《极限的运算和两个重要极限.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《极限的运算和两个重要极限.ppt（38页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、关于极限的运算和两个重要极限现在学习的是第1页，共38页定理定理.0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设证证.)(lim,)(limBxgAxf .0,0.)(,)(其其中中BxgAxf由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得一、极限的四则运算现在学习的是第2页，共38页)()()(BAxgxf .0.)1(成立成立)()()(BAxgxf ABBA )()(BA.0.)2(成立成立BAxgxf)()(BABA )(BBAB.0 AB,0,0 B又又,0 ,00时时当当 xx
2、,2B BBBB21 B21 现在学习的是第3页，共38页推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为为常常数数而而存存在在如如果果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是是正正整整数数而而存存在在如如果果推论推论2 2,21)(2BBB ,2)(12BBB 故故有界，有界，.)3(成立成立现在学习的是第4页，共38页求极限方法举例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxx
3、x52322 ,03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 现在学习的是第5页，共38页小结小结:则则有有设设,)(.1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 则则有有且且设设,0)(,)()()(.20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx)()(00 xQxP).(0 xf.,0)(0则商的法则不能应用则商的法则不能应用若若 xQ现在学习的是第6页，共38页解解)32(lim21 x
4、xx,0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又,03 1432lim21 xxxx.030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx现在学习的是第7页，共38页解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x.1后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21)00(型型(消去零因子法消去零因子法)现在学习的是第8页，共38
5、页例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再再求求极极限限分分出出无无穷穷小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)现在学习的是第9页，共38页小结小结:为为非非负负整整数数时时有有和和当当nmba,0,000 ,0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当无穷小分出法无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子以分母中自变量的最高次幂除分子,分母分母
6、,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.现在学习的是第10页，共38页例例5 5).21(lim222nnnnn 求求解解是无限多个无穷小之和是无限多个无穷小之和时时,n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.现在学习的是第11页，共38页例例6 6.sinlimxxx 求求解解,1,为无穷小为无穷小时时当当xx.sin 是有界函数是有界函数而而x.0sinlim xxxxxysin 现在学习的是第12页，共38页例例7 7).(lim,0,10,1)(02xfxxxxxfx 求求
7、设设yox1xy 112 xy解解两个单侧极限为两个单侧极限为是函数的分段点是函数的分段点,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx ,1)1(lim)(lim200 xxfxx,1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,.1)(lim0 xfx故故现在学习的是第13页，共38页.)(lim)(lim)()(lim)()(lim)(00000AufxfxxxfAufaxxaxaxxxuauxxauxx 时的极限也存在，且时的极限也存在，且当当则复合函数则复合函数，又，又的某去心邻域内的某去心邻域内但在点但在点，即，即时的极限存在且等于时的极限存在且等于当当运算法则）设函数运算法则）设函数定
8、理（复合函数的极限定理（复合函数的极限)(lim0 xfxx)(limufau)(xu 令令)(lim0 xaxx 意义：意义：现在学习的是第14页，共38页例例8 8.lim333axaxax 求求解解axaxaxax 3233)()(lim原原式式3233232)(limaaxxaxax 0 323203limauuaxu 令令现在学习的是第15页，共38页小结1、极限的四则运算法则及其推论、极限的四则运算法则及其推论;2、极限求法、极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求
9、极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.3、复合函数的极限运算法则、复合函数的极限运算法则现在学习的是第16页，共38页二、两个重要极限(1)1sinlim0 xxx注意注意：sinlim0.xxx)00(型型()有界量型现在学习的是第17页，共38页例例.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原原式式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 现在学习的是第18页，共38页(2)exxx )11(lim定义定义ennn )11(lim111
10、11(1)1111111111111nnnnnnxnnnnnnnn现在学习的是第19页，共38页,1时时当当 x,1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而,e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx,e.)11(limexxx 现在学习的是第20页，共38页,xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt.e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 .e exxx 10)
11、1(lim1模式模式现在学习的是第21页，共38页例例4 4.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原原式式.2e 现在学习的是第22页，共38页小结1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限迫敛准则迫敛准则;单调有界准则单调有界准则.;1sinlim10 某某过过程程.)1(lim210e 某某过过程程,为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设 现在学习的是第23页，共38页三、无穷小的比较例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim022
12、01sinlimxxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大大致致相相同同与与xx不可比不可比.,0,1 xx1sinlim0.不不存存在在观察各极限观察各极限型）型）（00现在学习的是第24页，共38页；记作记作高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比，就说，就说如果如果)(,0lim)1(o定义定义:.0,且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设;,0lim)3(是是同同阶阶的的无无穷穷小小与与就就说说如如果果 C;,1lim 记
13、作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地，特殊地，低阶的无穷小低阶的无穷小是比是比，就说，就说如果如果 lim)(现在学习的是第25页，共38页.,0,0lim)4(无穷小无穷小阶的阶的的的是是就说就说如果如果kkCk ，03lim20 xxx，1sinlim0 xxx;302高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比时，时，当当xxx).0()3(2 xxox即即是是等等价价无无穷穷小小与与时时，当当xxxsin0).0(sinxxx即即例如例如，现在学习的是第26页，共38页例例1 1.sintan,0:的三阶无穷小的三阶无穷小为为时时当当证明证明xxxx 解解30sintanl
14、imxxxx)cos1sincos1(lim20 xxxxxx ,21.sintan的三阶无穷小的三阶无穷小为为xxx 2000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx 现在学习的是第27页，共38页的主要部分的主要部分是是称称为为必要条件必要条件是等价无穷小的的充分是等价无穷小的的充分与与定理定理 ).(1o证证必要性必要性，设设 1limlim ，0，即即)()(oo充分性充分性设设)(o )(limlimo）（)(limo，1 现在学习的是第28页，共38页意义意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式：用等价无穷小可给出函数的近似表达式例如例如,),(sinxoxx ).
15、(21cos122xoxx ,0时时当当 xxycos1 221yx 常用等价无穷小常用等价无穷小:,0时时当当 x)0(1)1(,21cos1,1)1ln(arctanarcsintansin2 aaxxxxexxxxxxxax.21cos1,sin2xxxx 见课本见课本357页页现在学习的是第29页，共38页例例解解)1ln(lim1lim00uuxeuxx .1lim0 xexx 求求,1uex 令令),1ln(ux 即即,0,0ux有有时时则则当当uuu10)1ln(1lim uuu10)1ln(lim1 eln1.1.1),1ln(0 xexxxx时时，即即，当当现在学习的是第30
16、页，共38页等价无穷小代换定理定理(等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理).limlim,lim,则则存存在在且且设设证证 lim)lim(limlimlim.lim 现在学习的是第31页，共38页例例.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式.8 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限不会改变原式的极限现在学习的是第32页，共38
17、页不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换和中各无穷小不能分别代换.注意注意例例.arcsinsin)1(lim0 xxxx 求求解解.arcsin,sin,0 xxxxx时时当当 xxxx)1(lim0 原原式式.1)1(lim0 xx现在学习的是第33页，共38页例例.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式.0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213
18、x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 现在学习的是第34页，共38页例例6 6.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解解),(55tanxoxx ),(33sinxoxx ).(21cos122xoxx )(3)(21)(5lim220 xoxxoxxoxx 原原式式xxoxxoxxxox)(3)(21)(5lim20 .35 现在学习的是第35页，共38页353cos1lim35tanlim3sin1cos5tanlim000 xxxxxxxxxx另解另解:现在学习的是第36页，共38页小结1、无穷小的比较、无穷小的比较反映了同一过程中反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.2、等价无穷小的代换、等价无穷小的代换:求极限的又一种方法求极限的又一种方法,注意适用条件注意适用条件.高高(低低)阶无穷小阶无穷小;等价无穷小等价无穷小;无穷小的阶无穷小的阶.现在学习的是第37页，共38页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第38页，共38页