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1、3.6 状态方程的解3.6 状态方程的解以上讨论的控制系统的分析方法， 都是基于控制系统的数学模型是传递函数或输入输出微分方程。 在时域分析中， 假设控制系统的数学模型是状态空间表达式，我们就必须考虑状态方程的求解问题。线性定常系统状态方程的解线性定常系统的状态方程为(3.107) 状态方程的求解， 就是在给定的初始值x(0) 条件下，确定系统在输入u(t 的作用下在 t 时刻的状态响应 x(t) 。线性定常系统的状态方程是一个一阶微分方程组。它的每一个方程都是一个线性定常微分方程。所以，我们先来讨论一下一阶微分方程的解法。设一阶线性微分方程为(3.108) 式中 a,b 为常数，方程的初始条
2、件为对式 3.108 两边去拉普拉斯变换整理后得对上式两边进行拉普拉斯反变换得(3.109) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页其中，指数函数可以展开成无穷级数(3.110) 状态方程是由 n 个一阶微分方程组成的， 其解法也与一阶微分方程的解法及其类似。我们先讨论齐次状态方程的求解问题。设齐次状态方程为(3.111) 初始条件为对式 3.111 两边取拉普拉斯变换得进而得(3.112) 对3.112式两边求拉普拉斯的变换得(3.113) 式中，称为矩阵指数， A为 n*n 维方阵，也是一个无穷级数精选学习资料 -
3、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页(3.114) 矩阵指数具有如下性质(3.115) (3.116) (3.117) 齐次状态方程的解还可以写成(3.118) 式中称为状态转移矩阵， 是 n*n 维矩阵。式 3.118 说明，状态方程3.111的解就是状态从初始状态向t 时刻状态的转移，所以把称为状态转移矩阵。显然，对线性定常系统(3.119) 状态转移矩阵具有如下性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页对于非齐次状态方程(3.120) 可以写成两边左乘即对上
4、式积分两边再左乘得(3.121) 3.121式也可以用状态转移矩阵表示(3.122) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页式中非齐次状态方程的解可以分为两部分，第一项表示了系统自由运动的特性，是初始状态转移项， 叫零输入响应。 后一项表示了系统受迫运动的特性，起因于输入向量，叫做零状态响应。状态转移矩阵的计算状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息，状态方程的求解， 很大程度上是计算状态转移矩阵。 状态转移矩阵的计算方法较多。 我们这里仅通过例子介绍两种方法，即拉普拉斯变换法和直接计算法。拉普拉斯变换法是按下面的表达式
5、计算(3.123) 例 7 线性定常系统的状态方程为计算其状态转移矩阵。解用拉普拉斯变换法计算状态转移矩阵，进行矩阵的求逆运算和求拉普拉斯反变换，在系统阶数较高时，计算非常烦杂。直接计算法是最原始也最直观的算法。直接算法就是按下式进行直接计算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页例 8 已知线性定常系统状态方程的系统矩阵A为计算其状态转移矩阵。解直接计算法得到的状态转移矩阵，矩阵中每个元素都是一个无穷级数，其缺点是系统阶数较高时，计算量很大，另外，无穷级数不容易写成闭式解析表达式。状态转移矩阵的其他计算方法，例如把化为对角线矩阵等， 在这里不再表达。有必要时请参看其他书籍。例 9 已知线性定常系统的状态方程为设初始值为输入向量为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页求此状态方程的解。解所以即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页