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1、 1/5 环节四 平面向量数乘运算的坐标表示 一、导入新知【问题 1】平面内给定向量a，b，满足向量kab与2 ba平行，那么k的值是多少？【答案】因为向量kab与2 ba平行，所以存在实数使得(2)kab=ba，所以2kab=ba，所以21，k，故2k 【问题 2】设向量a与b不共线，若24AB ab，3DB ab，25DC ab，如何证明A，B，C三点共线？【答案】因为3DB ab，25DC ab，所以(25)(3)2BCDCDBababab 又因为242(2)AB abab，所以2ABBC 所以A，B，C三点共线 二、探究新知【问题 3】已知(,)x ya，你能得出a的坐标吗？【答案】已
2、知(,)x ya，就可以i，j表示a，即axiy j 于是()xyaij 根据()abab，得()()()xyxyijij，根据()()aa，得()xxii，()yyjj，于是xyaij，从而得到a的坐标为(,)xy 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标【问题 4】向量a与b（0b）共线的充要条件是什么？【答案】向量a与b（0b）共线的充要条件是当且仅当存在实数，使得a=b【追问 1】已知11(,)x ya，22(,)xyb，其中 0b若向量a与b共线，那么这两个向量的坐标会有什么关系？【答案】若向量a与b（0b）共线，则这两个向量的坐标满足12210 x yx y；若
3、向量a与b的坐标满足12210 x yx y，则这两个向量共线【追问 2】你能证明上述结论么?【答案】充分性：若a与b（0b）共线，则当且仅当存在实数，使得a=b，从而1122(,)(,)x yxy，所以1212xxyy，消去得到12210 x yx y 2/5 必要性：反过来当2112x yx y时，如果1100 xy，则有2211xyxy，设这个比值为，则有2121xxyy，从而221111(,)(,)(,)xyx yxy，即ba，因此a与b（0b）共线 如果1100 xy，则有02x，设21yy，同样有2211(,)(,)xyx y，即ba，因此a与b（0b）共线 类似的，如果1100
4、xy，则有 0a，因此a与b（0b）共线 从而不管那种情况都有a与b（0b）共线 结论：向量a与b共线的充分必要条件是12210 x yx y 三、知识应用【例 1】已知21（,）a，(3,4)b，求34ab，43ab【解析】由于21（,）a，(3,4)b，则有 343(3,4)()(12,16)2,146,3,19(6)（）ab，434(3,4)(4)(9,12)(2,138,17,)8（）ab【例 2】平面内给定三个向量(3,2)a，(1,2)b，(4,1)c（1）求满足mnabc的实数 m，n的值；（2）若向量()kac与(2)ba平行，求实数 k的值【解析】（1）因为mnabc，所以(
5、1,2)(4,1)(4,2)mnnmmna，又因为(3,2)a，所以 3,24,2mnmn，即所以34mn，22mn，解得59m，89n，故 m，n 的值分别为59，89（2）(34,2)kkkac，2(5,2)ba，因为向量()kac与(2)ba平行，所以 2 34520kk，解得1613k ，所以 k的值为1613【例 3】已知1e，2e是平面内两个不共线的非零向量，122AB ee，12BE ee，122EC ee，且 A，E，C三点共线若1(2,1)e，2(2,2)e，求向量BC的坐标 3/5 【解析】121212(2)()(1)AEABBE eeeeee，因为A，E，C 三点共线，所
6、以存在实数 k使得AEkEC，因为122EC ee，所以2112(1)(2)keeee，即12(12)(1)kk ee 因为1e，2e是平面内两个不共线的非零向量，所以1201kk，解得12k ，32 故1213(6,3)(1,1)(7,2)2BCBEEC ee【例 4】设点P是线段AB上的一点，A、B的坐标分别是11(,)xy、22(,)xy（1）当点P是线段AB的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段AB的一个三等分点时，求点P的坐标【解析】（1）因为A、B的坐标分别是11(,)xy、22(,)xy，所以11(,)OAx y，22(,)OBxy 如图（例 4-图 1），由向量的线性运算可
7、知：1212112211()(,)(,)(,)2222xxyyOPOAOBx yxy，即点P的坐标为1212(,)22xxyy （2）如图（例 4-图 2），当13APAB时，则13OPOAAB 因为22112121(,)(,)(,)ABOBOAxyx yxx yy，所以12121121212211(,)(,)(,)3333xxyyOPOAABx yxx yy 例 4-图 1 4/5 如图（例 4-图 3），当23APAB时，则23OPOAAB 因为22112121(,)(,)(,)ABOBOAxyx yxx yy，所以12121121212222(,)(,)(,)3333xxyyOPOAAB
8、x yxx yy 综上：点P的坐标为121222(,)33xxyy或121222(,)33xxyy 【问题 5】当APPB时，点P的坐标是什么？【答案】设点 P 的坐标为(,)x y，由于APPB，所以1122(,)(,)xx yyxx yy，由此可得12()()xxxx，12()()yyyy，于是121xxx，121yyy，故点 P 的坐标是1212(,)11xxyy 例 4-图 3 例 4-图 2 5/5 特别地，当1时，点P为AB中点，则点P的坐标为1212(,)22xxyy 四、归纳小结【问题 6】这节课我们学习的主要内容有哪些？【答案】类型名称 已知条件 坐标表示 向量数乘运算的坐标表示(,)x ya(,)xya 向量共线充要条件 11(,)x ya，22(,)xyb 12210 x yx y 向量a与b（0b）共线 线段定比分点坐标公式 11(,)x ya，22(,)xyb 1212(,)11xxyyP 点P满足APPB 线段中点坐标公式 11(,)x ya，22(,)xyb 1212(,)22xxyyP 点P为AB中点