2022年高三文科数学一轮复习之不等式 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载数学讲义之不等式【主干内容】1不等式的基本性质:对称性: abbb,bc,则 ac;可加性: aba+cb+c;可乘性: ab,当 c0 时, acbc;当 c0 时, acb,cd,则 a+cb+d; 异向相减:ba,dcdbca正数同向相乘: 若 ab0, cd0, 则 acbd; 乘方法则:若 ab0, nN+, 则nnba;开方法则: 若 ab0, nN+, 则nnba;倒数法则: 若 ab0, ab, 则b1a13基本不等式(或均值不等式):利用完全平方式的性质,可得a 2+b 22ab( a,bR) ,该不等式可推广为a 2+b 22|ab| ;或变形为 |ab

2、| 2ba22;当 a,b0 时, a+bab2或 ab22ba. 4不等式的证明:不等式证明的常用方法:比较法,公式法,分析法,反证法,换元法,放缩法;不等式的解法:解不等式是寻找使不等式成立的充要条件,因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。一元二次不等式(组)是解不等式的基础,一元二次不等式是解不等式的基本题型。一元二次不等式与相应的函数,方程的联系求一般的一元二次不等式20axbxc或20axbxc(0)a的解集,要结合20axbxc的根及二次函数2yaxbxc图象确定解集。对于一元二次方程20(0)axbxca,设24bac,它的解按照000,可分三种情况. 相应二次函数2(0

3、)yaxbxc a的图象与x轴的位置关系也分为三种情况因此,我们分三种情况讨论对应的一元二次不等式20axbxc(0)a的解集,列表如下: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页优秀学习资料欢迎下载5线性规划问题的解题方法和步骤: 解决简单线性规划问题的方法是图解法,即借助直线(线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线)与平面区域(可行域)有交点时,直线在y 轴上的截距的最大值或最小值求解。它的步骤如下:设出未知数,确定目标函数。确定线性约束条件,并在直角坐标系中画出对应的平面区域,即可行域。由目标函数zaxby 变形为

4、ybaxbz, 所以求 z 的最值可看成是求直线ybaxbz在 y 轴上截距的最值 (其中 a、b 是常数, z 随 x,y 的变化而变化) 。作平行线:将直线axby0 平移,使直线与可行域有交点,且观察在可行域中使bz最大(或最小)时所经过的点,求出该点的坐标。求出最优解:将中求出的坐标代入目标函数,从而求出z 的最值。6绝对值不等式 x a(a0)的解集为: x a xa;x a(a0)的解集为: x xa 或 x a 。|b|a|ba|b|a|精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页优秀学习资料欢迎下载【题型分类】

5、题型一:不等关系与不等式例 1 (2007 上海 ) 已知,a b为非零实数,且ab,则下列命题成立的是( ) A22ab B22a bab C2211aba b Dbaab解:取 a 3, b,由() () ()都错,故(C) 。例 2若 1 3, 4 2,则 | |的取值范围是 .解: ( 3,3)例 3已知 ab c,ab c0,方程 ax2bxc0 的两个实数根为x1、x2(1) 证明:21ab1;(2) 若 x21x1x2x221,求 x21x1x2x22;(3) 求| x21x22| 解:(1) abc,abc0,3aabc,ab ab,a0,1abab1121ab(2) (方法

6、1) abc0 ax2bxc0 有一根为 1,不妨设 x11,则由1222121xxxx可得,0) 1(22xx而)03(0212cbacacxxx, x2 1,3222121xxxx( 方法 2)acxxabxx2121,由222221221222121)(abacabxxxxxxxx1122abababa,, 022abab,0, 121abab2121222121xxxxxxx3)(21212212122abaxxxxx(3) 由(2) 知,1) 1()(11222222221ababaacxx2121ab,4)1(412ab31) 1(432ab3,02221xx题型二:一元二次不等式

7、及其解法例 1 (2007 福建)2x是260 xx的什么条件()A充分而不必要 B 必要而不充分 C 充要 D 既不充分也不必要精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页优秀学习资料欢迎下载解:由 |x 2,得: 2x2,由260 xx得: 2x3,2x2 成立,则 2x3 一定成立,反之则不一定成立,所以,选.例 2 (2008 江西文 ) 不等式224122xx的解集为 _解:原不等式变为224122xx,由指数函数的增减性,得:2241(3)(1)0 xxxx 3,1x,所以填: 3,1例 3 已知集合2540Ax

8、xx|,2|220Bx xaxa, 若BA,求实数a的取值范围解:2|540|14Ax xxxx 设2( )22f xxaxa,它的图象是一条开口向上的抛物线(1)若B,满足条件,此时0,即244(2)0aa,解得12a;(2)若B,设抛物线与x轴交点的横坐标为12xx,且12xx,欲使BA,应有12x xxx|14xx| ,结合二次函数的图象,得(1)0(4)021420ffa,即22122048201444(2)0aaaaaaa,解得1827a综上可知a的取值范围是1817,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页优秀

9、学习资料欢迎下载题型三:简单的线性规划例 1(20XX届新高考联盟) 设实数, x y满足不等式组30023xyxyx, 则2xy的最小值为;解:23例 2 (2011 杭二模)设实数, x y满足不等式组10,260,20.xyxyxyk且22xy的最小值为m,当925m时,实数k的取值范围是_. 解: 172,5 X+2y-50 例 3 (2011 浙江)若实数x, y 满足不等式组 2x +y -7 0, 则 3x+4y 的最小值是x 0,y 0 A13 B15 C 20 D28 解: A 例 4 (2011 天津)设变量x,y满足约束条件x1,xy40,x 3y40,则目标函数z3xy

10、的最大值为 ( ) A 4 B0 C.43 D 4 解:选 D. 作出可行域, 如图 11 所示联立xy40,x3y40,解得x2,y2.当目标函数z3xy移至 (2,2)时,z3xy有最大值4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页优秀学习资料欢迎下载例 4 (2011 湖北)直线 2xy100 与不等式组x0,y0,xy 2,4x3y20表示的平面区域的公共点有( ) A0 个 B1 个 C2 个 D无数个解:画出不等式组x0,y0,xy 2,4x3y20表示的可行域, 如图阴影部分所示(含边界 )因为直线2xy1

11、00 过点 A()5,0,且其斜率为2,小于直线4x3y20 的斜率43,故只有一个公共点()5,0 . 题型四:基本不等关系例 1 (2008 浙江)已知则且,2,0,0baba()A21ab B 21ab C222ba D322ba解:由0,0ab, 且2ab,222224()22()abababab,222ab。例 2( 2011重庆)若函数 f(x) x1x2(x2) 在 xa 处取最小值,则 a( ) A12 B13 C3 D4 解:选 Cx2,f(x) x1x 2(x2) 1x 22 2x21x224,当且仅当x21x2,即x3 时取等号精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页

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