，96万元，97.2万元。求该商场2006年第二季度的月销售额的95%的置信区间。上海财经大学 统计与管理学院 1212100.60.3,0,36tttttXXXN第十二页，讲稿共二十七页哦求第二季度的四月、五月、六月的预测值分别为 上海财经大学 统计与管理学院 13 343
8、2132432132 1,100.60.3,100.60.397.2xE XXXXEXXXXXxx 35321435321332,100.60.3,100.610.397.432xE XXXXEXXXXXxx 36321546321333,100.60.3,100.620.3197.5952xE XXXXEXXXXXxx第十三页，讲稿共二十七页哦计算模型的格林函数为四月、五月、六月的月销售额的95%的置信区间分别为 四月：（85.36，108.88）五月：（83.72，111.15）六月：（81.84，113.35）上海财经大学 统计与管理学院 14010 1211201,0.60.360.3
9、0.66GGGGGG第十四页，讲稿共二十七页哦对于MA(q)模型 我们有 当预测步长 ，可以分解为当预测步长 ，可以分解为上海财经大学 统计与管理学院 1511tttqt qX 11t lt lt lqt l qX lqt lX1111t lt lt lltltqt l qX lqt lX 1111,tt lttt lt lqt l qttx lE XXXEXX 0 1,tt lttltqt l qx lE XXX 第十五页，讲稿共二十七页哦MA(q)模型预测方差为 上海财经大学 统计与管理学院 16 2221122211var1ltqlqe llq第十六页，讲稿共二十七页哦已知某地区每年常住
10、人口数量近似的服从MA(3)模型（单位：万人）2002年2004年的常住人口数量及1步预测数量见表上海财经大学 统计与管理学院 1721231000.80.60.2,25tttttX年份人口数量预测人口数量200220032004104108105110100109第十七页，讲稿共二十七页哦预测未来5年该地区常住人口数量的95%的置信区间。上海财经大学 统计与管理学院 18 2004200420032002200420042003200420042004200411000.80.60.2109.221000.60.29631000.2100.841005100 xxxxx第十八页，讲稿共二十七
11、页哦上海财经大学 统计与管理学院 19预测年份95%的置信区间20052006200720082009（99，119）（83，109）（87，115）（86，114）（86，114）第十九页，讲稿共二十七页哦关于ARMA模型 有 上海财经大学 统计与管理学院 201111ttpt pttq t qXXX 11111111111111t lt lp t l pt lt lq t l qt lp t l pt lt lltl tq t l qt lp t l pt lt lq t l qXXXXXl qXXl q 第二十页，讲稿共二十七页哦上海财经大学 统计与管理学院 21 111,1 1tt l
12、tttptltqt l qtptx lE XXXx lx lplqx lx lplq 第二十一页，讲稿共二十七页哦已知ARMA(1,1)模型为 且 ，预测未来3期序列值的95%的置信区间。上海财经大学 统计与管理学院 222110.80.6,0.0025ttttXX1001000.3,0.01x第二十二页，讲稿共二十七页哦首先计算未来3期预测值 计算模型的格林函数为上海财经大学 统计与管理学院 23 10010010010010010010010.80.60.23420.810.187230.820.14976xxxxxx010 112111,0.20.16GGGGG第二十三页，讲稿共二十七页
13、哦计算预测方差 计算 得到未来3期序列值的95%的置信区间 上海财经大学 统计与管理学院 24 21000222100012222100012var10.0025var20.0026var30.002664eGeGGeGGG 1001001001001.96 var,1.96 varxlelxlel预测时期95%的置信区间101102103（0.136，0.332）（0.087，0.287）（-0.049，0.251）第二十四页，讲稿共二十七页哦上海财经大学 统计与管理学院 25第二十五页，讲稿共二十七页哦假设一个月后已知四月份的真实销售额为100万元，求第二季度后两个月销售额的修正预测值及9
14、5%的置信区间。因为 根据上述公式可以计算五月、六月的修正预测值如下：上海财经大学 统计与管理学院 26 443 110097.122.88xx 41431299.16xGx 42432399.50 xGx第二十六页，讲稿共二十七页哦修正预测方差为 步预测销售额的95%的置信区间 上海财经大学 统计与管理学院 27 224302224301var1var136var2var248.96eeGeeGGl预测时期修正前95%的置信区间修正后95%的置信区间四月五月六月（85.36，108.88）（83.72，111.15）（81.84，113.35）（87.40，110.92）（85.79，113.21）第二十七页，讲稿共二十七页哦