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1、积分和微分积分一般分为不定积分、定积分和微积分三种1、不定积分设 F(x)是函数 f(x) 的一个原函数 ,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C （C 为任意常数）叫做函数 f(x) 的不定积分 . 记作 f(x)dx. 其中 叫做积分号 , f(x) 叫做被积函数, x 叫做积量 ,f(x)dx叫做被积式 ,C 叫做积分常数 ,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分. 由定义可知：求函数 f(x) 的不定积分 ,就是要求出f(x) 的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数 f(x) 的一个原函数 ,再加上任意的常数C,就得到函数f(x) 的不定积分 . 也可以表述成,
2、积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数 . 2、定积分众所周知 ,微积分的两大部分是微分与积分.微分实际上是求一函数的导数,而积分是已知一函数的导数,求这一函数 .所以 ,微分与积分互为逆运算. 实际上 ,积分还可以分为两部分.第一种 ,是单纯的积分 ,也就是已知导数求原函数,而若F(x)的导数是f(x), 那么 F(x)+C（C 是常数）的导数也是f(x), 也就是说 ,把 f(x) 积分 ,不一定能得到 F(x),因为 F(x)+C 的导数也是f(x),C 是无穷无尽的常数,所以 f(x) 积分的结果有无数个,是不确定的 ,我们一律用F(x)+C 代替 ,这就称为不定积分. 而相对于
3、不定积分,就是定积分 . 所谓定积分 ,其形式为 f(x) dx ( 上限 a 写在 上面 ,下限 b写在 下面 ).之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数 ,而不是一个函数. 定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分.用自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y 轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间a,b上的矩形累加起来 ,所得到的就是这个函数的图象在区间a,b的面积 .实际上 ,定积分的上下限就是区间的两个端点a、b. 我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来 ,而积分的本质是求一个函数的原函数 .它们看起来没有任何的联系,那么为什么
4、定积分写成积分的形式呢? 定积分与积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系.把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论,可以转化为计算积分.这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式 ,它的内容是：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页若 F(x)=f(x) 那么 f(x) dx (上限 a 下限 b)=F(a)-F(b) 牛顿 -莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差. 正因为这个理论,揭示了积分与
5、黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位,因此 ,牛顿 -莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理. 3、微积分积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数 .在应用上 ,积分作用不仅如此,它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数,这一族函数的导函数恰为前一函数 .其中： F(x) + C = f(x) 。一个函数在区间a,b上的定积分 ,是一个实数 .它等于该函数的一个原函数在b 的值减去在a 的值 . 几何意义：设 x 是曲线 y = f(x) 上的点 M 的在横坐标上的
6、增量, y 是曲线在点M 对应 x 在纵坐标上的增量 ,dy 是曲线在点M 的切线对应x 在纵坐标上的增量.当| x| 很小时 ,| ydy|比| y|要小得多 (高阶无穷小 ),因此在点M 附近 ,我们可以用切线段来近似代替曲线段. 多元微分：同理,当自变量为多个时,可得出多元微分得定义. 运算法则： dy=f(x)dx d(u+v)=du+dv d(u-v)=du-dv d(uv)=du v+dv u d(u/v)=(du v-dv u)/v21、定积分说明：（ 1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；（ 2）用定义求定积分的四个基本步骤：分割；近似代替；求和；取极限. 2、微积分基
7、本定理( 牛顿 - 莱布尼兹公式 ) 如果( )( )Fxf x，且( )f x在,ba上可积，则( )( )( )( )bbaaf x dxF xF bF a，【其中( )F x叫做( )f x的一个原函数，因为( )( )( )F xCFxf x】3、常用定积分公式0dxc（c为常数）1dxxc1(1)1xx dxc1lndxxcxxxe dxec精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页(0,1)lnxxaa dxcaaasincosxdxxccossinxdxxc1sincos(0)axdxaxcaa1cossin(
8、0)axdxaxcaa4、定积分的性质babadxxfkdxxkf)()(（k为常数）；bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(；( )( )( )bcbaacf x dxf x dxf x dx（其中)acb; 利用函数的奇偶性求定积分: 若( )f x是, a a上的奇函数 , 则0dx)x(faa; 若( )f x是,a a上的偶函数 , 则a0aadx)x(f2dx)x(f. 5、定积分的几何意义定积分( )baf x dx表示在区间 , a b上的曲线( )yf x与直线xa、xb以及x轴所围成的平面图形（曲边梯形）的面积的代数和。6、求曲边梯形面积的方法与步骤画出草
9、图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；写出定积分表达式；求出曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和. 一、选择题1(2010 山东理， 7) 由曲线yx2，yx3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.7122由三条直线x0、x2、y0 和曲线yx3所围成的图形的面积为( ) A 4 B.43C.185D6 3曲线ycosx(0 x2) 与直线y1 所围成的图形面积是( ) A2 B 3 C.32D4函数F(x) t(t4)dt在 1,5 上( ) A有最大值0，无最小值 B有最大值0 和最小值323C有最小值3
10、23，无最大值 D既无最大值也无最小值5已知等差数列an 的前n项和Sn2n2n，函数f(x) 1tdt，若f(x)a3，则x的取值范围是 ( ) A.36，B (0 ，e21) C(e11，e) D(0 ，e11) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页6(2010 福建厦门一中) 如图所示，在一个长为，宽为2 的矩形OABC内，曲线ysinx(0 x ) 与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的) ，则所投的点落在阴影部分的概率是( ) A.1B.2C.3D.
11、47(2010 吉林质检 ) 函数f(x) x22x0)与直线x1 围成的封闭图形的面积为43，若直线l与抛物线相切且平行于直线2xy60，则l的方程为 _15(2010 福建福州市 ) 已知函数f(x) x3ax2bx(a，bR)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围成区域( 图中阴影部分 ) 的面积为112，则a的值为 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页17用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是 ( ) Aacf(x)dxB|acf(x)dx| Cabf(x)dxbcf(x)dxDbcf(x)dxabf(x)dx18设yf(x) 是二次函数，方程f(x) 0 有两个相等的实根，且f(x) 2x2. (1) 求yf(x) 的表达式；(2) 求yf(x) 的图象与两坐标轴所围成图形的面积19由直线x12，x 2，曲线y1x及x轴所围成图形的面积为( ) A.154 B.174C.12ln2 D2ln2 11函数f(x) x1 ( 1x0)cosx (0 x2)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为( ) A.32 B1 C2 D.12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页