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1、学习必备欢迎下载小学数学奥数基础教程 (三年级 ) -第 05 讲本教程共30 讲第 5 讲 找规律 (一) 这一讲我们先介绍什么是“数列”，然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。按一定次序排列的一列数就叫数列。例如，(1) 1 ，2，3，4，5，6，(2) 1 ，2，4，8，16，32；(3) 1 ，0，0，1，0，0，1，(4) 1 ，1，2，3，5，8，13。一个数列中从左至右的第n 个数，称为这个数列的第n 项。如，数列(1) 的第 3 项是 3，数列 (2) 的第 3 项是 4。一般地，我们将数列的第n 项记作 an。数列中的数可以是有限多个， 如数列 (2)(4)，也可以是无限多个，
2、 如数列(1)(3) 。许多数列中的数是按一定规律排列的，我们这一讲就是讲如何发现这些规律。数列(1) 是按照自然数从小到大的次序排列的，也叫做自然数数列，其规律是：后项 =前项+1，或第 n 项 ann。数列(2) 的规律是：后项 =前项 2，或第 n 项数列(3) 的规律是：“ 1，0，0”周而复始地出现。数列(4) 的规律是：从第三项起，每项等于它前面两项的和，即a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+35，a6=3+5=8，a7=5+8=13。常见的较简单的数列规律有这样几类：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共
3、 5 页学习必备欢迎下载第一类是数列各项只与它的项数有关，或只与它的前一项有关。 例如数列(1)(2) 。第二类是前后几项为一组， 以组为单元找关系才可找到规律。例如数列(3)(4) 。第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律。这类情形稍为复杂些，我们用后面的例3、例 4 来作一些说明。例 1 找出下列各数列的规律，并按其规律在( ) 内填上合适的数：(1) 4，7，10，13，( ) ，(2) 84，72，60，( ) ，( ) ；(3) 2，6，18，( ) ，( ) ，(4) 625，125，25，( ) ，( ) ；(5) 1，4，9，16，( ) ，(6) 2，6，12，20，
4、( ) ，( ) ，解：通过对已知的几个数的前后两项的观察、分析，可发现(1) 的规律是：前项 +3=后项。所以应填 16。(2) 的规律是：前项 -12=后项。所以应填 48，36。(3) 的规律是：前项 3=后项。所以应填 54，162。(4) 的规律是：前项 5=后项。所以应填 5，1。(5) 的规律是：数列各项依次为1=11， 4=22， 9=33， 16=44，所以应填 55=25。(6) 的规律是：数列各项依次为2=12，6=23，12=34，20=45，所以，应填 5 6=30， 6 7=42。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
5、 -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载说明：本例中各数列的每一项都只与它的项数有关，因此 an可以用 n来表示。各数列的第n 项分别可以表示为(1) an3n+1；(2) an96-12n；(3) an23n-1；(4) an55-n；(5) ann2；(6) ann(n+1) 。这样表示的好处在于， 如果求第 100 项等于几，那么不用一项一项地计算，直接就可以算出来，比如数列(1) 的第 100 项等于 3100+1=301 。本例中，数列 (2)(4) 只有 5 项，当然没有必要计算大于5 的项数了。例 2 找出下列各数列的规律，并按其规律在( ) 内填上合适的数：(1) 1，2，2
6、，3，3，4，( ) ，( ) ；(2) ( ) ，( ) ，10，5，12，6，14，7；(3) 3 ，7，10，17，27，( ) ；(4) 1 ，2，2，4，8，32，( ) 。解：通过对各数列已知的几个数的观察分析可得其规律。(1) 把数列每两项分为一组，1，2，2，3，3，4，不难发现其规律是：前一组每个数加 1 得到后一组数，所以应填4，5。(2) 把后面已知的六个数分成三组：10，5，12，6，14，7，每组中两数的商都是 2，且由 5，6，7 的次序知，应填8，4。(3) 这个数列的规律是： 前面两项的和等于后面一项， 故应填 ( 17+27=)44。(4) 这个数列的规律是：
7、前面两项的乘积等于后面一项，故应填(8 32=)256。例 3 找出下列各数列的规律，并按其规律在( ) 内填上合适的数：(1) 18，20，24，30，( ) ；(2) 11，12，14，18，26，( ) ；(3) 2，5，11，23，47，( ) ，( ) 。解：(1) 因 20-18=2，24-20=4，30-24=6，说明 (后项- 前项) 组成一新数列2，4，6，其规律是 “依次加 2”，因为 6 后面是 8，所以，a5-a4=a5-30=8，故精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载a5=8+
8、30=38。(2) 12-11=1， 14-12=2， 18-14=4 ， 26-18=8 ， 组成一新数列 1， 2， 4， 8， 按此规律， 8 后面为 16。因此， a6-a5a6-26=16，故 a616+26=42 。(3) 观察数列前、后项的关系，后项=前项 2+1，所以a6=2a5+1247+195，a72a6+1295+1=191。例 4 找出下列各数列的规律，并按其规律在( ) 内填上合适的数：(1) 12，15，17，30， 22 ，45，( ) ，( ) ；(2) 2 ，8，5，6，8，4，( ) ，( ) 。解：(1) 数列的第 1，3，5，项组成一个新数列12，17，
9、 22 ，其规律是“依次加 5”，22 后面的项就是 27；数列的第 2，4，6，项组成一个新数列 15，30，45，其规律是“依次加15”，45 后面的项就是 60。故应填 27，60。(2) 如(1) 分析，由奇数项组成的新数列2，5，8，中， 8 后面的数应为11；由偶数项组成的新数列8，6，4， 中，4 后面的数应为 2。故应填11，2。练习 5 按其规律在下列各数列的 ( ) 内填数。1.56 ，49，42，35，( ) 。2.11 ， 15 ， 19 ， 23 ，( ) ，3.3 ，6，12，24，( ) 。4.2 ，3，5，9，17，( ) ，5.1 ，3，4，7，11，( )
10、。6.1 ，3，7，13，21，( ) 。7.3 ，5，3，10，3，15，( ) ，( ) 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载8.8 ，3，9，4，10，5，( ) ，( ) 。9.2 ，5，10，17，26，( ) 。10.15，21，18，19，21，17，( ) ，( ) 。11. 数列 1，3，5，7，11，13，15，17。(1) 如果其中缺少一个数，那么这个数是几？应补在何处？(2) 如果其中多了一个数，那么这个数是几？为什么？答案与提示练习 5 1.28 。2.27 。3.48 。4.33 。提示：“后项 -前项”依次为 1，2， 4 ，8，16，5.18 。提示：后项等于前两项之和。6.31 。提示：“后项 -前项”依次为 2，4，6，8，10。7.3 ，20。8.11 ，6。9.37 。 提示： an=n2+1。10. 24 ，15。提示：奇数项为15，18，21，24；偶数项为 21，19，17，15。11. (1) 缺 9，在 7 与 11 之间；(2) 多 15，因为除 15 以外都不是合数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页