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1、精品_精品资料_高中数学教案导数、定积分一课标要求：1导数及其应用1导数概念及其几何意义 通过对大量实例的分析,经受由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,明白导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵.通过函数图像直观的懂得导数的几何意义.2导数的运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 能依据导数定义求函数y=c , y=x, y=x2, y=x3, y=1/x ,y=x 的导数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四就运算法就求简洁函数的导数, 能求简洁的复合函数仅限于形如 f ax+b的导数. 会使
2、用导数公式表.3导数在争论函数中的应用 结合实例,借助几何直观探究并明白函数的单调性与导数的关系.能利用导数争论函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间. 结合函数的图像,明白函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、微小值,以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值.体会导数方法在争论函数性质中的一般性和有效性.4生活中的优化问题举例例如, 使利润最大、 用料最省、 效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.5定积分与微积分基本定理 通过实例 如求曲边梯形的面积、 变力做功等 ,从问题情境中明白定积分的实际背景.借助几何直观体
3、会定积分的基本思想,初步明白定积分的概念. 通过实例 如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系,直观明白微积分基本定理的含义.6数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料,并进行沟通. 体会微积分的建立在人类文化进展中的意义和价值.详细要求见本标准中 数学文化 的要求.二命题走向导数是高中数学中重要的内容,是解决实际问题的强有力的数学工具,运用导数的有关学问, 争论函数的性质： 单调性、极值和最值是高考的热点问题.在高考中考察形式多种多样,以挑选题、 填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用,也常常以解答题形式和其它数学学问结合起来,综合考察利用导数争论函数的单调性、
4、极值、最值.三要点精讲1导数的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 y=fx,假如自变量 x 在 x 0 处有增量x ,那么函数 y 相应的有增量y =fyx 0 +x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x 0 , 比 值叫 做 函 数 y=f x 在 x 0 到 x 0 +x 之 间 的 平 均 变 化 率 , 即x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y = f x0 xxf x0 .xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如当x0 时,有极限,我们就说函数y=fx在点 x 0
5、处可导,并把这个极x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_限叫做 f x在点 x 0 处的导数,记作 f x 0 或 y|x x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 f x= limy = limf x0xfx0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0x0xx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：1函数 f x在点 x0 处可导,是指x0 时,y 有极限.假如xy 不存在极x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_限,就说函数在点x 0 处不行导,或说无导数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x 是自变量
6、 x 在 x 0 处的转变量,x0 时,而y 是函数值的转变量,可以是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_零.由导数的定义可知,求函数y=f x在点 x 0 处的导数的步骤可由同学来归纳：1求函数的增量y =f x 0 +x f x 0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2求平均变化率y = f x0 xxfx x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3取极限,得导数f x 2导数的几何意义0 =limy .x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 y=fx在点 x 0 处的导数的几何
7、意义是曲线y=fx在点 px 0 ,fx 0 处/的切线的斜率. 也就是说, 曲线 y=f x在点 px 0 ,fx 0 处的切线的斜率是f x 0 .相应的,切线方程为y y 0 =f x 0 xx 0 .3. 常见函数的导出公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C0 C 为常数 xn n x n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin xcos xcos xsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 两个函数的和、差、积的求导法就法就 1：两个函数的和 或差 的导数 , 等于这两个函数的导数
8、的和 或差 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即： uvu v.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法就 2：两个函数的积的导数, 等于第一个函数的导数乘以其次个函数, 加上第一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数乘以其次个函数的导数,即：uv u vuv .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 C 为常数 , 就 Cu C uCu 0Cu Cu . 即常数与函数的积的导数等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_常数乘以函数的
9、导数：Cu Cu .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法就 3 两个函数的商的导数, 等于分子的导数与分母的积, 减去分母的导数与分子的积,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再除以分母的平方：u u v =2v vuvv0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_形如 y=f x 的函数称为复合函数.复合函数求导步骤：分解求导回代.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法就： y | X = y | U u| X可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 导数的应用1一般的,设函数 yf x
10、 在某个区间可导,假如f x0 ,就f x为增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 f x0 ,就f x 为减函数.假如在某区间内恒有f x0 ,就f x 为常数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0.曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负.曲线在微小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3一般的,在区间 a ,b 上连续的函数 fx 在a ,b 上必有最大值与最小值.求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
11、_函数. x 在a ,b 内的极值.求函数. x 在区间端点的值. a 、.b . 将函数. x的各极值与. a 、.b 比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值.6. 定积分1概念设函数 f x 在区间 a,b 上连续,用分点a x0x1 xi 1xi xn b 把区间 a, b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等分成 n 个小区间,在每个小区间 xi 1,xi 上取任一点 ii 1,2,n作和式 I nnf i1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i x其中 x 为小区间长度 ,把 n即 x 0 时, 和式 I n 的极限叫做函数 f x 在区间可编辑资料 -
12、 - - 欢迎下载精品_精品资料_ a, b 上的定积分,记作：bf xdx ,即abf xdx limannf i x.i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这里, a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间 a,b 叫做积分区间, 函数 f x 叫做被积函数, x 叫做积分变量, f x dx 叫做被积式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_基本的积分公式：0dx C.xmdx a x1xmm11 Cm Q, m 1.1 dxlnx x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ C.exdx ex C.ax dx ln a C.cosxdx sin x
13、C.sin xdx cosx C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_表中 C均为常数.2定积分的性质bb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kf xdxakf xdx k 为常数.a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf xag xdxbf xdxabg xdx .a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf x dxacf xdxabf xdx 其中 a c b .c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3定积分求曲边梯形面积由三条直线 xa,x bab,x 轴及一条曲线 y fxb可编
14、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x 0 围成的曲边梯的面积Sf xdx .a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如图形由曲线 y1 f 1 x ,y2 f 2 x不妨设 f 1 x f 2 x0,及直线 x a,x bab围成,那么所求图形的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S S 曲边梯形 AMNBS 曲边梯形 DMNC四典例解析题型 1：导数的概念bf1 xdxabf2 xdx .a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1已知 s= 1 gt 2 ,1运算 t 从 3 秒到 3.1 秒 、3.001 秒 、 3.0001秒 .
15、 各段内2平均速度. 2求 t=3 秒是瞬时速度.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 13,3.1 ,t3.130.1,t 指时间转变量.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ss3.1s31 g3.1221 g3220.3059.s 指时间转变量.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_vs0.3059t13.059.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其余各段时间内的平均速度, 事先刻在光盘上, 待同学答复完第一时间内的平均速度后, 即用多媒体出示,让同学摸索在各段时间内的平均速度的变化情形.
16、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2从 1可见某段时间内的平均速度s 随 t 变化而变化,t 越小,ts 越接近t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于一个定值,由极限定义可知,这个值就是t0 时,s 的极限,t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_V= limst = lims3ts3lim1 32 gt 21 g322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x0tx0t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= 1 glim6+t =3g=29.4 米/ 秒 .可编辑资料 - - - 欢
17、迎下载精品_精品资料_2x04可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2求函数 y= x 2的导数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：y444x2 xx,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xy2 xx4x2 xx 2x2x,x 2x2 xx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ylimx0xlimx02x4x2 xxx 28=-.x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评：把握切的斜率、瞬时速度,它门都是一种特别的极限,为学习导数的定义奠定基础.题型 2：导数的基本运算可编
18、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 31求 yx x21x1 的导数.3x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2求 yx1 1x1 的导数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 3求 yxsinx cos x 22的导数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 4求 y=x的导数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 5求 y3x 2xx5x x9 的导数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 1y2先化简 , yx 311 ,x 2x1xxy3x211x2
19、.x 311x2x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1y1 x 2231 x 22111 .2 xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3先使用三角公式进行化简.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yxsinx cos xx 221 sin x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yx1 sin x2x1 sin x211 cosx. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x2 sin xx 2 *sinx2 xsin xx 2 c
20、os x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4y =sin 2 x=.sin 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_315y 3x 2 x 9 x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3y *x 2 x 1 x 2 * 321x 2 *31 x 2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9x121 1.x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评： 1求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_样可以削减运算量,
21、 提高运算速度, 削减过失. 2有的函数虽然外表形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导 有时可以防止使用商的求导法就,削减运算量.例 4写出由以下函数复合而成的函数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1y=cosu,u=1+ X 22y=lnu, u=lnx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：1y=cos1+2 y=lnlnx.X 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评：通过对y=3x-2 2 绽开求导及按
22、复合关系求导,直观的得到yyu=.xux. 给出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_复合函数的求导法就,并指导同学阅读法就的证明.题型 3：导数的几何意义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 51假设曲线yx4 的一条切线 l 与直线 x4 y80 垂直,就 l 的方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 4 xy30B x4 y50C 4xy30D x4 y30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2过点 1, 0作抛物线yx2x1 的切线,就其
23、中一条切线为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 2 xy20B 3 xy30C xy10 D xy10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：1与直线 x4 y80 垂直的直线 l 为 4xym0 ,即yx4 在某一点的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_导数为 4,而 y000000选 A.4 x3 ,所以yx4 在1 ,1 处导数为 4,此点的切线为4 xy30 ,故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精
24、品资料_2y2 x1 ,设切点坐标为 x , y ,就切线的斜率为 2 x1 ,且yx2x1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是切线方程为yx2x012 x01 xx0 ,由于点 1,0在切线上,可解得x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00 或 4,代入可验正 D 正确,选 D.点评：导数值对应函数在该点处的切线斜率.例 61半径为 r 的圆的面积 Sr r2, 周长 Cr=2r ,假设将 r 看作 0 , 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上的变
25、量,就 r 2 2r1 ,1 式可以用语言表达为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R 的球,假设将 R 看作 0 , 上的变量,请你写出类似于 1 的式子 ：2 . 2 式 可 以 用 语 言 表 达为：.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2 曲线y1 和 yx2x在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 1V 434322 式可填432可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_球R ,又（33R ） 4R故（R ） 4 3R ,用语可编辑资料
26、- - - 欢迎下载精品_精品资料_言表达为“球的体积函数的导数等于球的外表积函数.”.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2曲线1y和 y xx 在它们的交点坐标是 1 , 1 ,两条切线方程分别是y= x+2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2和 y=2x 1,它们与 x 轴所围成的三角形的面积是3 .4点评： 导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起, 对于较复杂问题有很好的成效.题型 4：借助导数处理单调性、极值和最值例 71对于 R上可导的任意函数fx,假设满意 x 1f （x） 0,就必有A f 0 f 2 2f 1B. f0 f 2 2f 1C f
27、 0 f 2 2f 1D. f0 f 2 2f 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2函数f x的定义域为开区间 a, b ,导函数f x在 a,b 内的图象如下图,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 fx在开区间 a, b 内有微小值点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3已知函数 fx1x e1xax .设 a0 ,争论 yfx 的单调性. 假可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -
28、- 欢迎下载精品_精品资料_设对任意 x0,1 恒有 fx1,求 a 的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 1依题意,当 x 1 时, f x 0,函数 f x在 1, 上是增函数.当x 1 时, f x 0, f x在 , 1上是减函数,故 f x当 x 1 时取得最小值, 即有 f 0 f 1, f 2 f 1,应选 C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2函数f x的定义域为开区间a, b ,导函数f x在 a,b 内的图象如下图,函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数 f x 在开区间 a, b 内有微小值的点即函数由减函数变为
29、增函数的点,其导数值为由负可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_到正的点,只有 1 个,选 A.ax3： fx的定义域为 ,1 1,+ . 对 fx求导数得 f x=+2 ae22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_. ax1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 当 a=2 时, f x=2xe 2x , f x在 ,0, 0,1和 1,+ 均大于1 x 20,所以 fx在 ,1, 1,+ . 为增函数. 当 0a0, fx在 ,1, 1,+ 为增函数 . .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 当 a2 时, 0a 2a1,令 f x=0
30、,解得 x 1= a 2a, x 2=a 2a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x 变化时 , f x和 fx的变化情形如下表:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x ,a 2a a 2a,a 2aa 2a,11,+ 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xfx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx在 ,a 2a,a 2a,1,1,+ 为 增 函 数 ,fx在 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2a,a 2a 为减函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
31、当 0f0=1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 当 a2 时,取 x 0= 2a 2a0,1,就由 知 fx01 且 e 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1+x ax1+x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得： fx=fx1.1xe 1 x 1.综上当且仅当a ,2 时, 对任意x 0,1恒有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评： 留意求函数的单调性之前,肯定要考虑函数的定义域.导函数的正负对应原函数增减.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 81f xx33 x22 在区间1,1 上的最大值是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 2B0C2D4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设函数 fx=论fx的极值.2 x33 a1) x21,其中a1. 求 fx的单调区间. 讨可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 1 fx3 x26 x3x x2) ,令f x0 可得 x 0 或 2 2 舍