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1、返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分第三章第三章 习题课习题课板块一板块一:不定积分的计算方法不定积分的计算方法板块二板块二:定积分的概念、性质及计算定积分的概念、性质及计算板块三板块三:定积分应用定积分应用返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分板块一板块一一、一、求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法二、几种特殊类型的积分二、几种特殊类型的积分不定积分的计算方法返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分一、一、求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法1.直接积分法直接积分法通过简单变形通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则利用基本
2、积分公式和运算法则求不定积分的方法求不定积分的方法.2.换元积分法换元积分法 第一类换元法第一类换元法 第二类换元法第二类换元法(注意常见的换元积分类型注意常见的换元积分类型)(代换代换:)返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分3.分部积分法分部积分法使用原则使用原则:1)由由易求出易求出 v;2)比比好求好求.一般经验一般经验:按按“反反,对对,幂幂,指指,三三”的顺序的顺序,排前者取为排前者取为 u,排后者取为排后者取为返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分多次分部积分的多次分部积分的 规规 律律快速计算表格快速计算表格:特别特别:当当 u 为为 n
3、 次多项式时次多项式时,计算大为简便计算大为简便.返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例1.求求解解:原式原式返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例2.求求解解:原式原式分析分析:返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例3.求求解解:原式原式分部积分部积分分返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例4.设设解解:令令求积分求积分即即而而返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例5.求求解解:返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例6.求求解解:取取说明说明:此法特
4、别适用于此法特别适用于如下类型的积分如下类型的积分:返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例7.设设证证:证明递推公式证明递推公式:返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例8.求求解解:设设则则因因连续连续,得得记作记作得得利用利用 返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分二、几种特殊类型的积分二、几种特殊类型的积分1.一般积分方法一般积分方法有理函数有理函数分解分解多项式及多项式及部分分式之和部分分式之和指数函数有理式指数函数有理式指数代换指数代换三角函数有理式三角函数有理式万能代换万能代换简单无理函数简单无理函数三角代换三角代换
5、根式代换根式代换返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分2.需要注意的问题需要注意的问题(1)一般方法不一定是最简便的方法一般方法不一定是最简便的方法,(2)初等函数的原函数不一定是初等函数初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合要注意综合使用各种基本积分法使用各种基本积分法,简便计算简便计算.因此不一因此不一定都能积出定都能积出.例如例如,返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例10.求求解解:令令则则原式原式返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例11.求求解解:令令比较同类项系数比较同类项系数,故故 原式原式说明说明:此技
6、巧适用于形为此技巧适用于形为的积分的积分.返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例12.解：解：因为因为及及返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例13.求不定积分求不定积分解解:原式原式 返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例14.解解:I=返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例15.求求解解:(n 为自然数为自然数)令令则则返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分板块二板块二一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法二、有关定积分计算和证明的方法二、有关定积分
7、计算和证明的方法定积分及其相关问题返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法1.用定积分概念与性质求极限用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题与变限积分有关的问题例例1.求求解解:因为因为时时,所以所以利用夹逼准则得利用夹逼准则得返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分因为因为 依赖于依赖于且且1)思考例思考例1下列做法对吗下列做法对吗?利用积分中值定理利用积分中值定理原式原式不对不对!说明说明:2)此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项此类问题放大
8、或缩小时一般应保留含参数的项.返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：已知已知利用夹逼准则可知利用夹逼准则可知例例2.求求返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分思考思考:提示提示:由上题由上题故故返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分练习练习:1.求极限求极限解：解：原式原式2.求极限求极限提示：提示：原式原式左边左边=右边右边返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例3.估计下列积分值估计下列积分值解解:因为因为即即返回第三章第三章
9、 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例4.证明证明证证:令令则则令令得得故故返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例5.设设在在上是单调递减的连续函数，上是单调递减的连续函数，试证试证都有不等式都有不等式证明：显然证明：显然时结论成立时结论成立.(用积分中值定理用积分中值定理)当当时时,故所给不等式成立故所给不等式成立.明对于任何明对于任何返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例6.提示提示：且由方程且由方程确定确定 y 是是 x 的函数的函数,求求方程两端对方程两端对 x 求导求导,得得再令再令 x=1,得得再对再对 y 求导求导,得得故故
10、返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例7.求可微函数求可微函数 f(x)使满足使满足解解:等式两边对等式两边对 x 求导求导,得得不妨设不妨设 f(x)0,则则返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分注意注意 f(0)=0,得得返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例8.求多项式求多项式 f(x)使它满足方程使它满足方程解解:令令则则代入代入原方程得原方程得两边求导两边求导:可见可见 f(x)应为二次多项式应为二次多项式,设设代入代入 式比较同次幂系数式比较同次幂系数,得得故故再求导再求导:返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数
11、积分学微积分微积分二、有关定积分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法1.熟练运用定积分计算的常用公式和方法熟练运用定积分计算的常用公式和方法2.注意特殊形式定积分的计算注意特殊形式定积分的计算3.利用各种积分技巧计算定积分利用各种积分技巧计算定积分4.有关定积分命题的证明方法有关定积分命题的证明方法思考思考:下列作法是否正确下列作法是否正确?返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例9.求求解解:令令则则原式原式返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例10.求求解解:返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例11.选择一个
12、常数选择一个常数 c,使使解解:令令则则因为被积函数为奇函数因为被积函数为奇函数,故选择故选择 c 使使即即可使原式为可使原式为 0.返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例12.设设解解:返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例13.若若解解:令令试证试证:则则返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分因为因为对右端第二个积分令对右端第二个积分令综上所述综上所述返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例14.证明恒等式证明恒等式证证:令令则则因此因此又又故所证等式成立故所证等式成立.返回第三章第三章 一元函数积分
13、学一元函数积分学微积分微积分例例15.试证试证使使分析分析:要证要证即即故作辅助函数故作辅助函数至少存在一点至少存在一点返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分证明证明:令令在在上连续上连续,在在至少至少使使即即因在因在上上连续且不为连续且不为0,从而不变号从而不变号,因此因此故所证等式成立故所证等式成立.故由罗尔定理知故由罗尔定理知,存在一点存在一点返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分思考思考:本题能否用柯西中值定理证明本题能否用柯西中值定理证明?如果能如果能,怎样设辅助函数怎样设辅助函数?要证要证:提示提示:设辅助函数设辅助函数 返回第三章第三章 一
14、元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例16.设函数设函数 f(x)在在a,b 上连续上连续,在在(a,b)内可导内可导,且且(1)在在(a,b)内内 f(x)0;(2)在在(a,b)内存在点内存在点 ,使使(3)在在(a,b)内存在与内存在与 相异的点相异的点 ,使使(03考研考研)返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分证证:(1)由由 f(x)在在a,b上连续上连续,知知 f(a)=0.所以所以f(x)在在(a,b)内单调增内单调增,因此因此(2)设设满足柯西中值定理条件满足柯西中值定理条件,于是存在于是存在 返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分
15、即即(3)因因 在在a,上用拉格朗日中值定理上用拉格朗日中值定理代入代入(2)中结论得中结论得因此得因此得 返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例17.设设证证:设设且且试证试证:则则故故 F(x)单调不减单调不减,即即 成立成立.返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分板块三板块三1.定积分的应用定积分的应用几何方面几何方面:面积、面积、体积、体积、弧长、弧长、表面积表面积.物理方面物理方面:质量、质量、作功、作功、侧压力、侧压力、引力、引力、2.基本方法基本方法:微元分析法微元分析法微元形状微元形状:条、条、段、段、带、带、片、片、扇、扇、环、环、
16、壳壳 等等.转动惯量转动惯量.定积分的应用定积分的应用 返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例1.求抛物线求抛物线在在(0,1)内的一条切线内的一条切线,使它与使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解:设抛物线上切点为设抛物线上切点为则该点处的切线方程为则该点处的切线方程为它与它与 x,y 轴的交点分别为轴的交点分别为所指面积所指面积返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分且为最小点且为最小点.故所求切线为故所求切线为得得 0,1 上的唯一驻点上的唯一驻点返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分
17、例例2.设非负函数设非负函数曲线曲线与直线与直线及坐标轴所围图形及坐标轴所围图形(1)求函数求函数(2)a 为何值时为何值时,所围图形绕所围图形绕 x 轴一周所得旋转体轴一周所得旋转体解解:(1)由方程得由方程得面积为面积为 2,体积最小体积最小?即即故得故得返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分又又(2)旋转体体积旋转体体积又又为唯一极小点为唯一极小点,因此因此时时 V 取最小值取最小值.返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例3.证明曲边扇形证明曲边扇形绕极轴绕极轴证证:先求先求上微曲边扇形上微曲边扇形绕极轴旋转而成的体积绕极轴旋转而成的体积体积微
18、元体积微元故故旋转而成的体积为旋转而成的体积为返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分故所求旋转体体积为故所求旋转体体积为例例4.求由求由与与所围区域绕所围区域绕旋转所得旋转体体积旋转所得旋转体体积.解解:曲线与直线的交点坐标为曲线与直线的交点坐标为曲线上任一点曲线上任一点到直线到直线的距离为的距离为则则返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例5.半径为半径为 R,密度为密度为的球沉入深为的球沉入深为H(H 2 R)的水池底的水池底,水的密度水的密度多少功多少功?解解:建立坐标系如图建立坐标系如图.则对应则对应上球的薄片提到水面上的微功为上球的薄片提到水
19、面上的微功为提出水面后的微功为提出水面后的微功为现将其从水池中取出现将其从水池中取出,需做需做微元体积微元体积所受重力所受重力上升高度上升高度返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分因此微功元素为因此微功元素为球从水中提出所做的功为球从水中提出所做的功为“偶倍奇零偶倍奇零”返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例6.设有半径为设有半径为 R 的半球形容器如图的半球形容器如图.(1)以每秒以每秒 a 升的速度向空容器中注水升的速度向空容器中注水,求水深为求水深为为为h(0 h R)时水面上升的速度时水面上升的速度.(2)设容器中已注满水设容器中已注满水,求
20、将其全部抽出所做的功最求将其全部抽出所做的功最少应为多少少应为多少?解解:过球心的纵截面建立坐标系如图过球心的纵截面建立坐标系如图.则半圆方程为则半圆方程为设经过设经过 t 秒容器内水深为秒容器内水深为h,返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分(1)求求由题设由题设,经过经过 t 秒后容器内的水量为秒后容器内的水量为而高为而高为 h 的球缺的体积为的球缺的体积为半球可看作半圆半球可看作半圆绕绕 y 轴旋转而成轴旋转而成体积元素体积元素:故有故有两边对两边对 t 求导求导,得得at(升升),返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分(2)将满池水全部抽出所做的最少功将满池水全部抽出所做的最少功 为将全部水提为将全部水提对应于对应于微元体积微元体积:微元的重力微元的重力:薄层所需的功元素薄层所需的功元素故所求功为故所求功为到池沿高度所需的功到池沿高度所需的功.