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1、3.63.6 状态方程的解状态方程的解3.6状态方程的解以上讨论的控制系统的分析方法， 都是基于控制系统的数学模型是传递函数或输入输出微分方程。 在时域分析中， 假设控制系统的数学模型是状态空间表达式，我们就必须考虑状态方程的求解问题。线性定常系统状态方程的解线性定常系统的状态方程为(3.107)状态方程的求解，就是在给定的初始值 x(0)条件下，确定系统在输入 u(t的作用下在 t 时刻的状态响应 x(t)。线性定常系统的状态方程是一个一阶微分方程组。 它的每一个方程都是一个线性定常微分方程。所以，我们先来讨论一下一阶微分方程的解法。设一阶线性微分方程为(3.108)式中 a,b 为常数，方
2、程的初始条件为对式3.108两边去拉普拉斯变换整理后得对上式两边进行拉普拉斯反变换得(3.109)其中，指数函数可以展开成无穷级数(3.110)状态方程是由 n 个一阶微分方程组成的， 其解法也与一阶微分方程的解法及其类似。我们先讨论齐次状态方程的求解问题。设齐次状态方程为(3.111)初始条件为对式3.111两边取拉普拉斯变换得进而得(3.112)对3.112式两边求拉普拉斯的变换得式中，(3.113)也是一个无穷级数称为矩阵指数，A 为 n*n 维方阵，矩阵指数具有如下性质(3.114)(3.115)(3.116)(3.117)齐次状态方程的解还可以写成(3.118)式中称为状态转移矩阵，
3、 是 n*n 维矩阵。 式 3.118 说明， 状态方程 3.111称为状态转移矩阵。的解就是状态从初始状态向 t 时刻状态的转移，所以把显然，对线性定常系统(3.119)状态转移矩阵具有如下性质对于非齐次状态方程(3.120)可以写成两边左乘即对上式积分两边再左乘得3.121式也可以用状态转移矩阵表示(3.121)(3.122)式中非齐次状态方程的解可以分为两部分，第一项表示了系统自由运动的特性，是初始状态转移项，叫零输入响应。后一项表示了系统受迫运动的特性，起因于输入向量，叫做零状态响应。状态转移矩阵的计算状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息，状态方程的求解，很大程度上是计算状态转移矩
4、阵。状态转移矩阵的计算方法较多。我们这里仅通过例子介绍两种方法，即拉普拉斯变换法和直接计算法。拉普拉斯变换法是按下面的表达式计算(3.123)例 7线性定常系统的状态方程为计算其状态转移矩阵。解用拉普拉斯变换法计算状态转移矩阵，进行矩阵的求逆运算和求拉普拉斯反变换，在系统阶数较高时，计算非常烦杂。直接计算法是最原始也最直观的算法。直接算法就是按下式进行直接计算例 8已知线性定常系统状态方程的系统矩阵 A 为计算其状态转移矩阵。解直接计算法得到的状态转移矩阵，矩阵中每个元素都是一个无穷级数，其缺点是系统阶数较高时，计算量很大，另外，无穷级数不容易写成闭式解析表达式。状态转移矩阵的其他计算方法，例如把有必要时请参看其他书籍。例 9已知线性定常系统的状态方程为化为对角线矩阵等，在这里不再表达。设初始值为输入向量为求此状态方程的解。解所以即