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1、高考复习之参数方程一、考纲要求1. 理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方程与普通方程的互化方法. 会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2. 理解极坐标的概念. 会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化. 会正确将极坐标方程化为直角坐标方程， 会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程. 不要求利用曲线的参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构1. 直线的参数方程(1) 标准式过点 Po(x0,y0) ，倾斜角为的直线l( 如图 ) 的参数方程是atyyatxxsincos00 (t为参数 ) (2) 一般式过定点 P0(x0,y0)
2、斜率 k=tg =ab的直线的参数方程是btyyatxx00(t 不参数 ) 在一般式中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a2+b2=1, 即为标准式，此时， t 表示直线上动点P到定点 P0的距离；若a2+b21，则动点 P到定点 P0的距离是22bat . 直线参数方程的应用设过点 P0(x0,y0), 倾斜角为的直线l 的参数方程是atyyatxxsincos00（t 为参数）若 P1、P2是 l 上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则(1)P1、P2两点的坐标分别是(x0+t1cos,y0+t1sin ) (x0+t2cos,y0+t2sin ) ；(2) P1P2=t
3、1-t2 ; (3) 线段 P1P2的中点 P所对应的参数为t，则t=221tt中点 P到定点 P0的距离 PP0=t =221tt(4) 若 P0为线段 P1P2的中点，则t1+t2=0.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页2. 圆锥曲线的参数方程(1) 圆圆心在 (a,b) ，半径为r 的圆的参数方程是sincosrbyrax( 是参数 )是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，0,2 ( 见图 ) (2) 椭圆椭圆12222byax(ab0)的参数方程是sincosbyax (为参数 ) 椭圆12222byay(
4、a b0) 的参数方程是sincosaybx( 为参数 ) 3. 极坐标极坐标系在平面内取一个定点O， 从 O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向 ( 通常取逆时针方向为正方向) ，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线 Ox叫 做极轴 .极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可 . 点的极坐标设 M点是平面内任意一点，用表示线段OM的长度，表示射线Ox 到OM的角度，那么叫做M点的极径，叫做M点的极角，有序数对(, ) 叫做 M点的极坐标 .( 见图 ) 极坐标和直角坐标的互化(1) 互化的前提条件极坐标系中的极点与直角坐标系中的原
5、点重合；极轴与 x 轴的正半轴重合两种坐标系中取相同的长度单位. (2) 互化公式sincosyx)0(222xxytgyx三、知识点、能力点提示( 一) 曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化例 1 在圆 x2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和 B， 使它们到直线4x+3y+19=0 的距离分别最短和最长 . 解： 将圆的方程化为参数方程：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页sin51cos52yx（为参数）则 圆 上 点P坐 标 为 (2+5cos， 1+5sin) ， 它 到 所 给 直 线 之 距 离
6、d=223430sin15cos120故当 cos( - )=1 ， 即 =时， d 最长，这时，点 A坐标为 (6，4)；当 cos( - )=-1,即 =- 时， d 最短，这时，点B坐标为 (-2 ，2). ( 二) 极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化说明这部分内容自1986 年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现. 例 2 极坐标方程 =cossin321所确定的图形是（）A.直线B. 椭圆C.双曲D. 抛 物线解： =)6sin(1211)cos2123(121( 三) 综合例题赏析例 3 椭圆的两个焦点坐标是是参数 )(sin51cos3yx（）A.(-3
7、， 5) ，(-3 ，-3) B.(3 ，3) ，(3 ，-5)C.(1 ，1) ，(-7 ，1) D.(7 ，-1) ，(-1 ，-1)解：化为普通方程得125)1(9)3(22yxa2=25,b2=9, 得 c2 ,c=4. F(x-3,y+1)=F(0, 4) 在 xOy坐标系中，两焦点坐标是(3，3) 和(3 ，-5). 应选 B. 例 4参数方程表示)20()sin1(212sin2cosyxA.双曲线的一支，这支过点(1 ，21) B.抛物线的一部分，这部分过(1 ，21) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 1
8、0 页C.双曲线的一支，这支过(-1 ，21) D.抛物线的一部分，这部分过(-1 ，21) 解：由参数式得x2=1+sin =2y(x 0) 即 y=21x2(x 0). 应选 B. 例 5 在方程cossinyx( 为参数 ) 所表示的曲线一个点的坐标是( )A.(2,-7) B.（31，32）C.(21，21) D.(1 ， 0)解： y=cos2=1-2sin2=1-2x2将 x=21代入，得y=21应选 C. 例 6 下列参数方程 (t 为参数 ) 与普通方程x2-y=0 表示同一曲线的方程是( ) A.tytx B.tytx2coscosC.ttytgtx2cos12cos1D.t
9、tytgtx2cos12cos1解：普通方程x2-y 中的 xR，y0， A.中 x=t 0，B.中 x=cost -1,1 ，故排除 A.和 B. C.中 y=tt22sin2cos2=ctg2t=2211xttg=，即 x2y=1，故排除C. 应选 D. 例 7 曲线的极坐标方程=sin 化成直角坐标方程为( )A.x2+(y+2)2=4 B.x2+(y-2)2=4 C.(x-2)2+y2=4 D.(x+2)2+y2=4解：将=22yx，sin =22yxy代入 =4sin ，得 x2+y2=4y，即 x2+(y-2)2=4. 应选 B. 例 8 极坐标 =cos(4) 表示的曲线是( )
10、A.双曲线B. 椭圆C.抛物线D.圆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页解：原极坐标方程化为=21(cos +sin )22=cos+sin ，普通方程为2(x2+y2)=x+y ，表示圆 . 应选 D. 例 9 在极坐标系中，与圆=4sin 相切的条直线的方程是( )A.sin =2 B.cos=2 C.cos=-2 D.cos=-4 例 9 图解：如图 . C的极坐标方程为=4sin ， CO OX,OA为直径， OA =4,l和圆相切，l 交极轴于B(2，0) 点 P(, ) 为 l 上任意一点，则有cos=2
11、OPOB，得 cos =2，应选 B. 例 10 4sin22=5 表示的曲线是 ( ) A.圆 B.椭圆C.双曲线的一支D. 抛 物线解： 4 sin22=54.5cos2221cos把 =22yxcos=x，代入上式，得222yx=2x-5.平方整理得y2=-5x+.425. 它表示抛物线 . 应选 D. 例 11 极坐标方程4sin2=3 表示曲线是 ( ) A.两条射线 B.两条相交直线C.圆D. 抛 物线解：由 4sin2=3, 得 4222yxy3, 即 y2=3 x2，y=x3, 它表示两相交直线. 应选 B. 四、能力训练( 一) 选择题1. 极坐标方程 cos =34表示 (
12、 )A.一条平行于x 轴的直线B.一条垂直于x 轴的直线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页C.一个圆D.一条抛物线2. 直线： 3x-4y-9=0与圆：)(,sin2cos2为参数yx的位置关系是 ( )A.相切 B.相离C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心3. 若(x ，y) 与 (， )( R)分别是点M的直角坐标和极坐标，t 表示参数，则下列各组曲线： =6和 sin =21； =6和 tg =33，2-9=0 和 = 3 ；tytxtytx322213222和其中表示相同曲线的组数为( )A.1 B.2
13、C.3 D.44. 设 M(1，1) ，N(2，2) 两点的极坐标同时满足下列关系：1+2=0 ，1+2=0，则 M ，N两点位置关系是( )A.重合B.关于极点对称C.关于直线 =2D. 关 于 极 轴对称5. 极坐标方程 =sin +2cos所表示的曲线是( )A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线6. 经过点 M(1，5) 且倾斜角为3的直线， 以定点 M到动点 P的位移 t 为参数的参数方程是( ) Atytx235211 B.tytx235211C.tytx235211D.txty2152317. 将参数方2222222222mmmbymmmmax(m 是参数， ab0) 化为普通方程是
14、( )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页A.)(12222axbyaxB.)(12222axbyaxC.)( 12222axbyaxD.)(12222axbyax8. 已知圆的极坐标方程=2sin( +6 ) ，则圆心的极坐标和半径分别为( ) A.(1,3),r=2 B.(1,6),r=1 C.(1, 3),r=1 D.(1, -3),r=2 9. 参数方程21yttx (t为参数 ) 所表示的曲线是( )A.一条射线 B.两条射线C.一条直线 D.两 条直线10. 双曲线sec212ytgx ( 为参数 ) 的
15、渐近线方程为 ( )A.y-1=)2(21x B.y=x21C.y-1=)2(2 xD.y+1=)2(2 x11. 若直线btyatx4( (t为参数 ) 与圆 x2+y2-4x+1=0 相切，则直线的倾斜角为( )A. 3 B.32C. 3或32 D. 3或3512. 已知曲线ptyptx222 (t为参数 ) 上的点 M ，N对应的参数分别为t1，t2，且 t1+t2=0，那么 M ， N间的距离为 ( )A.2p(t1+t2) B.2p(t21+t22)C.2p(t1-t2)D.2p(t1-t2)213. 若点 P(x ，y) 在单位圆上以角速度按逆时针方向运动，点 M(-2xy ，y2
16、-x2) 也在单位圆上运动，其运动规律是( )A.角速度，顺时针方向B.角速度，逆时针方向C.角速度 2, 顺时针方向D.角速度 2，逆时针方向14. 抛物线 y=x2-10 xcos +25+3sin -25sin2与 x 轴两个交点距离的最大值是( )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页A.5 B.10 C.23 D.315. 直线 =sincos23与直线 l 关于直线 =4( R)对称，则l 的方程是 ( ) Asincos23Bcoscos23Csin2cos3Dsin2cos3 ( 二)填空题16. 若直
17、线 l 的参数方程为tytx532543(t 为参数 ) ，则过点 (4 ，-1) 且与 l 平行的直线在 y 轴上的截距为 . 17. 参数方程cos1sincos1cosyx（为参数）化成普通方程为 . 18. 极坐标方程 =tg sec表示的曲线是 . 19. 直线tytx3231(t为参数 ) 的倾斜角为；直线上一点P(x ，y) 与点 M(-1，2)的距离为 . ( 三) 解答题20. 设椭圆sin32cos4yx( 为参数 ) 上一点 P ，若点 P在第一象限， 且 xOP=3，求点 P的坐标 . 21. 曲线 C的方程为ptyptx222(p 0，t 为参数 ) ，当 t -1
18、，2时，曲线 C 的端点为 A， B ，设 F 是曲线 C的焦点，且SAFB=14，求 P的值 . 22. 已知椭圆222yx=1 及点 B(0，-2) ，过点 B作直线 BD ，与椭圆的左半部分交于C、D两点，又过椭圆的右焦点F2 作平行于BD的直线，交椭圆于G ，H两点 .(1) 试判断满足BC BD =3GF2 F2H成立的直线BD 是否存在 ?并说明理由 . (2) 若点 M为弦 CD的中点， SBMF2=2，试求直线BD的方程 . 23. 如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线tgyx3sec48( 为参数 ) 的左焦点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
19、- - - - - - -第 8 页，共 10 页和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为49，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离. 24.A ，B为椭圆2222byax=1，(a b0) 上的两点， 且 OA OB ，求 AOB的面积的最大值和最小值 . 25. 已知椭圆162422yx=1，直线 l 812yx=1，P是 l 上一点， 射线 OP交椭圆于点R，又点 Q在 OP上且满足 OQ OP =OR 2，当点 P在 l 上移动时， 求点 Q的轨迹方程 .并说明轨迹是什么曲线. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10
20、 页参考答案( 一)1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.A 8.C 9.B 10.C 11.C 12.C 13.C 14.C 15.D( 二)16.-4 ；17.y=-2(x-21),(x 21);18. 抛 物线； 19.135 ,|32t| ( 三)20.(5154,558) ；21.;33222.(1) 不存在， (2)x+y+2=0 ；23.51(27-341) ；24.Smax=2ab，smax=2222baba; 25. 25)1(25)1(22yx=1(x,y)不同时为零 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页