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1、高中数学选修2-2 知识点第一章导数及应用一导数概念的引入1. 导 数 的 物 理 意 义 ： 瞬 时 速 率 。 一 般 的 ， 函 数( )yf x在0 xx处 的 瞬 时 变 化 率 是000()()limxf xxfxx，我们称它为函数( )yf x在0 xx处的导数，记作0()fx或0|xxy，即0()fx=000()()limxf xxf xx2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像 ,我们可以看出当点nP趋近于P时，直线PT与曲线相切。容易知道，割线nPP的斜率是00()()nnnf xf xkxx，当点nP趋近于P时，函数( )yfx在0 xx处的导数就是切线PT 的斜率 k，
2、即0000()()lim()nxnf xf xkfxxx3.导函数：当x 变化时，( )fx便是 x 的一个函数，我们称它为( )f x的导函数 . ( )yf x的导函数有时也记作y,即0()( )( )limxf xxf xfxx二.导数的计算1）基本初等函数的导数公式: 2 若( )f xx,则1( )fxx; 3 若( )sinf xx,则( )cosfxx4 若( )cosf xx,则( )sinfxx; 5 若( )xf xa,则( )lnxfxaa6 若( )xf xe,则( )xfxe7 若( )logxaf x,则1( )lnfxxa8 若( )lnf xx,则1( )fxx
3、2）导数的运算法则2. ( )( )( )( )( )( )f xg xfxg xf xg x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页3. 2( )( )( )( )( )( )( )fxfxg xf xg xg xg x3）复合函数求导( )yf u和( )ug x,称则y可以表示成为x的函数 ,即( ( )yf g x为一个复合函数( ( )( )yfg xg x三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数: 一般的 ,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间( , )a b内，如果( )0fx，那么函数(
4、 )yf x在这个区间单调递增；如果( )0fx，那么函数( )yf x在这个区间单调递减. Ps：二阶导数，是 原函数 导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数 y=f（x）的导数 y=f（x）仍然是 x 的函数，则 y=f（x）的导数叫做函数y=f （x）的二阶导数。几何意义（1）切线 斜率变化的速度（2）函数的凹凸性 （例如 加速度 的方向总是指向轨迹 曲线凹的一侧）2.函数的极值（局部概念）与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数( )yf x的极值的方法是: (1) 如果在0 x附近的左侧( )0fx,右侧( )0fx,那么0()f x是极大值 ; (2) 如果在
5、0 x附近的左侧( )0fx,右侧( )0fx,那么0()f x是极小值 ; (3) 若f （x）=0，则在该点函数不增不减，可能为极值，也可能就为一过渡点。4.函数的最大 (小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系. 求函数( )yf x在 , a b上的最大值与最小值的步骤（1）求函数( )yf x在( , )a b内的极值；（2）将函数( )yf x的各极值与端点处的函数值( )f a，( )f b比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值 . 可导奇函数的导函数的是偶函数可导偶函数的导函数的是奇函数III. 求导的常见方法：常用结论：xx1|)|(ln. 精选学习资料 - - - -
6、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页形如).()(21naxaxaxy或).()().()(2121nnbxbxbxaxaxaxy两边同取自然对数，可转化求代数和形式 . 无理函数或形如xxy这类函数，如xxy取自然对数之后可变形为xxylnln，对两边求导可得xxxxxyyxyyxxxyylnln1ln. 导数中的切线问题1：已知切点，求曲线的切线方程2：已知斜率，求曲线的切线方程3：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法4：已知过曲线外一点，求切线方程1.函数)(xf的定义域为开
7、区间3(,3)2，导函数)(xf在3(,3)2内的图象如图所示，则函数)(xf的单调增区间是_ 2.如图为函数32( )f xaxbxcxd的图象，( )fx为函数( )f x的导函数，则不等式( )0 x fx的解集为 _ _ 3.若函数2( )f xxbxc的图象的顶点在第四象限，则其导函数( )fx的图象是（）4.函数( )yf x的图象过原点且它的导函数( )fx的图象是如图所示的一条直线，则( )yf x图象的顶点在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限5.定义在 R 上的函数)(xf满足(4)1f)(xf为)(xf的导函数 ，已知函数)(xfy的图象如右图所示.若两正数
8、ba,满足)(xfyoyx-33)(xfyxyO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页1)2(baf，则22ba的取值范围是（）A11( ,)32B1(,)3,2C1(, 3)2D(,3)5. （2008 年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是（）6.函数221ln)(xxxf的图象大致是（）ABCD7.设)( xf是函数)(xf的导函数，将)(xfy和)( xfy的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）ABCD8.如右图所示是某一容器的三视图， 现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（）xxxxyyyyOOOOOthhtOhtOOth正 视图侧视图俯 视图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页