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1、高中数学教案导数、定积分一课标要求：1导数及其应用1导数概念及其几何意义 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；通过函数图像直观地理解导数的几何意义。2导数的运算 能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x ，y=x 的导数； 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数仅限于形如f ax+b 的导数； 会使用导数公式表。3导数在研究函数中的应用 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性
2、，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。4生活中的优化问题举例例如， 使利润最大、 用料最省、 效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。5定积分与微积分基本定理 通过实例 如求曲边梯形的面积、变力做功等 ，从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； 通过实例 如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系，直观了解微积分基本定理的含
3、义。6数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流； 体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本标准中 数学文化 的要求。二命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识， 研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、 填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三要点精讲1导数的概念函数 y=f(x),如果自变量x 在 x0处有增量x， 那么函数 y 相应地有增量y=f x
4、0+x f x0 ， 比 值xy叫 做 函 数y=f x 在x0到x0+x之 间 的 平 均 变 化 率 ， 即xy=xxfxxf)()(00。如果当0 x时，xy有极限，我们就说函数y=f(x)在点 x0处可导，并把这个极限叫做 f x在点 x0处的导数，记作f x0或 y|0 xx。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页即 f x0=0limxxy=0limxxxfxxf)()(00。说明：1函数f x在点x0处可导，是指0 x时，xy有极限。如果xy不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。2x是自变量x
5、 在 x0处的改变量，0 x时，而y是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f x在点 x0处的导数的步骤可由学生来归纳：1求函数的增量y=f x0+x f x0 ；2求平均变化率xy=xxfxxf)()(00；3取极限，得导数f (x0)=xyx0lim。2导数的几何意义函数 y=fx 在点 x0处的导数的几何意义是曲线y=fx 在点 p x0， fx0 处的切线的斜率。 也就是说， 曲线 y=fx在点 p x0，fx0 处的切线的斜率是f x0 。相应地，切线方程为y y0=f/ x0 xx0 。3常见函数的导出公式0)(CC为常数1)(nnxnxxxcos)(sinxxs
6、in)(cos4两个函数的和、差、积的求导法则法则 1：两个函数的和( 或差 ) 的导数 , 等于这两个函数的导数的和( 或差 )，即： (.)vuvu法则 2：两个函数的积的导数, 等于第一个函数的导数乘以第二个函数, 加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)(uvvuuv假设C 为常数 , 则0)(CuCuCuuCCu. 即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(CuCu法则 3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页再除以分母的
7、平方：vu=2vuvvuv0 。形如 y=fx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则： y|X= y |Uu|X5导数的应用1一般地，设函数)(xfy在某个区间可导，如果f)(x0，则)(xf为增函数；如果f0)(x，则)(xf为减函数；如果在某区间内恒有f0)(x，则)(xf为常数；2曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3一般地，在区间a ，b 上连续的函数f)(x在a ，b 上必有最大值与最小值。求函数?)(x在(a，b) 内的极值；求函数?)(x在区间端点的值? (
8、a) 、?(b) ； 将函数?)(x的各极值与? (a) 、?(b) 比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。6定积分1概念设函数f(x) 在区间 a，b 上连续，用分点ax0 x1xi1xixnb把区间 a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi 1，xi 上取任一点ii1， 2， n 作和式Innif1( i) x其中x为小区间长度 ，把n即x0 时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间a，b 上的定积分，记作：badxxf)(，即badxxf)(ninf1lim( i) x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b 叫做积分区间， 函数f(x) 叫做被积函数，x叫做积分变量
9、，f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：dx0C；dxxm111mxmCmQ，m 1 ；x1dxlnxC；dxexxeC；dxaxaaxlnC；xdxcossinxC；xdxsin cosxC表中C均为常数。2定积分的性质babadxxfkdxxkf)()(k为常数；bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页bacabcdxxfdxxfdxxf)()()(其中acb)。3定积分求曲边梯形面积由三条直线xa，xbab ，x轴及一条曲线yfx(f(x) 0)围成的曲边
10、梯的面积badxxfS)(。如果图形由曲线y1f1(x) ，y2f2(x) 不妨设f1(x) f2(x)0 ，及直线xa，xbab围成，那么所求图形的面积SS曲边梯形 AMNBS曲边梯形 DMNCbabadxxfdxxf)()(21。四典例解析题型 1：导数的概念例 1已知 s=221gt， 1计算 t 从 3 秒到 3.1 秒 、3.001 秒 、 3.0001秒 . 各段内平均速度； 2求 t=3 秒是瞬时速度。解析： 1tt, 1.031.3,1.3,3指时间改变量；.3059.03211 .321)3() 1 .3(22ggssss指时间改变量。059.313059.0tsv。其余各段
11、时间内的平均速度，事先刻在光盘上， 待学生答复完第一时间内的平均速度后，即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。2从 1可见某段时间内的平均速度ts随t变化而变化，t越小，ts越接近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是0t时，ts的极限，V=0limxts=0limxtsts)3()3(0limxtgtg22321)3(21=g210limx6+) t=3g=29.4( 米 /秒) 。例 2求函数y=24x的导数。解析：2222)()2(44)(4xxxxxxxxxy，22)(24xxxxxxy，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
12、- - - -第 4 页，共 13 页00limlimxxxy22)(24xxxxx=-38x。点评：掌握切的斜率、瞬时速度，它门都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础。题型 2：导数的基本运算例 3 1求)11(32xxxxy的导数；2求)11)(1(xxy的导数； 3求2cos2sinxxxy的导数； 4求 y=xxsin2的导数； 5求 yxxxxx9532的导数。解析： 12311xxy,.2332xxy2先化简 ,2121111xxxxxxy.112121212321xxxxy3先使用三角公式进行化简. xxxxxysin212cos2sin.cos211)(sin21sin2
13、1xxxxxy4y=xxxxx222sin)(sin*sin)(=xxxxx22sincossin2；5y233xx219xy *x23 x 21(x *2321x *2123x1)11(292xx。点评： 1求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页样可以减少运算量，提高运算速度， 减少过失；2有的函数虽然外表形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导 有时可以防止使用商的求导法则，减少运算量。例 4写出由以下函数复合
14、而成的函数：1y=cosu,u=1+2X2y=lnu, u=lnx 解析：1y=cos(1+2X) ；2 y=ln(lnx)。点评：通过对y=3x-22)展开求导及按复合关系求导，直观的得到xy=uy.xu. 给出复合函数的求导法则，并指导学生阅读法则的证明。题型 3：导数的几何意义例 51 假设曲线4yx的一条切线l与直线480 xy垂直， 则l的方程为A430 xy B450 xy C 430 xy D 430 xy2过点 1，0作抛物线21yxx的切线，则其中一条切线为A220 xyB330 xyC10 xy D10 xy解析： 1与直线480 xy垂直的直线l为40 xym，即4yx在
15、某一点的导数为 4，而34yx，所以4yx在(1 ，1) 处导数为4，此点的切线为430 xy，故选 A；221yx， 设切点坐标为00(,)xy， 则切线的斜率为201x， 且20001yxx，于是切线方程为200001(21)()yxxxxx，因为点 1，0在切线上，可解得0 x0 或 4，代入可验正D正确，选D。点评：导数值对应函数在该点处的切线斜率。例 6 1半径为 r 的圆的面积S(r) r2, 周长 C(r)=2r ，假设将 r 看作 (0 ， )上的变量，则(r2) 2r 1，1式可以用语言表达为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，假设将R看作 (0， )上的
16、变量，请你写出类似于1的式子 ：2； 2式 可 以 用 语 言 表 达为：。 2曲线1yx和2yx在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是。解析： 1V球343R，又32443RR（） 故2式可填32443RR（） ，用语言表达为“球的体积函数的导数等于球的外表积函数。” ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页2曲线xy1和2xy在它们的交点坐标是(1 ，1) ，两条切线方程分别是y=x+2和 y=2x1，它们与x轴所围成的三角形的面积是43。点评： 导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起，对于较复杂
17、问题有很好的效果。题型 4：借助导数处理单调性、极值和最值例 7 1对于 R上可导的任意函数fx ，假设满足 x1fx（ ）0，则必有Af 0 f 2 2f 1 B. f0 f 2 2f 1Cf 0 f 2 2f 1 D. f0 f 2 2f 12函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如下图，则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点A1 个 B 2 个 C3 个 D 4 个3已知函数11axxfxex。 设0a，讨论yfx的单调性；假设对任意0,1x恒有1fx，求a的取值范围。解析： 1依题意，当x 1 时， f x 0，函数 f x在 1，上是增函数；
18、当x 1 时， f x 0，f x在，1上是减函数，故f x当 x 1 时取得最小值，即有 f 0f 1 ，f 2 f 1 ，故选 C；2函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如下图，函数)(xf在开区间),(ba内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1 个，选 A。3 ：( )f(x)的定义域为 ( ,1) (1,+ ). 对 f(x)求导数得 f (x)= ax2+2a(1 x)2 eax。( ) 当 a=2 时, f (x)= 2x2(1 x)2 e2x, f (x)在( ,0), (0,1)和 (1,+ ) 均大于0
19、, 所以 f(x) 在( ,1), (1,+). 为增函数；( ) 当 0a0, f(x)在( ,1), (1,+) 为增函数 . ；( ) 当 a2 时 , 0a 2a1, 令 f (x)=0 ,解得 x1= a2a, x2= a 2a；当 x 变化时 , f (x)和 f(x)的变化情况如下表: x ( , a2a) ( a2a,a2a) (a2a,1) (1,+ ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页f (x) f(x) f(x)在 ( , a2a), (a2a,1), (1,+ ) 为 增 函 数 , f(
20、x)在 ( a2a,a2a) 为减函数。( )( ) 当 0f(0)=1；( ) 当 a2 时 , 取 x0= 12a2a(0,1),则由 ( ) 知 f(x0)1 且 eax1，得： f(x)= 1+x1xe ax1+x1x 1. 综上当且仅当a( ,2 时, 对任意x(0,1)恒有f(x)1。点评： 注意求函数的单调性之前，一定要考虑函数的定义域。导函数的正负对应原函数增减。例 8 132( )32fxxx在区间1,1上的最大值是(A) 2 (B)0 (C)2 (D)4 2设函数 f(x)= 3223(1)1,1.xaxa其中求 f(x) 的单调区间；讨论f(x)的极值。解析： 12( )
21、363 (2)fxxxx x，令( )0fx可得 x0或 2 2舍去，当1 x 0 时，( )fx0，当 0 x 1 时，( )fx0，所以当 x0 时，fx取得最大值为2。选C；2由已知得( )6(1)fxx xa，令( )0fx，解得120,1xxa。当1a时，2( )6fxx，( )f x在(,)上单调递增；当1a时，( )61fxx xa，( ),( )fxf x随x的变化情况如下表：x(,0)0 (0,1)a1a(1,)a( )fx+ 0 0 ( )f x极大值极小值从上表可知， 函数( )f x在(,0)上单调递增； 在(0,1)a上单调递减； 在(1,)a精选学习资料 - - -
22、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页上单调递增。由知，当1a时，函数( )f x没有极值；当1a时，函数( )f x在0 x处取得极大值，在1xa处取得极小值31(1)a。点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。题型 5：导数综合题例 9设函数3( )32f xxx分别在12xx、处取得极小值、极大值.xoy平面上点AB、的坐标分别为11()x fx（,）、22()xf x（,），该平面上动点P满足?4PA PB, 点Q是点P关于直线2(4)yx的对称点 . 求(I) 求点AB、的
23、坐标；(II)求动点Q的轨迹方程 . 解析： ( ) 令033)23()(23xxxxf解得11xx或；当1x时 ,0)(xf， 当11x时,0)(xf，当1x时，0)(xf。所 以 ,函数 在1x处 取得 极小 值,在1x取得 极大 值,故1, 121xx,4) 1(,0) 1(ff。所以 , 点 A、B的坐标为)4 , 1(),0, 1(BA。设),(nmp，),(yxQ，4414,1,122?nnmnmnmPBPA，21PQk，所以21mxny。又PQ 的 中 点 在)4(2 xy上 ， 所 以4222nxmy， 消 去nm,得92822yx。点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。例
24、10已知函数( )sinf xxx, 数列 na 满足 :1101,(),1,2,3, .nnaaf an证明:( )101nnaa；( )3116nnaa。证明 : I 先用数学归纳法证明01na， 1,2,3, (i).当 n=1 时 ,由已知显然结论成立。(ii).假设当 n=k 时结论成立 , 即01ka。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页因为 0 x0成立。于是31()0,sin06nnnng aaaa即故3116nnaa。点评：该题是数列知识和导数结合到一块。题型 6：导数实际应用题例 11请您设计一个
25、帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥 如右图所示 。试问当帐篷的顶点O到底面中心1o的距离为多少时，帐篷的体积最大？本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识， 以及运用数学知识解决实际问题的能力。解析：设OO1为 x m, 则由题设可得正六棱锥底面边长为2223(1)82xxx单位： m 。于是底面正六边形的面积为单位：m2 ：2222233 33(1)6(82)(82)42xxxxx。帐篷的体积为单位：m3 ：233 313( )(82)(1) 1(16 12)232V xxxxxx求导数，得23( )(123)2Vxx；精选学习资料 -
26、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页令( )0Vx解得 x=-2( 不合题意，舍去),x=2 。当 1x2 时，( )0Vx,V(x) 为增函数；当2x0。当 x=0 时， t=0 ；当 x=a 时，311)(batt，又 ds=vdt ，故阻力所作的功为：3277130320302727727)3(111baktkbdtbtkdtvkdtvkvdsFWtttzuzu2依题设可知抛物线为凸形，它与x 轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=b/a ，所精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
27、 - -第 12 页，共 13 页以320261)(badxbxaxSab(1) 又直线 xy=4 与抛物线y=ax2bx 相切，即它们有唯一的公共点，由方程组bxaxyyx24得 ax2(b 1)x 4=0，其判别式必须为0，即 (b 1)216a=0于是,) 1(1612ba代入 1式得：)0( ,) 1(6128)(43bbbbS，52) 1(3)3(128)(bbbbS；令 S(b)=0 ； 在 b0 时得唯一驻点b=3，且当 0b 3 时，S(b) 0； 当 b3 时，S(b)0 故在 b=3时， S(b) 取得极大值，也是最大值， 即 a=1， b=3时， S取得最大值， 且29maxS。点评：应用好定积分处理平面区域内的面积。五思维总结1本讲内容在高考中以填空题和解答题为主主要考查：1函数的极限；2导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用；3计算曲边图形的面积和旋转体的体积。2考生应立足基础知识和基本方法的复习，以课此题目为主，以熟练技能，稳固概念为目标。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页