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1、平稳时间序列模型预测第1页，此课件共27页哦上海财经大学统计学系 27.1 最小均方误差预测最小均方误差预测考虑预测问题首先要确定衡量预测效果的标准，一个很自然的思想就是预测值 与真值 的均方误差达到最小，即设 预测值 与真值 的均方误差 我们的工作就是寻找 ，使上式达到最小。下面我们证明最小均方误差预测就是 第2页，此课件共27页哦上海财经大学统计学系 3条件无偏均方误差最小预测条件无偏均方误差最小预测 设随机序列 ，满足 ，则 如果随机变量 使得 达到最小值，则如果随机变量 使得 达到最小值，则 第3页，此课件共27页哦上海财经大学统计学系 4因为 可以看作为当前样本和历史样本 的函数，根
2、据上述结论，我们得到，当 时，使得 达到最小。对于ARMA模型，下列等式成立：第4页，此课件共27页哦上海财经大学统计学系 5ARMA模型的预测方差和预测区间模型的预测方差和预测区间 如果ARMA模型满足因果性，则有 所以，预测误差为 第5页，此课件共27页哦上海财经大学统计学系 6由此，我们可以看到在预测方差最小的原则下，是 当前样本 和历史样本 已知条件下得到的条件最小方差预测值。其预测方差只与预测步长 有关，而与预测起始点t无关。当预测步长 的值越大时，预测值的方差也越大，因此为了预测精度，ARMA模型的预测步长 不宜过大，也就是说使用ARMA模型进行时间序列分析只适合做短期预测。第6页
3、，此课件共27页哦上海财经大学统计学系 7进一步地，在正态分布假定下，有 由此可以得到 预测值的95%的置信区间为 或者 第7页，此课件共27页哦上海财经大学统计学系 87.2 对对AR模型的预测模型的预测首先考虑AR(1)模型 当 时，即当前时刻为t的一步预测为 当 ，当前时刻为t的 步预测 第8页，此课件共27页哦上海财经大学统计学系 9对于AR(p)模型 当 时，当前时刻为t的一步预测为 当 ，当前时刻为t的 步预测 第9页，此课件共27页哦上海财经大学统计学系 10例例7.1 设平稳时间序列 来自AR(2)模型 已知 ，求 和 以及95%的置信区间。解：第10页，此课件共27页哦上海财
4、经大学统计学系 11根据第三章，可以计算模型的格林函数为 所以 的95%的置信区间为（1.076，3.236）的95%的置信区间为（2.296，3.952）第11页，此课件共27页哦上海财经大学统计学系 12例例7.2 已知某商场月销售额来自AR(2)模型(单位：万元/月)2006年第一季度该商场月销售额分别为：101万元，96万元，97.2万元。求该商场2006年第二季度的月销售额的95%的置信区间。第12页，此课件共27页哦上海财经大学统计学系 13求第二季度的四月、五月、六月的预测值分别为 第13页，此课件共27页哦上海财经大学统计学系 14计算模型的格林函数为四月、五月、六月的月销售额
5、的95%的置信区间分别为 四月：（85.36，108.88）五月：（83.72，111.15）六月：（81.84，113.35）第14页，此课件共27页哦上海财经大学统计学系 157.3 MA模型的预测模型的预测对于MA(q)模型 我们有 当预测步长 ，可以分解为当预测步长 ，可以分解为第15页，此课件共27页哦上海财经大学统计学系 16MA(q)模型预测方差为 第16页，此课件共27页哦上海财经大学统计学系 17例例7.3 已知某地区每年常住人口数量近似的服从MA(3)模型（单位：万人）2002年2004年的常住人口数量及1步预测数量见表年份人口数量预测人口数量200220032004104
6、108105110100109第17页，此课件共27页哦上海财经大学统计学系 18预测未来5年该地区常住人口数量的95%的置信区间。第18页，此课件共27页哦上海财经大学统计学系 19预测年份95%的置信区间20052006200720082009（99，119）（83，109）（87，115）（86，114）（86，114）第19页，此课件共27页哦上海财经大学统计学系 207.4 ARMA模型的预测模型的预测关于ARMA模型 有 第20页，此课件共27页哦上海财经大学统计学系 21第21页，此课件共27页哦上海财经大学统计学系 22 例例7.4 已知ARMA(1,1)模型为 且 ，预测未来
7、3期序列值的95%的置信区间。第22页，此课件共27页哦上海财经大学统计学系 23首先计算未来3期预测值 计算模型的格林函数为第23页，此课件共27页哦上海财经大学统计学系 24计算预测方差 计算 得到未来3期序列值的95%的置信区间 预测时期95%的置信区间101102103（0.136，0.332）（0.087，0.287）（-0.049，0.251）第24页，此课件共27页哦上海财经大学统计学系 257.5 预测值的适时修正预测值的适时修正 对于平稳时间序列的预测，实际就是利用已有的当前信息和历史信息对于序列未来某个时期 进行预测。预测的步长值越大，预测精度越差。随着时间的向前推移，在原
8、有时间序列观测值的基础上，我们会不断获得新的观测值。显然，如果把新的观测值加入历史数据，就能够提高对的预测精度。所谓预测值的修正就是研究如何利用新的信息去获得精度更高的预测值。第25页，此课件共27页哦上海财经大学统计学系 26例例7.2续续 假设一个月后已知四月份的真实销售额为100万元，求第二季度后两个月销售额的修正预测值及95%的置信区间。因为 根据上述公式可以计算五月、六月的修正预测值如下：第26页，此课件共27页哦上海财经大学统计学系 27修正预测方差为 步预测销售额的95%的置信区间 预测时期修正前95%的置信区间修正后95%的置信区间四月五月六月（85.36，108.88）（83.72，111.15）（81.84，113.35）（87.40，110.92）（85.79，113.21）第27页，此课件共27页哦