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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 积分和微分积分一般分为不定积分、定积分和微积分三种1、不定积分设 Fx 是函数 fx 的一个原函数 ,我们把函数fx 的全部原函数Fx+C （C 为任意常数）叫做函数 fx 的不定积分 . 记作 fxdx.其中 叫做积分号 , fx 叫做被积函数 , x 叫做积量 ,fxdx叫做被积式 ,C 叫做积分常数 ,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分 . 由定义可知：求函数 fx 的不定积分 ,就是要求出fx 的全部的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数 fx 的一个原函数 ,再加上任意的常数C,就得到函数fx 的不定积分 . 也可以
2、表述成 ,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数 . 2、定积分众所周知 ,微积分的两大部分是微分与积分 .微分实际上是求一函数的导数 ,而积分是已知一函数的导数 ,求这一函数 .所以 ,微分与积分互为逆运算 . 实际上 ,积分仍可以分为两部分 .第一种 ,是单纯的积分 ,也就是已知导数求原函数 ,而如Fx 的导数是 fx, 那么 Fx+C （C 是常数）的导数也是fx, 也就是说 ,把 fx 积分 ,不肯定能得到 Fx,由于 Fx+C 的导数也是fx,C 是无穷无尽的常数,所以 fx 积分的结果有很多个,是不确定的 ,我们一律用Fx+C 代替 ,这就称为不定积分. 而相对于不定积分,就
3、是定积分 . 所谓定积分 ,其形式为 fx dx 上限 a 写在 上面 ,下限 b 写在 下面 .之所以称其为定积分是由于它积分后得出的值是确定的,是一个数 ,而不是一个函数. 定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分 .用自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y 轴的直线把其分割成很多个矩形,然后把某个区间a,b上的矩形累加起来 ,所得到的就是这个函数的图象在区间 两个端点 a、b. a,b的面积 .实际上 ,定积分的上下限就是区间的名师归纳总结 我们可以看到 ,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来 ,而积分的本质是求一个函第 1 页,共 5 页数的原函数 .它们看起来没有
4、任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式呢. 定积分与积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的亲密关系.把一个图形无限细分再累加,这好像是不行能的事情,但是由于这个理论,可以转化为运算积分.这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式 ,它的内容是：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如 Fx=fx 那么 fx dx 上限 a 下限 b=Fa-Fb 牛顿 -莱布尼兹公式用文字表述 ,就是说一个定积分式的值 ,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差 . 正由于这个理论 ,揭示了积分与黎曼积分本质的联系 ,可见其在
5、微积分学以至更高等的数学上的重要位置 ,因此 ,牛顿 -莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理 . 3、微积分积分是微分的逆运算 ,即知道了函数的导函数 ,反求原函数 .在应用上 ,积分作用不仅如此 ,它被大量应用于求和 ,通俗的说是求曲边三角形的面积 ,这奇妙的求解方法是积分特别的性质打算的；一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数,这一族函数的导函数恰为前一函数 .其中： Fx + C = fx ；一个函数在区间 a,b 上的定积分 ,是一个实数 .它等于该函数的一个原函数在 b 的值减去在 a 的值 . 几何意义：设 x是曲线 y = fx 上的点 M 的在横坐标上的增量 , y是曲线在
6、点 M 对应 x在纵坐标上的增量 ,dy 是曲线在点 M 的切线对应 x在纵坐标上的增量 .当| x|很小时 ,| ydy|比| y|要小得多 高阶无穷小 ,因此在点 M 邻近 ,我们可以用切线段来近似代替曲线段 . 多元微分：同理 ,当自变量为多个时 ,可得出多元微分得定义 . 运算法就： dy=fxdx du+v=du+dv du-v=du-dv duv=du v+dv u du/v=du v-dv u/v21、定积分说明：（ 1）定积分的值是一个常数,可正、可负、可为零；（ 2）用定义求定积分的四个基本步骤：分割；近似代替；求和；取极限. 2、微积分基本定理 牛顿 - 莱布尼兹公式 假如
7、F f x ,且f x 在a,b上可积,就b af x dxF x bF b F a ,a【其中F x 叫做f x 的一个原函数,由于F x CF f x 】3、常用定积分公式名师归纳总结 0dxc（ c 为常数） 1dxxcx dxx1c1第 2 页,共 5 页11dxlnxcx e dxexcx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x a dxaxca0,a1lnasinxdxcosxccosxdxsinxcsinaxc0a0sinaxdx1cosaxca0cosaxdx1aa4、定积分的性质bfx dxb agx dx；bkfx dxkbfx dx（
8、k 为常数）；bfx gx dxaaaabf x dxcf x dxbf x dx（其中acb ; aacafxdx; 如f x 是利用函数的奇偶性求定积分: 如f x 是 a a 上的奇函数 , 就aa a 上的偶函数 , 就afxdx2a 0 fxdx. a5、定积分的几何意义定积分b af x dx 表示在区间 , a b 上的曲线yf x 与直线 xa 、 xb 以及 x 轴所围成的平面图形（曲边梯形）的面积的代数和；6、求曲边梯形面积的方法与步骤画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限；写出定积分表达式；求出曲边梯形的
9、面积和,即各积分的肯定值的和 . 一、挑选题12022 山东理, 7 由曲线 yx 2,yx 3 围成的封闭图形面积为 1 1 1 7A. 12 B. 4 C. 3 D. 122由三条直线 x0、x2、 y0 和曲线 yx 3 所围成的图形的面积为 4 18A 4 B. 3 C. 5 D6 3曲线 ycosx0 x2 与直线 y1 所围成的图形面积是 3A2 B 3 C. 2 D4函数 F x t t 4dt 在 1,5 上 32A有最大值 0,无最小值 B有最大值 0 和最小值332C有最小值3,无最大值 D既无最大值也无最小值15已知等差数列 an 的前 n 项和 Sn2n 2n,函数 f
10、 x tdt ,如 f x a3,就 x 的取值范畴是 A. 6,3 B0 ,e 21 C e11,e D0 ,e 11 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 62022 福建厦门一中 如下列图,在一个长为 ,宽为 2 的矩形 OABC内,曲线 ysin x0 x 与 x 轴围成如下列图的阴影部分,向矩形 OABC内随机投一点 该点落在矩形 OABC内任何一点是等可能的 ,就所投的点落在阴影部分的概率是 A.1B.2C.3D.4x22x0 与直线 x1 围成的封闭图形的面积为4 3,如直线 l 与抛物线相切且平行于直线
11、2xy60,就 l 的方程为 _152022 福建福州市 已知函数 f x x 3 ax 2bx a,bR的图象如下列图,它与 x 轴在原点处相切,且x 轴与函数图象所围成区域 图中阴影部分 的面积为1 12,就 a 的值为 _- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 17用 S 表示图中阴影部分的面积,就S 的值是 Acf xd xaB| cf xd x| aCbf xd xcf xd xf x 2x2. abDcf xd xbf xd xba18设 yf x 是二次函数,方程f x 0 有两个相等的实根,且1 求 yf x 的表达式；2 求 yf x 的图象与两坐标轴所围成图形的面积名师归纳总结 19由直线 x1 2,x 2,曲线 y1 x及 x 轴所围成图形的面积为 第 5 页,共 5 页A.15 4 B.174C.1 2ln2 D2ln2 x1 1 x011函数f x cosx 0 x 2 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为 A.3 2 B1 C2 D.1 2- - - - - - -