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1、第一节不等关系与不等式备考方向要明了 考 什 么怎 么 考1.了解现实世界和日常生活中的不等关系2.了解不等式 (组)的实际背景3. 掌握不等式的性质及应用本节内容在高考中多与其他知识进行综合命题，一般是以选择题或填空题的形式出现：(1)依据不等式的性质，判断不等式或有关结论是否成立；(2)利用不等式的性质进行大小关系的比较(3)不等式的性质在不等式的证明或求解中的应用. 归纳 知识整合 1比较两个实数大小的法则设 a，bR，则(1)a b? ab0；(2)a b? ab0；(3)a b? ab0. 2不等式的基本性质性质性质内容注意对称性ab? bb，bc? ac ?可加性ab? acbc
2、?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页可乘性abc0? acbcc 的符号abc0? acbcd? acbd ?同向同正可乘性ab0cd0? acbd ?可乘方性ab0? anbn(nN，n2) 同正可开方性ab0?nanb(nN，n2) 探究 1.同向不等式相加与相乘的条件是否一致？提示： 不一致 同向不等式相加，对两边字母无条件限制，而同向不等式相乘必须两边字母为正，否则不一定成立2(1)ab?1ab? anbn(n N，且 n1)对吗？提示： (1)不成立，当a，b 同号时成立，异号时不成立(2)不对，若n 为
3、奇数，成立，若n 为偶数，则不一定成立自测 牛刀小试 1(教材习题改编)给出下列命题：ab? ac2bc2； a|b|? a2b2； ab? a3b3；|a|b? a2b2.其中正确的命题是() ABCD解析： 选 B当 c0 时，不成立；当|a|1，b 2 时，不成立2如果 a R，且 a2aa a2aB aa2a2aC aa2aa2Da2 aaa2解析： 选 B a2a0，1ab，cd，且 c，d 不为 0，那么下列不等式成立的是() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页AadbcBacbdCacbdDa cbd
4、解析： 选 D由不等式的性质知，ab，cd? acbd. 4(教材习题改编)已知 ab0，cd0，则ad与bc的大小关系为 _解析： cd0，1d1c0. 又 ab0，adbc0.ad bc. 答案：ad bc5已知 12x60,15y36，则 x y 的取值范围是 _解析： 15y36， 36y 15. 又 12x60 12 36xy6015，即 24xy1某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B 两种设备上加工，在每台 A，B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为1 小时和 2 小时，加工一件乙产品所需工时分别为2 小时和 1 小时， A，B 两种设备每月有效使用台时数分别为4
5、00 和 500.写出满足上述所有不等关系的不等式解： 设甲、乙两种产品的产量分别为x，y，则由题意可知x2y400，2xy500，x0，x N，y0，y N.比较大小例 2(1)已知 a1， a2(0,1)， 记 Ma1a2， Na1a21， 则 M 与 N 的大小关系是() AMNCM ND不确定(2)甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则() A甲先到教室B乙先到教室C两人同时到教室D谁先到教室不确定自主解答 (1)M Na1a2 (a1a21) a1a2a1a21 a1(a21)(a21)(a11)(
6、a21)，又 a1 (0,1)，a2 (0,1)， a110，a210，即 MN0. MN. (2)设甲用时间为T，乙用时间为2t，步行速度为a，跑步速度为b，距离为 s，则 Ts2as2bs2as2bs ab2ab，statb? 2t2sab. T2ts ab2ab2sab sab24ab2ab abs a b22ab ab0，即乙先到教室答案 (1)B(2)B 若将本例 (1)中“ a1，a2(0,1)”改为“ a1，a2(1， )”，试比较M 与 N 的大小解： MN a1a2 (a1a21)(a11)(a21)，当a1，a2 (1， )时， a1 10，a2 10. (a11) (a2
7、 1)0. MN0，即 MN.比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤是：作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、 有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差2 作商法一般步骤是：作商；变形；判断商与1 的大小；结论注意所比较的两个数的符号 . 3 特值法若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可以用特值法探究思路. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页2比较下列各组中两个代数式的大小：(1)3x2x1 与 2x2x1；(2)当 a0，b0 且
8、a b时， aabb与 abba. 解： (1) 3x2 x12x2x1x22x2 (x1)210， 3x2x 12x2x1. (2)aabbabbaaabbbaaab1bababab. 当ab，即 ab0，ab1 时，abab1， aabbabba. 当 ab，即 ab0，ab1， aabbabba. 当a0， b0 且 ab 时， aabbabba. 不等式性质的简单应用例 3(1)(2012湖南高考 )设 ab1，ccb； acloga(bc)其中所有的正确结论的序号是() ABCD(2)已知三个不等式：ab0， bcad0，cadb0(其中 a，b，c，d 均为实数 )，用其中两个不等
9、式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是() A0 B1 C2 D3 自主解答 (1)ab1?1ab0ab? a1abb1ab?1b1ac0?cbcb，所以正确；ab1?ab1c0?abc0? acb1cbca1? loga(ac)loga(bc)，ab1c1? logb(a c)loga(ac)，所以 logb(ac)loga(b c)所以正确(2)由 ab0，bcad0，即 bcad，得cadb，即cadb0；由 ab0，cadb0，即cadb，得 bcad，即 bcad0；由 bcad0，cadb0，即bcadab0，得 ab0；故可组成 3 个正确的命
10、题答案 (1)D(2)D 与不等式有关的命题的真假判断在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等3(2013 包头模拟 )若 a0b a，cdbc； (2)adbcbd；(4)a(d c)b(dc)中能成立的个数是() A1 B2 C3 D4 解析： 选 C a0b，cd0， ad0， ad0ba， ab0. cdd0. a(c)(b)(d) acbd0.adbcacbdcd0. (2)正确 cd. ab， a( c)b(d)，即 acb d. (3)正
11、确 ab，dc0， a(dc)b(dc)(4)正确1 个区别 不等式与不等关系的区别不等关系强调的是关系，可用符号“”，“b” ，“ ab，ab0?1a1b；a0b?1ab0,0cbd；0axb 或 axb0?1b1xb0，m0，则真分数的性质：babmam(bm0)；假分数的性质：abambm；ab0)3 个注意点 应用不等式的性质应注意的问题(1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的如ab，bc? ab? ac2bc2；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页若无 c
12、0 这个条件， ab? ac2bc2就是错误结论(当 c0 时，取“” )(3)“ab0? anbn(nN*，n1)”成立的条件是“n 为大于1 的自然数， ab0”，假如去掉“ n 为大于 1 的自然数”这个条件，取n 1，a3，b2，那么就会出现“3121”的错误结论； 假如去掉 “ b0” 这个条件， 取 a3，b 4，n2，那么就会出现“32(4)2”的错误结论. 易误警示 解题时忽视不等式的隐含条件而致误典例 (2013 盐城模拟 )已知 1ab3；2a b4，则 2a3b 的取值范围为 _解析 设 2a 3bx(ab) y(ab)，则xy2，xy3，解得x52，y12.又5252(
13、ab)152， 212(a b)1，9252(ab)12(ab)132，即922a3bd，则 “ ab” 是“ acbd”的 () A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析： 选 B由acbdcd? ab；而当 ac2，bd1 时，满足abcd，但 acbd 不成立，所以 “ ab” 是“acb d”的必要不充分条件2(2013 朔州模拟 )已知 a0， 1babab2Bab2abaCabaab2Dabab2a解析： 选 D由 1b0，可得 bb21，又 aab2a. 3设 0，2， 0，2，那么 2 3的取值范围是 () A. 0，56B.6，56C(0， ) D
14、.6，解析： 选 D 02 ，036，6 30. 62 3.4(2013 南平模拟 )如果 a， b，c 满足 cba，且 acacBc(ba)0 Ccb2ab2Dac(ac)0 解析： 选 C由题意知c0，则 A 一定正确； B 一定正确； D 一定正确；当b0时 C 不正确5设 a，b 为正实数，则 “ ab” 是“a1a0，b0，a1b，由不等式的性质a1ab1b. 由ab 可得出 a1ab1b. 当 a1ab1b时，可得 (ab)1a1b0，即(ab) 11ab0，b0， ab0. ab.故由 a1ab1b可得出 ab. “ ab” 是“a1aab(ab)答案：12(a2b2)ab(a
15、b) 8若 xyz1，则xyz，xy，yz，xz从大到小依次为_解析： 因为 xyz1，所以有xyxz，xzyz，xyzxy，于是有xyzxyxzyz. 答案：xyz，xy，xz，yz9已知函数f(x)ax2 2ax4(a0)，若 m0， a(a 1)0.又 mn，故 a(mn)(a1)0. f(m)f(n)答案： f(m)0，当x1 时， (x1)(x21)0，即 x3x2x1；当 x1 时， (x1)(x21)0，即 x3 x2x1；当 x1 时， (x1)(x21)0，即 x3bc，求证：1a b1bc1ca0. 证明： abc，cb. acab0.1ab1ac0. 精选学习资料 - -
16、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页1ab1ca0.又 b c0，1bc0. 1ab1bc1ca0. 12已知 f(x)ax2c 且 4 f(1) 1， 1f(2)5，求 f(3)的取值范围解： 由题意，得acf 1 ，4a cf 2 ，解得a13f 2 f 1 ，c43f 1 13f 2 .所以 f(3)9ac53f(1)83f(2)因为 4f(1)1，所以53 53f(1)203. 因为 1f(2)5，所以8383f(2)403. 两式相加，得1f(3)20，故 f(3)的取值范围是1,201 限速 40 km/h 的路标，指示司
17、机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过 40 km/h，写成不等式就是() Av40 km/h Cv40 km/h Dv 40 km/h 解析： 选 D速度 v 不超过 40 km/h，即 v40 km/h. 2已知 a， b，cR，则 “ ab” 是“ ac2bc2” 的() A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析： 选 Bab ? / ac2bc2，因为当c20 时， ac2bc2；反之， ac2bc2? ab. 3若1a1b0，则下列结论不正确的是 () Aa2b2Babb2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页Cab|ab| 解析： 选 D1a1bab. a2b2，abb2，a b0， |a| |b|ab|. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页