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1、关于定积分习题课现在学习的是第1页，共37页微微 元元 法法理理 论论 依依 据据名称释译名称释译所求量所求量的特点的特点解解 题题 步步 骤骤定积分应用中的常用公式定积分应用中的常用公式定积分的几何应用定积分的几何应用现在学习的是第2页，共37页1 1、问题的提出、问题的提出实例实例1 （求曲边梯形的面积（求曲边梯形的面积A）iniixfA )(lim10 曲曲边边梯梯形形由由连连续续曲曲线线)(xfy )0)(xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.现在学习的是第3页，共37页实例实例2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）iniitvs )(lim10 设
2、设某某物物体体作作直直线线运运动动，已已知知速速度度)(tvv 是是时时间间间间隔隔,21TT上上t的的一一个个连连续续函函数数，且且0)(tv，求求物物体体在在这这段段时时间间内内所所经经过过的的路路程程 S.方法方法:分割、求和、取极限分割、求和、取极限.现在学习的是第4页，共37页2 2、定积分的定义、定积分的定义设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，在在,ba中中任任意意若若干干若若干干个个分分点点bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，),2,1(i，在在各各小小区区间间上上任任取取一一
3、点点i（iix ），定义定义,12110nnxxxxxx 现在学习的是第5页，共37页怎怎样样的的分分法法，baIdxxf)(iinixf )(lim10 .也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上的的取取法法，只只要要当当0 时时，和和S总趋于总趋于确确定定的的极极限限I，在区间在区间,ba上的上的定积分定积分，记为记为记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba我我们们称称这这个个极极限限I为为函函数数)(xf作作乘乘积积iixf)(),2,1(i点点i 怎怎样样并并作作和和iinixfS )(1，现在学习的是第6页，共37页可积的两个可积的两个条件：条件：当当函函数数)(
4、xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，定理定理1定理定理2 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上有有界界，称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.且且只只有有有有限限个个间间断断点点，则则)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.3 3、存在定理、存在定理现在学习的是第7页，共37页4 4、定积分的性质、定积分的性质 badxxgxf)()(badxxf)(badxxg)(性质性质1 babadxxfkdxxkf)()(k为为常常数数)性质性质2 badxxf)(bccadxxfdxxf)()(假假设设bca 性质性质3现在学习的是第8页，共37页 则则0)(dxxfba )(ba
5、性质性质5如如果果在在区区间间,ba上上0)(xf，推论：推论：则则dxxfba)(dxxgba )()(ba 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf，（1）dxxfba)(dxxfba )()(ba （2）dxba 1dxba ab 性质性质4现在学习的是第9页，共37页如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续，上连续，则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点，使使dxxfba)()(abf )(ba 性质性质7(定积分中值定理定积分中值定理)设设M及及m分别是函数分别是函数 则则 )()()(abMdxxfabmba .)(xf在在区区间间,ba性
6、质性质6上的最大值及最小值，上的最大值及最小值，积分中值公式积分中值公式现在学习的是第10页，共37页5 5、牛顿、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上限的函数上连续，则积分上限的函数dttfxxa )()(在在,ba上具有导数，且它的导数上具有导数，且它的导数是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 定理定理1定理定理2（原函数存在定理）（原函数存在定理）如果如果)(xf在在,ba上上连续，则积分上限的函数连续，则积分上限的函数dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一个原函数上的一个原函数.现在学习的是第11页，共37页定理定
7、理 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）如如果果)(xF是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则 )()()(aFbFdxxfba .)()(babaxFdxxf 也可写成也可写成牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式.,:上上的的增增量量它它的的任任一一原原函函数数在在区区间间上上的的定定积积分分等等于于一一个个连连续续函函数数在在区区间间表表明明baba现在学习的是第12页，共37页6 6、定积分的计算法、定积分的计算法 dtttfdxxfba )()()(换元公式换元公式（1）换元法）换元法（2）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式 baba
8、bavduuvudv现在学习的是第13页，共37页7 7、定积分应用的常用公式、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积平面图形的面积)(xfy badxxfA)()(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐标情形直角坐标情形abab现在学习的是第14页，共37页如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有连连续续导导数数，)(ty 连连续续.参数方程所
9、表示的函数参数方程所表示的函数现在学习的是第15页，共37页 dA2)(21xo d)(r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122极坐标情形极坐标情形现在学习的是第16页，共37页(2)体积体积xdxx xyodxxfVba2)(dyyVdc2)(xyo)(yx cd现在学习的是第17页，共37页xo badxxAV)(xdxx ab平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积)(xA现在学习的是第18页，共37页(3)平面曲线的弧长平面曲线的弧长xoyabxdxx dy弧长弧长dxysba 21A曲线弧为曲线弧为 )()(tytx )(t其其中中)(),(tt 在
10、在,上上具具有有连连续续导导数数弧长弧长dttts )()(22)(xfy B曲线弧为曲线弧为C曲线弧为曲线弧为)()(rr 弧长弧长 drrs )()(22现在学习的是第19页，共37页(4)变力所作的功变力所作的功)(xFoabxdxx x babadxxFdWW)(5)水压力水压力xyoabxdxx )(xf babadxxxfdPP)()(为比重为比重 现在学习的是第20页，共37页(6)引力引力xyxdxx oAl l llllyyxadxGadFF2322)(.0 xF)(为引力系数为引力系数G(7)函数的平均值函数的平均值 badxxfaby)(1(8)均方根均方根 badxxf
11、aby)(12现在学习的是第21页，共37页例例1 1解解 20cossindxxx原原式式 2440)cos(sin)sin(cosdxxxdxxx.222 二、典型例题二、典型例题.2sin120dxx求现在学习的是第22页，共37页例例2 2解解,cossinsin20 dxxxxI由由,cossincos20 dxxxxJ设设,220 dxJI则则 20cossincossindxxxxxJI 20cossin)sin(cosxxxxd.0,22 I故得故得.4 I即即.cossinsin20dxxxx求现在学习的是第23页，共37页例例3 3解解,sintex 令令.sincos,s
12、inlndtttdxtx 则则 62)sincos(cosdtttt原原式式 262sincosdtttxt02ln2 6 2626sinsintdttdt.23)32ln(.12ln02dxex求现在学习的是第24页，共37页例例4 4解解,2tx 令令.sinln212sinln2040 tdtxdx 402sinlnxdxI 40)cossin2ln(dxxx 40)coslnsinln2(lndxxx 2440sinlnsinln2ln4xdxxdx 20sinln2ln4xdxI22ln4 .2ln4 I.2sinln40 xdx求现在学习的是第25页，共37页例例5 5解解dxx
13、2121)1ln(0原式原式dxxdxx 210021)1ln()1ln(.21ln23ln23 .)1(ln1sin212128dxxxx求现在学习的是第26页，共37页例例6 6解解 1,11,1min22xxxxxx是偶函数是偶函数,dxxx,1min2220 原原式式 21102122dxxdxx.2ln232 .,1min222dxxx求现在学习的是第27页，共37页例例7 7解解 10022)1(2dxdyexxyy原原式式 10231002322)1(31)1(31dxexdyexxxxyy 1021)1(2)1()1(612xdexxux 2)1(令令 016duueeu).2
14、(61 e.)()1(,)(102022dxxfxdyexfxyy求设现在学习的是第28页，共37页例例8 8证证,tx 令令)(cos1)(sin)(02dtttft 左左边边,dtdx dxxxfx 02cos1)(sin)(.cos1)(sin2cos1)(sin:,0)(0202dxxxfdxxxxfxf证明上连续在设现在学习的是第29页，共37页dxxxxfdxxxf 0202cos1)(sincos1)(sindxxxfdxxxxf 0202cos1)(sincos1)(sin2即即.cos1)(sin2cos1)(sin0202dxxxfdxxxxf 现在学习的是第30页，共37
15、页例例9 9证证作辅助函数作辅助函数,)()()()(2axtfdtdttfxFxaxa )(2)(1)()(1)()(axxfdttfdttfxfxFxaxa ,2)()()()(xaxaxadtdtxftfdttfxf.)()()(.0)(,)(2abxfdxdxxfxfbaxfbaba证明上连续，且在区间设现在学习的是第31页，共37页0)2)()()()()(dtxftftfxfxFxa即即2)()()()(xftftfxf,0)(xf.)(单调增加单调增加xF,0)(aF又又,0)()(aFbF.)()()(2abxfdxdxxfbaba 即即现在学习的是第32页，共37页例例101
16、0a aoyx体体积它绕轴旋转而成的旋转它的弧长它所围成的面积求星形线已知000333;2;1)0(sincosataytax现在学习的是第33页，共37页解解.10A设面积为设面积为由对称性由对称性,有有 aydxA04 0223)sin(cos3sin4dtttata 20642sinsin12dttta.832a .20L设设弧弧长长为为由对称性由对称性,有有 2022)()(4dtyxL 20sincos34tdtta.6a 现在学习的是第34页，共37页.,30VS 体体积积为为设设旋旋转转体体的的表表面面积积为为由对称性由对称性,有有 axdxyyS02122 203sincos3sin4tdttata.5122a adxyV022 02262)sin(cos3sin2dtttata 20273)sin1(sin6dttta.105323a 现在学习的是第35页，共37页例例1111解解xyo164 xdxx AB如图建立坐标系如图建立坐标系,的方程为的方程为则梯形的腰则梯形的腰 AB.2321 xy此闸门一侧受到静水压力为此闸门一侧受到静水压力为.,4,20,3050,的静压力求闸门一侧所受的水米顶部高出水面如果闸门米高为米米和分别为梯形的上下底如图所示一等腰梯形闸门现在学习的是第36页，共37页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第37页，共37页