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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高考复习之参数方程一、考纲要求1. 懂得参数方程的概念,明白某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义,把握参数方 程与一般方程的互化方法 . 会依据所给出的参数,依据条件建立参数方程 . 2. 懂得极坐标的概念 . 会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化 . 会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程, 会依据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程 . 不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点 . 二、学问结构1. 直线的参数方程1 标准式 过点 Pox 0,y 0 ,倾斜角为 的直线 l 如图 的参数方程是x x 0 t cos a
2、t 为参数 y y 0 t sin a 2 一般式 过定点 P0x 0,y 0 斜率 k=tg = b 的直线的参数方程是ax x 0 att 不参数 y y 0 bt在一般式中,参数 t 不具备标准式中 t 的几何意义,如 a 2+b 2=1, 即为标准式,此时, t 表示直线上动点 P 到定点 P0的距离；如 a 2+b 2 1,就动点 P到定点 P0的距离是2 2a bt . 直线参数方程的应用 设过点 P0x0,y0, 倾斜角为 的直线 l 的参数方程是x x 0 t cos a（t 为参数）y y 0 t sin a如 P1、P2 是 l 上的两点,它们所对应的参数分别为 t1,t
3、2,就1P 1、P2 两点的坐标分别是x 0+t 1cos ,y 0+t 1sin x 0+t 2cos ,y 0+t 2sin ；2 P1P2=t 1-t2 ; 2t23 线段 P1P2 的中点 P所对应的参数为t ,就t=t 12t2中点 P到定点 P0 的距离 PP0=t =t14 如 P0 为线段 P1P2的中点,就t1+t2=0.名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 圆锥曲线的参数方程1 圆圆心在 a,b ,半径为 r 的圆的参数方程是xarcos 是参数 ybrsin 是动半径所在的直线与x 轴正向的
4、夹角, 0,2 见图 2 椭圆椭圆x2y21a b0 的参数方程是a2b2xacosybsin 为参数 椭圆y2y21a b0 的参数方程是a2b2xbcos 为参数 yasin3. 极坐标 极坐标系 在平面内取一个定点 O,从 O引一条射线 Ox,选定一个单位长度以及运算角 O 点叫做极点,度的正 方向 通常取逆时针方向为正方向 ,这样就建立了一个极坐标系,射线 Ox叫 做极轴 .极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向,构成了极坐标系的四要素,缺一不行 . 点的极坐标 设 M点是平面内任意一点,用 表示线段 OM的长度, 表示射线 Ox 到 OM的角度,那么 叫做 M点的极径, 叫做 M
5、点的极角,有序数对 , 叫做 M点的极 坐标 . 见图 极坐标和直角坐标的互化 1 互化的前提条件 极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；极轴与 x 轴的正半轴重合 两种坐标系中取相同的长度单位 . 2 互化公式xcostg2x2xy20 yysinx三、学问点、才能点提示 一 曲线的参数方程,参数方程与一般方程的互化例 1 在圆 x2+y2-4x-2y-20=0上求两点 A 和 B,使它们到直线4x+3y+19=0 的距离分别最短和最长 . 解： 将圆的方程化为参数方程：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - x2
6、5cos（为参数）y15sind=就 圆 上 点P坐 标 为 2+5cos, 1+5sin , 它 到 所 给 直 线 之 距 离120cos15sin304232故当 cos - =1 ,即 = 时 ,d 最长,这时,点 A坐标为 6 ,4 ；当 cos - =-1, 即 = - 时, d 最短,这时,点 B坐标为 -2 ,2. 二 极坐标系,曲线的极坐标方程,极坐标和直角坐标的互化说明这部分内容自1986 年以来每年都有一个小题,而且都以挑选填空题显现. 例 2 极坐标方程=231cos所确定的图形是（）D. 抛 物sinA. 直线B. 椭圆C.双曲线解： =2 1311cos11162s
7、in22 三 综合例题赏析例 3 椭圆x31cos是参数 的两个焦点坐标是（）y5 sinA.-3 , 5 ,-3 ,-3 B.3 ,3 ,3 ,-5C.1 ,1 ,-7 ,1 D.7 ,-1 ,-1 ,-1解：化为一般方程得x93 2y1 2125a 2=25,b2=9, 得 c2 ,c=4. 3 ,3 和3 ,-5. Fx-3,y+1=F0, 4 在 xOy 坐标系中,两焦点坐标是应选 B. 名师归纳总结 1 2例 4参数方程2 表示B. 抛物线的一部分,这部分过1 ,第 3 页,共 10 页xcos2sin201 2 1ysin1 ,1 2A. 双曲线的一支,这支过点- - - - -
8、- -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 2C.双曲线的一支,这支过-1 ,1 2D.抛物线的一部分,这部分过-1 ,解：由参数式得x2=1+sin =2yx 0 即 y= 1 x 2x 0. 2应选 B. x sin例 5 在方程 为参数 所表示的曲线一个点的坐标是 y cosA.2,-7 B.（1 ,2 ）C. 1 ,1 D.1 ,03 3 2 2解： y=cos2 =1-2sin2 =1-2x2将 x= 1 代入,得 y= 12 2应选 C. 例 6 以下参数方程 t 为参数 与一般方程 x 2-y=0 表示同一曲线的方程是 x t x cos t x tgtA.y t
9、 B.y cos 2t C.y 1 cos 2 t1 cos 2 tx tgtD. 1 cos 2 ty1 cos 2 t解：一般方程 x 2-y 中的 xR,y0, A.中 x=t 0,B.中 x=cost -1,1 ,故排除 A. 和 B. C.中 y=2cos2t=ctg2t=1t1=,即 x2y=1,故排除 C. 2sin2ttg2x2应选 D. 例 7 曲线的极坐标方程=sin 化 成直角坐标方程为 2+y-22=4. A.x2+y+22=4 B.x2+y-22=4 C.x-22+y2=4 D.x+22+y2=4解：将 =x2y2,sin =x2yy2代入=4sin ,得 x2+y
10、2=4y,即 x应选 B. 名师归纳总结 例 8 极坐标=cos4 表示的曲线是 C.抛物线D.圆第 4 页,共 10 页A. 双曲线B. 椭圆- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：原极坐标方程化为=1cos +sin 22= cos + sin ,2一般方程为2 x2+y 2=x+y ,表示圆 . 应选 D. 例 9 在极坐标系中,与圆=4sin 相切的条直线的方程是 A. sin =2 B. cos =2 C. cos =-2 D. cos =-4 例 9 图解：如图 . C的极坐标方程为=4sin , COOX,OA为直径, OA=4,l和圆相切
11、,l 交极轴于 B2,0 点 P , 为 l 上任意一点,就有cos =OB2,得cos =2,OP应选 B. 例 10 4 sin22=5 表示的曲线是 C.双曲线的一支D. 抛 物A. 圆 B.椭圆线解： 4 sin22=54 cos2122cos5.D. 抛 物把 =x2y2 cos =x,代入上式,得C.圆2x2y2=2x-5.平方整理得y2=-5x+25 . 它表示抛物线 . 4应选 D. 例 11 极坐标方程4sin2 =3 表示曲线是 A. 两条射线 B.两条相交直线线解：由 4sin2 =3, 得 4x2y2y23, 即 y2=3 x2,y=3x, 它表示两相交直线. 应选 B
12、. 四、才能训练 一 挑选题名师归纳总结 1. 极坐标方程cos =4 表示 3B.一条垂直于x 轴的直线第 5 页,共 10 页A. 一条平行于x 轴的直线- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C.一个圆 D.一条抛物线2. 直线： 3x-4y-9=0与圆：x y2cos ,为参数的位置关系是 相交但直2sinA. 相切 B.相离C.直线过圆心 D.线不过圆心3. 如x ,y 与 , R分别是点 M 的直角坐标和极坐标,t 表示参数,就以下各组曲 线： = 和 sin = 1 ； = 和 tg = 3 , 2-9=0 和 = 3 ；6 2 6 32x 2
13、2 t和 x 2 2 t1 y 3 ty 3 t2其中表示相同曲线的组数为 A.1 B.2 C.3 D.44. 设 M 1, 1 ,N 2, 2 两点的极坐标同时满意以下关系： 1+ 2=0 , 1+ 2=0,就 M,N两点位置关系是 A. 重合 B.关于极点对称 C.关于直线 = D. 关 于 极 轴2对称名师归纳总结 5. 极坐标方程=sin +2cos 所表示的曲线是 t第 6 页,共 10 页A. 直线B.圆C.双曲线D.抛物线6. 经过点 M1,5 且倾斜角为3的直线, 以定点 M到动点 P 的位移 t 为参数的参数方程是 Ax11tt B.x11ttC.x11t222y53y53y
14、53222D.y13t2x51 2t7. 将参数方xa2 m2 m2m 是参数, ab 0 化为一般方程是 2 m2 myb2 m222 m2 m- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A.x2y21 xaB.x2y21 xa a2b2a2b2-3C.x2y21xa tD.x2y21 xaD.1, a2b2a2b28. 已知圆的极坐标方程=2sin +6 ,就圆心的极坐标和半径分别为 A.1,3,r=2 B.1,6,r=1 C.1, 3,r=1 ,r=2 为参数 所表示的曲线是 两 条9. 参数方程xt1ty2两条射线C.一条直线 D.A. 一条射线 B.直
15、线10. 双曲线x yx2tg 为参数 的渐近线方程为 12secA.y-1=1 x 22 B.y=1xC.y-1=2 x22D.y+1=2 x24at t为参数 与圆 x2+y2-4x+1=0 相切,就直线的倾斜角为 11. 如直线x ybtA. 3 B.2C. 3或2 D. 333或5 32pt2 t为参数 上的点 M,N对应的参数分别为t1,t 2,且 t 1+t 2=0,12. 已知曲线y2pt那么 M, N间的距离为 A.2pt1+t 2 B.2pt21+t2 2C.2pt1-t2D.2pt1-t2 2点 M-2xy ,y2-x2 也在单位13. 如点 Px ,y 在单位圆上以角速度
16、 按逆时针方向运动,圆上运动,其运动规律是 A. 角速度 ,顺时针方向 C.角速度 2 , 顺时针方向B.角速度 ,逆时针方向 D.角速度 2 ,逆时针方向名师归纳总结 14. 抛物线 y=x2-10xcos +25+3sin -25sin2 与 x 轴两个交点距离的最大值是 第 7 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A.5 B.10 C.23 D.315. 直线=2cos3sin与直线 l 关于直线=4 R对称,就 l 的方程是 A2cos3sinB2cos3cosCcos32sinDcos32sin 二填空题16. 如直线 l 的参
17、数方程为x324ttt 为参数 ,就过点 4 ,-1 且与 l 平行的直线5y35在 y 轴上的截距为 . xcosPx ,y 与点 M-1,1cos（为参数）化成一般方程为 . 17. 参数方程siny1cos18. 极坐标方程=tg sec 表示的曲线是 . 19. 直线x13 tt为参数 的倾斜角为；直线上一点y23 t2 的距离为 . 三 解答题20. 设椭圆x4cos 为参数 上一点 P,如点 P 在第一象限, 且 xOP=3,求y23sin点 P 的坐标 . 221. 曲线 C的方程为 x 2 pt p 0,t 为参数 ,当 t -1 ,2时 ,曲线 C 的端y 2 pt点为 A,
18、 B,设 F 是曲线 C的焦点,且 S AFB=14,求 P的值 . 222. 已知椭圆 xy 2=1 及点 B0,-2 ,过点 B 作直线 BD,与椭圆的左 半部分交于 C、2D两点,又过椭圆的右焦点 F 2 作平行于 BD的直线,交椭圆于 G,H两点 .1 试判定满意BC BD =3 GF 2 F2H 成立的直线 BD 是否存在 .并说明理由 . 名师归纳总结 2 如点 M为弦 CD的中点, S BMF2=2,试求直线BD的方程 . 4sec 为参数 的左焦点第 8 页,共 10 页23. 假如椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线x8y3 tg- - - - - - -精选学习资料 - -
19、- - - - - - - 和左顶点,且焦点到相应的准线的距离为9 ,求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离 4. 24.A ,B为椭圆x2y2=1,a b0 上的两点, 且 OAOB,求 AOB的面积的最大a2b2值和最小值 . 名师归纳总结 25. 已知椭圆x2y2=1,直线 l xy=1,P 是 l 上一点, 射线 OP交椭圆于点R,第 9 页,共 10 页2416128又点 Q在 OP上且满意 OQ OP = OR2,当点 P 在 l 上移动时, 求点 Q的轨迹方程 .并说明轨迹是什么曲线. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 参考答案 一 1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.A 8.C 9.B 10.C 11.C 12.C 13.C 14.C 15.D名师归纳总结 二 16.-4 ；17.y=-2x-1 ,x 21 ;18. 抛 物线； 19.135 ,|3 22t| a2b22; 第 10 页,共 10 页 三 20.855,415 ； 21.233;522.1 不存在, 2x+y+2=0 ； 23.1 27-3 541 ；24.S max=ab , smax= 2a2b25. x1 2y1 2=1x,y不同时为零 5522- - - - - - -